Probabilmente è convesso
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Probabilmente è convesso
Consideriamo il quadrato con i vertici di coordinate (1,1); (-1,1); (-1,-1); (1,-1) che è evidentemente suddiviso in 4 quadranti dagli assi cartesiani.
Nei quadranti NordEst, NordOvest, SudOvest e SudEst scelgo rispettivamente i punti casuali A, B, C e D.
È corretto affermare che il quadrilatero ABCD ha oltre il 90% di probabilità di essere convesso?
Da
www.diophante.fr
G1909
Nei quadranti NordEst, NordOvest, SudOvest e SudEst scelgo rispettivamente i punti casuali A, B, C e D.
È corretto affermare che il quadrilatero ABCD ha oltre il 90% di probabilità di essere convesso?
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Franco
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Re: Probabilmente è convesso
Le simulazioni dicono di sì: la dimostrazione è un'altra cosa...
il panurgo
Principio di Relatività: $\mathbb{m} \not \to \mathbb{M} \, \Longleftrightarrow \, \mathbb{M} \not \to \mathbb{m}$
"Se la montagna non va a Maometto, Maometto NON va alla montagna"
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Re: Probabilmente è convesso
vogliamo accartocciarci sulla frase "scelgo casualmente"?
Come dato psicologico, credo che facendo scegliere a persone ignare, la percentuale sarebbe anche maggiore. Per avere forme concave, almeno un paio di punti devono essere piuttosto "eccentrici"; e chi deve scegliere a caso, tende a stare meno "estremo". Con un estrattore casuale , in teoria, non dovrebbe accadere
Come dato psicologico, credo che facendo scegliere a persone ignare, la percentuale sarebbe anche maggiore. Per avere forme concave, almeno un paio di punti devono essere piuttosto "eccentrici"; e chi deve scegliere a caso, tende a stare meno "estremo". Con un estrattore casuale , in teoria, non dovrebbe accadere
Enrico
Re: Probabilmente è convesso
Simulazioni fatte, come d'uso, campionando da una distribuzione uniforme: con altre distribuzioni le cose possono cambiare...
il panurgo
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Re: Probabilmente è convesso
Ipotesi interessante.delfo52 ha scritto: ↑mer set 02, 2020 8:41 pmvogliamo accartocciarci sulla frase "scelgo casualmente"?
Come dato psicologico, credo che facendo scegliere a persone ignare, la percentuale sarebbe anche maggiore. Per avere forme concave, almeno un paio di punti devono essere piuttosto "eccentrici"; e chi deve scegliere a caso, tende a stare meno "estremo". Con un estrattore casuale , in teoria, non dovrebbe accadere
Chiedo agli esperti se c'è un nesso con la definizione soggettivistica di probabilità di De Finetti.
Nel frattempo, per mio divertimento personale, ho scritto un programmino che disegna 100 quadrilateri alla volta in nero i convessi e in rosso i concavi.
Ho detto 100, ma il numero, memorizzato nella variabile "cont" può variare da 1 a quanti volete.
Alcuni sembrano triangoli, ma sono tutti(?) quadrilateri. Non ho fatto il test di "quadrilateralità", ma qual è la probabilità che tre punti scelti a caso in tre quadranti diversi siano allineati?
Comunque bisognerebbe fare anche questo test.
Ecco alcuni risultati e di seguito il programma.
Poi ho inserito nel programma l'elemento psicologico di cui parla Enrico.
Diciamo un 20% di distanza dagli assi rispetto alla dimensione del riquadro.
Ed ecco che la probabilità di avere un quadrilatero concavo scende al disotto dello 0,25%.
Codice: Seleziona tutto
DECLARE EXTERNAL FUNCTION acaso 'sceglie un numero casuale 0 < acaso < 1
DECLARE EXTERNAL FUNCTION qconvesso 'stabilisce se un quadrilatero è convesso o concavo
RANDOMIZE
LET wind=500
SET WINDOW 0,wind,0,wind
LET cont=10 'quanti quadrilateri vuoi cont*cont
LET k=wind/(2*cont)
FOR i=1 TO cont
FOR j=1 TO cont
LET ox=k+(i-1)*2*k
LET oy=k+(j-1)*2*k
LET ax=k*acaso+ox
LET ay=k*acaso+oy
LET bx=-k*acaso+ox
LET by=k*acaso+oy
LET cx=-k*acaso+ox
LET cy=-k*acaso+oy
LET dx=k*acaso+ox
LET dy=-k*acaso+oy
SET LINE COLOR 15 !'grigio
PLOT LINES : ox-k,oy;ox+k,oy
PLOT LINES : ox,oy-k;ox,oy+k
!'PLOT TEXT ,AT ax,ay :"A"
!'PLOT TEXT ,AT bx,by :"B"
!'PLOT TEXT ,AT cx,cy :"C"
!'PLOT TEXT ,AT dx,dy :"D"
SET LINE COLOR 1 !'nero
IF qconvesso(ax,ay,bx,by,cx,cy,dx,dy)=0 THEN SET LINE COLOR 4
PLOT LINES:ax,ay;bx,by;cx,cy;dx,dy;ax,ay
NEXT j
NEXT i
!'PRINT ax;ay;bx;by;cx;cy;dx;dy
END
EXTERNAL FUNCTION acaso
DO
LET n=RND
LOOP UNTIL n<>0
LET acaso=n
END FUNCTION
EXTERNAL FUNCTION qconvesso(ax,ay,bx,by,cx,cy,dx,dy)
LET qconvesso=0
LET e1=cx-ax
LET e2=cy-ay
LET f1=dx-bx
LET f2=dy-by
LET p1=-e2
LET p2=e1
LET cmb1=cx-bx
LET cmb2=cy-by
LET h=(cmb1*p1+cmb2*p2)/(f1*p1+f2*p2)
LET e1=dx-bx
LET e2=dy-by
LET f1=ax-cx
LET f2=ay-cy
LET p1=-e2
LET p2=e1
LET dmc1=dx-cx
LET dmc2=dy-cy
LET g=(dmc1*p1+dmc2*p2)/(f1*p1+f2*p2)
IF g>0 AND g<1 AND h>0 AND h<1 THEN LET qconvesso=1
END function
Pace e bene a tutti.
Gianfranco
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Re: Probabilmente è convesso
mi fa piacere constatare che quella che era una mia intuizione "approssimativa" trova una conferma nell'algoritmo addomesticato da Gianfranco
Enrico
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Re: Probabilmente è convesso
Emergono i veri mandanti di questo problema: i Cavalieri Templari.
Pace e bene a tutti.
Gianfranco
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Re: Probabilmente è convesso
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(Bruno)
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Invisibile un vento
l'ha apena sfioragia
sospension d'un momento;
e la bola iridessente gera 'ndagia.
{Biagio Marin}
................................................................
Meglio soluzioni sbagliate che risposte esatte.
{Rudi Mathematici}
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Re: Probabilmente è convesso
Ho provato a ragionare su questo problema ma sono arrivato ad un punto morto per cui condivido lo “stato d’avanzamento”; magari può dare lo spunto a qualcuno per ulteriori passi avanti.
Di base ho considerato che, dati due punti casuali in quadranti opposti, la probabilità che il quadrilatero ottenuto con gli altri punti sia pari all’area del triangolo compreso fra gli assi cartesiani e la congiungente i due punti.
Per chiarire meglio, rappresento il concetto in un’immagine nella quale i due punti di partenza sono nei quadranti NE e SO e il triangolo si trova nel quadrante NO (ma è evidente che il concetto vale anche se la congiungente sta nel quadrante SE): La prima parte è relativamente semplice; io sono arrivato a questa espressione: L’integrazione con 4 variabili però è fuori dalla mia portata … Forse si può esprimere $S$ in una forma più facilmente integrabile, o forse ho solo perso tempo in elucubrazioni sbagliate![Very Happy :D](./images/smilies/icon_biggrin.gif)
Di base ho considerato che, dati due punti casuali in quadranti opposti, la probabilità che il quadrilatero ottenuto con gli altri punti sia pari all’area del triangolo compreso fra gli assi cartesiani e la congiungente i due punti.
Per chiarire meglio, rappresento il concetto in un’immagine nella quale i due punti di partenza sono nei quadranti NE e SO e il triangolo si trova nel quadrante NO (ma è evidente che il concetto vale anche se la congiungente sta nel quadrante SE): La prima parte è relativamente semplice; io sono arrivato a questa espressione: L’integrazione con 4 variabili però è fuori dalla mia portata … Forse si può esprimere $S$ in una forma più facilmente integrabile, o forse ho solo perso tempo in elucubrazioni sbagliate
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Franco
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Re: Probabilmente è convesso
Edit del 8/9/2020: ho capito.
Pace e bene a tutti.
Gianfranco
Gianfranco
Re: Probabilmente è convesso
cerco di interpretare.
I primi due punti, in due quadranti opposti, li mettiamo random.
A questo punto il segmento che li congiunge, attraversa uno dei due quadranti rimanenti.
In quello non attraversato, possiamo mettere il punto in qualsiasi posto. Nel quadrante interessato, il quarto punto genera un poligono concavo se cade nell'area colorata.
La sua superficie, rispetto a quella del quadrante, è la probabilità che la figura sia concava.
I primi due punti, in due quadranti opposti, li mettiamo random.
A questo punto il segmento che li congiunge, attraversa uno dei due quadranti rimanenti.
In quello non attraversato, possiamo mettere il punto in qualsiasi posto. Nel quadrante interessato, il quarto punto genera un poligono concavo se cade nell'area colorata.
La sua superficie, rispetto a quella del quadrante, è la probabilità che la figura sia concava.
Enrico
Re: Probabilmente è convesso
Grazie Enrico, ho ragionato esattamente in quel modo.
Peraltro, essendo ogni quadrante di area unitaria, la superficie della parte colorata rappresenta la probabilità di scegliere il punto in modo da ottenere un poligono concavo e il suo complemento a 1 la probabilità di ottenere un poligono convesso.
Peraltro, essendo ogni quadrante di area unitaria, la superficie della parte colorata rappresenta la probabilità di scegliere il punto in modo da ottenere un poligono concavo e il suo complemento a 1 la probabilità di ottenere un poligono convesso.
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Re: Probabilmente è convesso
Grazie Enrico, la tua spiegazione mi ha illuminato.
Mi ero fermato su una difficoltà linguistica.
Pace e bene a tutti.
Gianfranco
Gianfranco
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Re: Probabilmente è convesso
L'integrale è troppo impegnativo anche per me, ma, se può servire per un confronto, ho fatto girare varie volte la mia simulazione e il risultato si è stbilizzato su queste 3 cifre significative:
ProbConvesso=90,9%
Pace e bene a tutti.
Gianfranco
Gianfranco
Re: Probabilmente è convesso
Lo formalizzo di più per essere certo di quello che faccio.
Prendiamo quattro variabili distribuite uniformemente, $0\leq x,y,z,t\leq 1$, e definiamo i punti $\text{A}\equiv\left(x;y\right)$ e $\text{C}\equiv\left(-z;-t\right)$ in modo che, al variare di $x$ e $y$, il punto $\text{A}$ scandisca il quadrato unitario del primo quadrante mentre, al variare di $z$ e $t$, il punto $\text{C}$ scandisce il quadrato unitario del terzo quadrante.
La retta passante per $\text{A}$ e $\text{C}$ ha equazione $Y=mX+q$ con
$\displaystyle m=\frac{\left(y+t\right)}{\left(x+z\right)}$
e
$\displaystyle q=\frac{\left(yz-xt\right)}{\left(x+z\right)}$
L’intersezione della retta con l’asse delle ordinate identifica il punto $\text{E}\equiv\left(0;q\right)$; l’intersezione con l’asse delle ascisse identifica il punto $\text{F}\equiv\left(-\frac{q}{m};0\right)$ L’area del triangolo $\text{OEF}$, che misura la frequenza di punti che producono un quadrilatero concavo, è data dal semiprodotto del valore assoluto dell’ordinata di $\text{E}$ e del valore assoluto dell’ascissa di $\text{F}$.
Osserviamo che le due coordinate hanno segno discorde
dimodoché la frequenza, dati $x$, $y$, $z$ e $t$, vale
$\displaystyle f\left(\frown\middle|x\wedge y\wedge z\wedge t\wedge \top\right)=\frac{q^2}{2m}=\frac{\left(yz-xt\right)^2}{2\left(x+z\right)\left(y+t\right)}$.
(ricordo che \frown, $\frown$, significa “concavo” mentre \smile, $\smile$, significa “convesso”
)
La frequenza si ottiene per marginalizzazione
$\displaystyle f\left(\frown\middle|\top\right)=\int_0^1{\int_0^1{\int_0^1{\int_0^1 {f\left(\frown\wedge x\wedge y\wedge z\wedge t \middle|\top\right) \,dt} \,dz} \,dy} \,dx}
=\int_0^1{\int_0^1{\int_0^1{\int_0^1 {f\left(x\middle|\top\right)\times f\left(y\middle|\top\right)\times f\left(z\middle|\top\right)\times f\left(t\middle|\top\right)\times f\left(\frown \middle|x\wedge y\wedge z\wedge t\wedge \top\right) \,dt} \,dz} \,dy} \,dx}$
Ma $f\left(x\middle|\top\right)=f\left(y\middle|\top\right)=f\left(z\middle|\top\right)=f\left(t\middle|\top\right)=1$ per cui
$\displaystyle f\left(\frown\middle|\top\right)=\int_0^1{\int_0^1{\int_0^1{\int_0^1 {\frac{\left(yz-xt\right)^2}{2\left(x+z\right)\left(y+t\right)} \,dt} \,dz} \,dy} \,dx}$
Questo integrale non è poi così formidabile: l’unica preoccupazione è che converga perché quelle variabili al denominatore significano logaritmi nell’integrale e uno degli estremi di integrazione è $0$.
Vedremo.
Continua...
Prendiamo quattro variabili distribuite uniformemente, $0\leq x,y,z,t\leq 1$, e definiamo i punti $\text{A}\equiv\left(x;y\right)$ e $\text{C}\equiv\left(-z;-t\right)$ in modo che, al variare di $x$ e $y$, il punto $\text{A}$ scandisca il quadrato unitario del primo quadrante mentre, al variare di $z$ e $t$, il punto $\text{C}$ scandisce il quadrato unitario del terzo quadrante.
La retta passante per $\text{A}$ e $\text{C}$ ha equazione $Y=mX+q$ con
$\displaystyle m=\frac{\left(y+t\right)}{\left(x+z\right)}$
e
$\displaystyle q=\frac{\left(yz-xt\right)}{\left(x+z\right)}$
L’intersezione della retta con l’asse delle ordinate identifica il punto $\text{E}\equiv\left(0;q\right)$; l’intersezione con l’asse delle ascisse identifica il punto $\text{F}\equiv\left(-\frac{q}{m};0\right)$ L’area del triangolo $\text{OEF}$, che misura la frequenza di punti che producono un quadrilatero concavo, è data dal semiprodotto del valore assoluto dell’ordinata di $\text{E}$ e del valore assoluto dell’ascissa di $\text{F}$.
Osserviamo che le due coordinate hanno segno discorde
dimodoché la frequenza, dati $x$, $y$, $z$ e $t$, vale
$\displaystyle f\left(\frown\middle|x\wedge y\wedge z\wedge t\wedge \top\right)=\frac{q^2}{2m}=\frac{\left(yz-xt\right)^2}{2\left(x+z\right)\left(y+t\right)}$.
(ricordo che \frown, $\frown$, significa “concavo” mentre \smile, $\smile$, significa “convesso”
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La frequenza si ottiene per marginalizzazione
$\displaystyle f\left(\frown\middle|\top\right)=\int_0^1{\int_0^1{\int_0^1{\int_0^1 {f\left(\frown\wedge x\wedge y\wedge z\wedge t \middle|\top\right) \,dt} \,dz} \,dy} \,dx}
=\int_0^1{\int_0^1{\int_0^1{\int_0^1 {f\left(x\middle|\top\right)\times f\left(y\middle|\top\right)\times f\left(z\middle|\top\right)\times f\left(t\middle|\top\right)\times f\left(\frown \middle|x\wedge y\wedge z\wedge t\wedge \top\right) \,dt} \,dz} \,dy} \,dx}$
Ma $f\left(x\middle|\top\right)=f\left(y\middle|\top\right)=f\left(z\middle|\top\right)=f\left(t\middle|\top\right)=1$ per cui
$\displaystyle f\left(\frown\middle|\top\right)=\int_0^1{\int_0^1{\int_0^1{\int_0^1 {\frac{\left(yz-xt\right)^2}{2\left(x+z\right)\left(y+t\right)} \,dt} \,dz} \,dy} \,dx}$
Questo integrale non è poi così formidabile: l’unica preoccupazione è che converga perché quelle variabili al denominatore significano logaritmi nell’integrale e uno degli estremi di integrazione è $0$.
Vedremo.
Continua...
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"Se la montagna non va a Maometto, Maometto NON va alla montagna"
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