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La x di un triangolo.
Moderatori: Gianfranco, Bruno
Questo forum è una sezione del PORTALE DI BASE CINQUE
La x di un triangolo.
(Bruno)
...........................
Invisibile un vento
l'ha apena sfioragia
sospension d'un momento;
e la bola iridessente gera 'ndagia.
{Biagio Marin}
................................................................
Meglio soluzioni sbagliate che risposte esatte.
{Rudi Mathematici}
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Re: La x di un triangolo.
Garzoncello scherzoso: ho rifatto il disegno e viene un filino diverso
Intanto se $1+1=2$ allora $180^\circ-75^\circ-30^\circ=75^\circ$ quindi il triangolo $\text{ABC}$ è isoscele
Di conseguenza lo è anche $\text{BCD}$ e, essendo $b$ la base del triangolo, abbiamo che
$\displaystyle \text{BD}:b=b:l$
con $l=\text{AB}$.
Osserviamo che $\sin75^\circ=\frac{\sqrt6+\sqrt2}4$, $\cos75^\circ=\frac{\sqrt6-\sqrt2}4$ e $\sin75^\circ\cdot\cos75^\circ=\frac14$. Quindi
$\displaystyle l=\frac{b}{2 \cos 75^\circ} = 2b \sin 75^\circ=b\frac{\sqrt6+\sqrt2}2$
e
$\displaystyle \text{BD}=\frac{b^2}{l} = 2b \cos 75^\circ=b\frac{\sqrt6-\sqrt2}2$
mentre
$\displaystyle \text{CE}=l-\text{BD}=\sqrt2 b$
L'angolo $\text{DCE}$ è di $45^\circ$, $\text{CD}=b$ perché $\text{BCD}$ è isoscele e il rapporto tra i due lati dell'angolo è $\sqrt2$: il triangolo $\text{CDE}$ è un mezzo quadrato e $x=45^\circ$.
Qualcuno può fornire una dimostrazione sintetica (solo geometria)?
Intanto se $1+1=2$ allora $180^\circ-75^\circ-30^\circ=75^\circ$ quindi il triangolo $\text{ABC}$ è isoscele
Di conseguenza lo è anche $\text{BCD}$ e, essendo $b$ la base del triangolo, abbiamo che
$\displaystyle \text{BD}:b=b:l$
con $l=\text{AB}$.
Osserviamo che $\sin75^\circ=\frac{\sqrt6+\sqrt2}4$, $\cos75^\circ=\frac{\sqrt6-\sqrt2}4$ e $\sin75^\circ\cdot\cos75^\circ=\frac14$. Quindi
$\displaystyle l=\frac{b}{2 \cos 75^\circ} = 2b \sin 75^\circ=b\frac{\sqrt6+\sqrt2}2$
e
$\displaystyle \text{BD}=\frac{b^2}{l} = 2b \cos 75^\circ=b\frac{\sqrt6-\sqrt2}2$
mentre
$\displaystyle \text{CE}=l-\text{BD}=\sqrt2 b$
L'angolo $\text{DCE}$ è di $45^\circ$, $\text{CD}=b$ perché $\text{BCD}$ è isoscele e il rapporto tra i due lati dell'angolo è $\sqrt2$: il triangolo $\text{CDE}$ è un mezzo quadrato e $x=45^\circ$.
Qualcuno può fornire una dimostrazione sintetica (solo geometria)?
il panurgo
Principio di Relatività: $\mathbb{m} \not \to \mathbb{M} \, \Longleftrightarrow \, \mathbb{M} \not \to \mathbb{m}$
"Se la montagna non va a Maometto, Maometto NON va alla montagna"
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"Se la montagna non va a Maometto, Maometto NON va alla montagna"
Re: La x di un triangolo.
Quello è lo schema su cui ho dovuto lavorare io
D'altra parte, sai bene che i disegni sono facilmente ingannevoli in questi problemi e bisogna tener conto di ben altre cose.
(Bruno)
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Re: La x di un triangolo.
Caro Guido, eccoti una risoluzione sintetica, la riporto come l'ho immaginata
Rileggendola, avrei potuto renderla ancora più sintetica, ma la lascio così.
Ho considerato lo schema come è stato proposto, aggiungendo solo le lettere sui punti rilevanti.
Naturalmente, il triangolo dato è isoscele e AM è congruente a NC.
Ho creato sul lato AC un'immagine speculare del triangolo.
Ho collegato M ed M' e questo mi ha permesso di stabilire, immediatamente, che MM' misura $b$.
Poiché l'angolo MCM' ha un'ampiezza di 90° (in base ai dati forniti), il triangolo MCM' è la metà di un quadrato ed MM'
è una diagonale, perciò MC ≡ M'C misurano $\frac{b}{\sqrt{2}}$.
Guardando il triangolo MCN, con i lati $\frac{b}{\sqrt{2}}$ e $b$ e l'angolo compreso di 45°, si deduce subito che anche tale triangolo
è la metà di un quadrato ed NC è una diagonale.
Dunque: $\;x = 45°$
Il tutto, a dispetto delle apparenze
A dir le cose ci si mette di più che a farle...
Chiaramente, come spesso accade, ci possono essere altri approcci.
Rileggendola, avrei potuto renderla ancora più sintetica, ma la lascio così.
Ho considerato lo schema come è stato proposto, aggiungendo solo le lettere sui punti rilevanti.
Naturalmente, il triangolo dato è isoscele e AM è congruente a NC.
Ho creato sul lato AC un'immagine speculare del triangolo.
Ho collegato M ed M' e questo mi ha permesso di stabilire, immediatamente, che MM' misura $b$.
Poiché l'angolo MCM' ha un'ampiezza di 90° (in base ai dati forniti), il triangolo MCM' è la metà di un quadrato ed MM'
è una diagonale, perciò MC ≡ M'C misurano $\frac{b}{\sqrt{2}}$.
Guardando il triangolo MCN, con i lati $\frac{b}{\sqrt{2}}$ e $b$ e l'angolo compreso di 45°, si deduce subito che anche tale triangolo
è la metà di un quadrato ed NC è una diagonale.
Dunque: $\;x = 45°$
Il tutto, a dispetto delle apparenze
A dir le cose ci si mette di più che a farle...
Chiaramente, come spesso accade, ci possono essere altri approcci.
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