La più piccola delle sei.
Moderatori: Gianfranco, Bruno
Questo forum è una sezione del PORTALE DI BASE CINQUE
La più piccola delle sei.
Assumendo uguale a 1 il raggio della circonferenza verde, quanto misura quello della circonferenza blu?
(Bruno)
...........................
Invisibile un vento
l'ha apena sfioragia
sospension d'un momento;
e la bola iridessente gera 'ndagia.
{Biagio Marin}
................................................................
Meglio soluzioni sbagliate che risposte esatte.
{Rudi Mathematici}
...........................
Invisibile un vento
l'ha apena sfioragia
sospension d'un momento;
e la bola iridessente gera 'ndagia.
{Biagio Marin}
................................................................
Meglio soluzioni sbagliate che risposte esatte.
{Rudi Mathematici}
Re: La più piccola delle sei.
0,17157287525381 ?
Franco
ENGINEER
noun. (en-juh-neer)
someone who does precision guesswork based on unreliable data provided by those of questionable knowledge.
See also wizard, magician
ENGINEER
noun. (en-juh-neer)
someone who does precision guesswork based on unreliable data provided by those of questionable knowledge.
See also wizard, magician
Re: La più piccola delle sei.
Sì.
(Bruno)
...........................
Invisibile un vento
l'ha apena sfioragia
sospension d'un momento;
e la bola iridessente gera 'ndagia.
{Biagio Marin}
................................................................
Meglio soluzioni sbagliate che risposte esatte.
{Rudi Mathematici}
...........................
Invisibile un vento
l'ha apena sfioragia
sospension d'un momento;
e la bola iridessente gera 'ndagia.
{Biagio Marin}
................................................................
Meglio soluzioni sbagliate che risposte esatte.
{Rudi Mathematici}
Re: La più piccola delle sei.
Chiamo $r$ il raggio dei cerchi neri e $x$ quello incognito del cerchio blu.
Il diametro rosso è $4r+2x=2$
il quadrato viola ha lato pari a $2r$ e diagonale pari a $2r+2x$.
Da li in avanti i passaggi sono semplici e portano a
Franco
ENGINEER
noun. (en-juh-neer)
someone who does precision guesswork based on unreliable data provided by those of questionable knowledge.
See also wizard, magician
ENGINEER
noun. (en-juh-neer)
someone who does precision guesswork based on unreliable data provided by those of questionable knowledge.
See also wizard, magician
Re: La più piccola delle sei.
Ottimo, Franco, questa è una via
(Bruno)
...........................
Invisibile un vento
l'ha apena sfioragia
sospension d'un momento;
e la bola iridessente gera 'ndagia.
{Biagio Marin}
................................................................
Meglio soluzioni sbagliate che risposte esatte.
{Rudi Mathematici}
...........................
Invisibile un vento
l'ha apena sfioragia
sospension d'un momento;
e la bola iridessente gera 'ndagia.
{Biagio Marin}
................................................................
Meglio soluzioni sbagliate che risposte esatte.
{Rudi Mathematici}
Re: La più piccola delle sei.
Una piccola costruzione e me la sono cavata con un paio di immediate differenze
(Bruno)
...........................
Invisibile un vento
l'ha apena sfioragia
sospension d'un momento;
e la bola iridessente gera 'ndagia.
{Biagio Marin}
................................................................
Meglio soluzioni sbagliate che risposte esatte.
{Rudi Mathematici}
...........................
Invisibile un vento
l'ha apena sfioragia
sospension d'un momento;
e la bola iridessente gera 'ndagia.
{Biagio Marin}
................................................................
Meglio soluzioni sbagliate che risposte esatte.
{Rudi Mathematici}
Re: La più piccola delle sei.
Mi è venuto da chiedermi quanta parte del cerchio grande sia occupata dai cerchi piccoli "concentrici"...
il panurgo
Principio di Relatività: $\mathbb{m} \not \to \mathbb{M} \, \Longleftrightarrow \, \mathbb{M} \not \to \mathbb{m}$
"Se la montagna non va a Maometto, Maometto NON va alla montagna"
Principio di Relatività: $\mathbb{m} \not \to \mathbb{M} \, \Longleftrightarrow \, \mathbb{M} \not \to \mathbb{m}$
"Se la montagna non va a Maometto, Maometto NON va alla montagna"
Re: La più piccola delle sei.
Intanto riporto la mia risoluzione per il problema iniziale.
Con un paio di semplici differenze arrivo alla risposta.
Questo schema mi permette di vedere che, se 1 è il raggio della circonferenza circoscritta alle quattro circonferenze più piccole, allora $\small\,\sqrt 2-1\,$ è il raggio di ognuna di tali circonferenze.
Per passare dalla circonferenza di raggio 1 alla circonferenza di raggio AC devo moltiplicare 1 per $\small\,3-2\cdot \sqrt 2\,$, che è $\small\,(\sqrt 2-1)^2$, e così mi ritrovo in una situazione ridotta ma simile alla precedente, dove posso considerare il secondo livello di quattro circonferenze. Il raggio di ognuna di esse è $\small (\sqrt 2-1)^2\cdot (\sqrt 2-1) = (\sqrt 2 -1 )^3$.
Di questo passo ottengo, a discesa, i seguenti raggi $\small\,\sqrt 2 -1, \, (\sqrt 2 -1 )^3, \, (\sqrt 2 -1 )^5, \, (\sqrt 2 -1 )^7, \,...$
La somma delle aree dei vari livelli di circonferenze, dovendo trattare una progressione geometrica condotta all'infinito, è di facile determinazione:
$\sum_{i=0}^\infty\, {\small 4\cdot \left [(\sqrt 2-1)^{2\cdot i+1}\right ]^2\cdot \pi} = \frac{\pi \cdot \sqrt 2}{2}$.
Pertanto, direi che il cerchio grande è occupato dagli infiniti cerchi interni per il $\; {\small 70,7 \,\% }\simeq \frac{\sqrt 2}{2}$.
Con un paio di semplici differenze arrivo alla risposta.
Questo schema mi permette di vedere che, se 1 è il raggio della circonferenza circoscritta alle quattro circonferenze più piccole, allora $\small\,\sqrt 2-1\,$ è il raggio di ognuna di tali circonferenze.
Per passare dalla circonferenza di raggio 1 alla circonferenza di raggio AC devo moltiplicare 1 per $\small\,3-2\cdot \sqrt 2\,$, che è $\small\,(\sqrt 2-1)^2$, e così mi ritrovo in una situazione ridotta ma simile alla precedente, dove posso considerare il secondo livello di quattro circonferenze. Il raggio di ognuna di esse è $\small (\sqrt 2-1)^2\cdot (\sqrt 2-1) = (\sqrt 2 -1 )^3$.
Di questo passo ottengo, a discesa, i seguenti raggi $\small\,\sqrt 2 -1, \, (\sqrt 2 -1 )^3, \, (\sqrt 2 -1 )^5, \, (\sqrt 2 -1 )^7, \,...$
La somma delle aree dei vari livelli di circonferenze, dovendo trattare una progressione geometrica condotta all'infinito, è di facile determinazione:
$\sum_{i=0}^\infty\, {\small 4\cdot \left [(\sqrt 2-1)^{2\cdot i+1}\right ]^2\cdot \pi} = \frac{\pi \cdot \sqrt 2}{2}$.
Pertanto, direi che il cerchio grande è occupato dagli infiniti cerchi interni per il $\; {\small 70,7 \,\% }\simeq \frac{\sqrt 2}{2}$.
(Bruno)
...........................
Invisibile un vento
l'ha apena sfioragia
sospension d'un momento;
e la bola iridessente gera 'ndagia.
{Biagio Marin}
................................................................
Meglio soluzioni sbagliate che risposte esatte.
{Rudi Mathematici}
...........................
Invisibile un vento
l'ha apena sfioragia
sospension d'un momento;
e la bola iridessente gera 'ndagia.
{Biagio Marin}
................................................................
Meglio soluzioni sbagliate che risposte esatte.
{Rudi Mathematici}
Re: La più piccola delle sei.
$\displaystyle r=\left(1-r\right)\sin{\frac{\pi}{n}}$
cioè
$\displaystyle r=\frac{\sin{\frac{\pi}{n}}}{1+\sin{\frac{\pi}{n}}}$
La più piccola delle sei è simile alla più grande delle sei quindi è sufficiente calcolare il rapporto tra le aree nella corona circolare esterna, rapporto che rimane invariato per tutte le infinite corone circolari interne
$\displaystyle \frac{n\pi r^2}{\pi-\pi\left(1-2r\right)^2}=\frac{n}4\cdot\frac{r}{1-r}=\frac{n}4\sin\frac{\pi}{n}$
Il risultato è valido qualunque sia il numero di circonferenze nella corona circolare esterna anche se, al crescere di $n$, la più piccola delle $n+2$ non è più la più piccola
il panurgo
Principio di Relatività: $\mathbb{m} \not \to \mathbb{M} \, \Longleftrightarrow \, \mathbb{M} \not \to \mathbb{m}$
"Se la montagna non va a Maometto, Maometto NON va alla montagna"
Principio di Relatività: $\mathbb{m} \not \to \mathbb{M} \, \Longleftrightarrow \, \mathbb{M} \not \to \mathbb{m}$
"Se la montagna non va a Maometto, Maometto NON va alla montagna"
Re: La più piccola delle sei.
Fantastico, Guido
(Bruno)
...........................
Invisibile un vento
l'ha apena sfioragia
sospension d'un momento;
e la bola iridessente gera 'ndagia.
{Biagio Marin}
................................................................
Meglio soluzioni sbagliate che risposte esatte.
{Rudi Mathematici}
...........................
Invisibile un vento
l'ha apena sfioragia
sospension d'un momento;
e la bola iridessente gera 'ndagia.
{Biagio Marin}
................................................................
Meglio soluzioni sbagliate che risposte esatte.
{Rudi Mathematici}
Re: La più piccola delle sei.
A titolo di curiosità
$\displaystyle \lim_{n\to\infty}\frac{n}4\sin\frac{\pi}{n} = \lim_{n\to\infty}\frac{n}4\left[\frac1{1!}\frac{\pi}{n} - \frac1{3!}\left(\frac{\pi}{n}\right)^3 + \frac1{5!}\left(\frac{\pi}{n}\right)^5 - \cdots\right] = \frac{\pi}4 \lim_{n\to\infty}\left[1 - \frac1{3!}\left(\frac{\pi}{n}\right)^2 + \frac1{5!}\left(\frac{\pi}{n}\right)^4 - \cdots\right] = \frac{\pi}4\approx 78,5\;\%$
$\displaystyle \lim_{n\to\infty}\frac{n}4\sin\frac{\pi}{n} = \lim_{n\to\infty}\frac{n}4\left[\frac1{1!}\frac{\pi}{n} - \frac1{3!}\left(\frac{\pi}{n}\right)^3 + \frac1{5!}\left(\frac{\pi}{n}\right)^5 - \cdots\right] = \frac{\pi}4 \lim_{n\to\infty}\left[1 - \frac1{3!}\left(\frac{\pi}{n}\right)^2 + \frac1{5!}\left(\frac{\pi}{n}\right)^4 - \cdots\right] = \frac{\pi}4\approx 78,5\;\%$
il panurgo
Principio di Relatività: $\mathbb{m} \not \to \mathbb{M} \, \Longleftrightarrow \, \mathbb{M} \not \to \mathbb{m}$
"Se la montagna non va a Maometto, Maometto NON va alla montagna"
Principio di Relatività: $\mathbb{m} \not \to \mathbb{M} \, \Longleftrightarrow \, \mathbb{M} \not \to \mathbb{m}$
"Se la montagna non va a Maometto, Maometto NON va alla montagna"
Re: La più piccola delle sei.
Infatti.
E due soli cerchi interni occupano la metà del cerchio iniziale.
E due soli cerchi interni occupano la metà del cerchio iniziale.
(Bruno)
...........................
Invisibile un vento
l'ha apena sfioragia
sospension d'un momento;
e la bola iridessente gera 'ndagia.
{Biagio Marin}
................................................................
Meglio soluzioni sbagliate che risposte esatte.
{Rudi Mathematici}
...........................
Invisibile un vento
l'ha apena sfioragia
sospension d'un momento;
e la bola iridessente gera 'ndagia.
{Biagio Marin}
................................................................
Meglio soluzioni sbagliate che risposte esatte.
{Rudi Mathematici}