Dado gratta i dadi
Moderatori: Gianfranco, Bruno
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Dado gratta i dadi
Corrado (Dado per gli amici) sta impazzendo per un nuovo gratta e vinci.
Il biglietto, che costa 8€, raffigura 12 dadi da grattare.
Se ne possono grattare un numero a piacere scoprendo sotto ognuno una cifra compresa fra 1 e 6 (presenti in modo totalmente casuale).
Se grattando si scopre un 1 la partita è persa; altrimenti si vince un importo in euro pari alla somma dei numeri scoperti.
Evidentemente, gratta gratta aumenta la somma ma aumentano anche le probabilità di trovare un 1.
Quanti dadi bisogna grattare per massimizzare le vincite (o minimizzare le perdite ...)?
www.diophante.fr
G1914
Il biglietto, che costa 8€, raffigura 12 dadi da grattare.
Se ne possono grattare un numero a piacere scoprendo sotto ognuno una cifra compresa fra 1 e 6 (presenti in modo totalmente casuale).
Se grattando si scopre un 1 la partita è persa; altrimenti si vince un importo in euro pari alla somma dei numeri scoperti.
Evidentemente, gratta gratta aumenta la somma ma aumentano anche le probabilità di trovare un 1.
Quanti dadi bisogna grattare per massimizzare le vincite (o minimizzare le perdite ...)?
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Franco
ENGINEER
noun. (en-juh-neer)
someone who does precision guesswork based on unreliable data provided by those of questionable knowledge.
See also wizard, magician
ENGINEER
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Re: Dado gratta i dadi
non so se l'approccio è corretto, ma possiamo certamente dire che
-se il gioco non termina, ogni dado tirato (o grattato) rende , in media, 4 euro.
-ad ogni grattata (o lancio) di dado, abbiamo 5 probabilità su 6 di mantenere vivo il gioco
A questo punto, grattando un dado, ci attendiamo 4 x 5/6 = 3,333
Se gratto due dadi, incasserò solo 25 volte su 36 , ma incasserò in media 8 = 5,555
Se gratto tre volte, incasserò solo 125/216 di 12 = quasi 7
…
se faccio sei tentativi, il valore atteso scende a meno di 6,7
sempre che il ragionamento sia giusto
-se il gioco non termina, ogni dado tirato (o grattato) rende , in media, 4 euro.
-ad ogni grattata (o lancio) di dado, abbiamo 5 probabilità su 6 di mantenere vivo il gioco
A questo punto, grattando un dado, ci attendiamo 4 x 5/6 = 3,333
Se gratto due dadi, incasserò solo 25 volte su 36 , ma incasserò in media 8 = 5,555
Se gratto tre volte, incasserò solo 125/216 di 12 = quasi 7
…
se faccio sei tentativi, il valore atteso scende a meno di 6,7
sempre che il ragionamento sia giusto
Enrico
Re: Dado gratta i dadi
il ragionamento è, a mio parere, giusto e concordo con le "aspettative" riferite a 1, 2 o 3 dadi grattati.
Il numero successivo invece non mi torna.
Il problema è piuttosto sempice ma mi è piaciuto farci qualche ragionamento in più che magari condividerò fra qualche giorno ...
Il numero successivo invece non mi torna.
Il problema è piuttosto sempice ma mi è piaciuto farci qualche ragionamento in più che magari condividerò fra qualche giorno ...
Franco
ENGINEER
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Re: Dado gratta i dadi
passando da un gradino al successivo, il valore va moltiplicato per 5/6 e per il rapporto tra il numero di lanci.
Per cui, a prescindere dal valore, passando da 5 a 6 lanci, il valore (moltiplicandosi per 5/6 e per 6/5) resta invariato. poi, cala
Per cui, a prescindere dal valore, passando da 5 a 6 lanci, il valore (moltiplicandosi per 5/6 e per 6/5) resta invariato. poi, cala
Enrico
Re: Dado gratta i dadi
Franco
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Re: Dado gratta i dadi
La probabilità di vincere grattando $k$ dadi è $\left(\frac56\right)^k$ e l'expectation per ogni grattata vincente è $4$ per cui grattando $k$ dadi vinciamo in media $4k\left(\frac56\right)^k$.
In tabella
$\begin{array}{|r|c|c|}
\hline
k & E & \\
\hline
0 & 0 & 0 \\
1 & \frac{10}3 & 3,333\ldots \\
2 & \frac{50}9 & 5,555\ldots \\
3 & \frac{125}{18} & 6,944\ldots \\
4 & \frac{625}{81} & 7,716\ldots \\
5 & \frac{15625}{1944} & 8,037\ldots \\
6 & \frac{15625}{1944} & 8,037\ldots \\
7 & \frac{546875}{69984} & 7,814\ldots \\
8 & \frac{390625}{52488} & 7,442\ldots \\
9 & \frac{1953125}{279936} & 6,977\ldots \\
10 & \frac{48828125}{7558272} & 6,460\ldots \\
11 & \frac{537109375}{90699264} & 5,921\ldots \\
12 & \frac{244140625}{45349632} & 5,383\ldots \\
\hline
\end{array}$
Tra il $5$ e il $6$ il giochino è che $4\cdot 6\left(\frac56\right)^6=4\cdot 6\cdot\frac56\left(\frac56\right)^5=4\cdot 5\left(\frac56\right)^5$.
Ciò detto, non so se l'expecatation sia sufficiente: credo che la strategia di gioco possa dipendere dai valori effettivamente trovati.
Visto che l'expecatation per $5$ (o $6$) dadi è lievemente superiore a $8$ il gioco è favorevole (in media) me, se stessi giocando una schedina e avessi grattato due $6$ mi fermerei lì...
In tabella
$\begin{array}{|r|c|c|}
\hline
k & E & \\
\hline
0 & 0 & 0 \\
1 & \frac{10}3 & 3,333\ldots \\
2 & \frac{50}9 & 5,555\ldots \\
3 & \frac{125}{18} & 6,944\ldots \\
4 & \frac{625}{81} & 7,716\ldots \\
5 & \frac{15625}{1944} & 8,037\ldots \\
6 & \frac{15625}{1944} & 8,037\ldots \\
7 & \frac{546875}{69984} & 7,814\ldots \\
8 & \frac{390625}{52488} & 7,442\ldots \\
9 & \frac{1953125}{279936} & 6,977\ldots \\
10 & \frac{48828125}{7558272} & 6,460\ldots \\
11 & \frac{537109375}{90699264} & 5,921\ldots \\
12 & \frac{244140625}{45349632} & 5,383\ldots \\
\hline
\end{array}$
Tra il $5$ e il $6$ il giochino è che $4\cdot 6\left(\frac56\right)^6=4\cdot 6\cdot\frac56\left(\frac56\right)^5=4\cdot 5\left(\frac56\right)^5$.
Ciò detto, non so se l'expecatation sia sufficiente: credo che la strategia di gioco possa dipendere dai valori effettivamente trovati.
Visto che l'expecatation per $5$ (o $6$) dadi è lievemente superiore a $8$ il gioco è favorevole (in media) me, se stessi giocando una schedina e avessi grattato due $6$ mi fermerei lì...
il panurgo
Principio di Relatività: $\mathbb{m} \not \to \mathbb{M} \, \Longleftrightarrow \, \mathbb{M} \not \to \mathbb{m}$
"Se la montagna non va a Maometto, Maometto NON va alla montagna"
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Re: Dado gratta i dadi
Il problema, è stato abbondantemente sviscerato.
Posto comunque quanto avevo scritto prima ancora di postare il problema sul forum. E' interessante anche l'ultimo concetto espresso da Guido: se valga la pena o meno di smettere di grattare (e rischiare) quando si raggiunge una somma superiore all'aspettativa media.
Forse però in tal caso è più semplice fare un programmino si simulazione per vedere se alla lunga conviene fafre così!
Posto comunque quanto avevo scritto prima ancora di postare il problema sul forum. E' interessante anche l'ultimo concetto espresso da Guido: se valga la pena o meno di smettere di grattare (e rischiare) quando si raggiunge una somma superiore all'aspettativa media.
Forse però in tal caso è più semplice fare un programmino si simulazione per vedere se alla lunga conviene fafre così!
Franco
ENGINEER
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Re: Dado gratta i dadi
Prendiamo in considerazione la quantità
$\displaystyle\left\langle S_{n+k}\middle|S_n\wedge k\wedge\top\right\rangle=\left(S_n+4k\right)\left(\frac56\right)^k$
dove
$\begin{array}{|l|l|C}
\hline
S_n & \text{somma vinta finora} \\
\hline
n & \text{numero di dadi grattati} \\
\hline
k & \text{numero di dadi da grattare} \\
\hline
\top & \text{universo del discorso} \\
\hline
\end{array}$
ovvero l’expectation dopo $n$ dadi, nei suoi casi particolari:
Expectation a priori ($n=0$ e $S_n=0$)
$\displaystyle\left\langle S\middle|k\wedge\top\right\rangle=4k\left(\frac56\right)^k$
l’expectation che abbiamo considerato finora, utilissima per la SISAL: nel caso in cui ci siano milioni di giocate permette di calcolare con accuratezza le somme in gioco.
A chi sta giocando una schedina (e non avrà mai la possibilità di giocarne un Grande Numero) torna più utile l’expectation di una grattata in più
$\displaystyle\left\langle S_{n+1}\middle|S_n\wedge\top\right\rangle=\frac{5\left(S_n+4\right)}6$
che scorporariamo in expectation di una grattata in più, in caso di vincita ($V$)
$\displaystyle\left\langle S_{n+1}\middle|S_n\wedge V\wedge\top\right\rangle=S_n+4$
con differenza tra quanto è già nostro e quanto possiamo sperare di avere grattando un altro dado, $\Delta S=4$, ed expectation di una grattata in più, in caso di perdita ($P$)
$\displaystyle\left\langle S_{n+1}\middle|S_n\wedge P\wedge\top\right\rangle=0$
con differenza $\Delta S=-S_n$.
In soldoni, quando giochiamo grattiamo un dado alla volta, il che significa che, per la grattata successiva, l’expectation è $+4$ in caso di vincita e $-S_n$ in caso di perdità: indipendentemente da quanto ci è costato giocare dobbiamo decidere se rischiare la somma già vinta ($S_n$) per vincere $4\text{ Eur}$ in più.
L’expectation
$\displaystyle\left\langle S_{n+1}\middle|S_n\wedge\top\right\rangle=\frac56\left\langle S_{n+1}\middle|S_n\wedge V\wedge\top\right\rangle+\frac16\left\langle S_{n+1}\middle|S_n\wedge P\wedge\top\right\rangle$
è peggio che inutile per una giocata singola: o vinciamo $4\text{ Eur}$ in più o perdiamo tutto.
il panurgo
Principio di Relatività: $\mathbb{m} \not \to \mathbb{M} \, \Longleftrightarrow \, \mathbb{M} \not \to \mathbb{m}$
"Se la montagna non va a Maometto, Maometto NON va alla montagna"
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