Tra le potenze di 2 e i numeri triangolari.
Moderatori: Gianfranco, Bruno
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Tra le potenze di 2 e i numeri triangolari.
Può
$\large 2^n = \triangle_r - \triangle_s$
per qualche n, r ed s ?
$\large 2^n = \triangle_r - \triangle_s$
per qualche n, r ed s ?
(Bruno)
...........................
Invisibile un vento
l'ha apena sfioragia
sospension d'un momento;
e la bola iridessente gera 'ndagia.
{Biagio Marin}
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Meglio soluzioni sbagliate che risposte esatte.
{Rudi Mathematici}
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Re: Tra le potenze di 2 e i numeri triangolari.
$2^n = \frac {2^n \cdot (2^n+1)}{2} - \frac {(2^n-1) \cdot 2^n}{2}$
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$\text { }$ciao ciao
E' la somma che fa il totale (Totò)
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Re: Tra le potenze di 2 e i numeri triangolari.
Cos'altro possiamo dire, Pasquale?
Il secondo membro dell'equazione proposta può essere inteso come una somma di numeri interi consecutivi
Il secondo membro dell'equazione proposta può essere inteso come una somma di numeri interi consecutivi
(Bruno)
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Re: Tra le potenze di 2 e i numeri triangolari.
Pardon, non ho capito il commento.
Intanto, chiarisco come ho tradotto la soluzione nella formula riportata:
praticamente, ho trasformato tutto in funzione di n, avendo trovato per ogni $2^n$ due nuneri triangolari espressi in funzione della stessa n del 2, la cui differenza risultasse appunto pari a $2^n$.
Se la s e la t, si riferiscono all'ultimo numero degli interi consecutivi a partire da 1 (la cui somma costituisce un numero triangolare), allora le stesse si possono ricavare dal primo numero di cui al numeratore di ciascuna delle due frazioni riportate nella formula, le quali ultime costituiscono le sommatorie $\triangle_r \ e \ \triangle_s$ fra cui effettuare la differenza richiesta.
Mi pare di aver capito che la soluzione possa essere espressa come somma in luogo della differenza (?)
Intanto, chiarisco come ho tradotto la soluzione nella formula riportata:
praticamente, ho trasformato tutto in funzione di n, avendo trovato per ogni $2^n$ due nuneri triangolari espressi in funzione della stessa n del 2, la cui differenza risultasse appunto pari a $2^n$.
Se la s e la t, si riferiscono all'ultimo numero degli interi consecutivi a partire da 1 (la cui somma costituisce un numero triangolare), allora le stesse si possono ricavare dal primo numero di cui al numeratore di ciascuna delle due frazioni riportate nella formula, le quali ultime costituiscono le sommatorie $\triangle_r \ e \ \triangle_s$ fra cui effettuare la differenza richiesta.
Mi pare di aver capito che la soluzione possa essere espressa come somma in luogo della differenza (?)
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Re: Tra le potenze di 2 e i numeri triangolari.
Pasquale, la tua è un'identità che vale naturalmente per qualsiasi numero intero: $\;{\large \triangle_m - \triangle_{m-1}} = m$.
Volendo, potremmo scriverla anche per pi greco
Comunque la risposta è corretta anche se la questione, in un più ampio respiro, è meno immediata.
Volendo, potremmo scriverla anche per pi greco
Comunque la risposta è corretta anche se la questione, in un più ampio respiro, è meno immediata.
Infatti. Come puoi interpretare la differenza di due numeri triangolari non contigui?
(Bruno)
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Re: Tra le potenze di 2 e i numeri triangolari.
Nel senso che lo stesso $2^n$ può risultare dalla differenza fra due triangolari contigui o anche non contigui ?
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Re: Tra le potenze di 2 e i numeri triangolari.
In buona sostanza, Pasquale: le potenze di 2 possono essere la somma di numeri naturali consecutivi
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Re: Tra le potenze di 2 e i numeri triangolari.
r-esimo numero triangolare:
$$T_r=\frac{r\cdot(r+1)}{2}$$
s-esimo numero triangolare:
$$T_s=\frac{s\cdot(s+1)}{2}$$
Supponendo che r>s>0:
$$T_r-T_s=\frac{\left( r-s\right) \, \left( r+s+1\right) }{2}$$
I due fattori:
$$\left( r-s\right) \, \left( r+s+1\right)$$
hanno parità diversa perciò il loro prodotto non può essere una potenza di 2.
$$T_r=\frac{r\cdot(r+1)}{2}$$
s-esimo numero triangolare:
$$T_s=\frac{s\cdot(s+1)}{2}$$
Supponendo che r>s>0:
$$T_r-T_s=\frac{\left( r-s\right) \, \left( r+s+1\right) }{2}$$
I due fattori:
$$\left( r-s\right) \, \left( r+s+1\right)$$
hanno parità diversa perciò il loro prodotto non può essere una potenza di 2.
Pace e bene a tutti.
Gianfranco
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Re: Tra le potenze di 2 e i numeri triangolari.
Per esempio?
Oppure, qualche indizio?
Pace e bene a tutti.
Gianfranco
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Re: Tra le potenze di 2 e i numeri triangolari.
PerfettoGianfranco ha scritto: ↑mar giu 30, 2020 12:01 pmI due fattori:
$$\left( r-s\right) \, \left( r+s+1\right)$$
hanno parità diversa perciò il loro prodotto non può essere una potenza di 2.
Il caso r=s+1 (che rientra in r>s>0) conduce all'identità stabilita all'inizio da Pasquale.
La somma di numeri naturali consecutivi ha almeno un divisore dispari.
Di questo teoremino si è occupato Miquel Albertí in "La creatività matematica".
Il riferimento, come dicevo sopra anche a Pasquale, è alla somma di numeri naturali consecutivi
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