Ma che sistema è questo!
Moderatori: Gianfranco, Bruno
Questo forum è una sezione del PORTALE DI BASE CINQUE
Ma che sistema è questo!
Qui vedete un po' come è possibile districarsi:
$\{x+y+z=1\\x^2+y^2+z^2=2\\x^3+y^3+z^3=3$
$\text Si vorrebbe sapere il valore di x\cdot y\cdot z$
$\{x+y+z=1\\x^2+y^2+z^2=2\\x^3+y^3+z^3=3$
$\text Si vorrebbe sapere il valore di x\cdot y\cdot z$
_________________
$\text { }$ciao ciao
E' la somma che fa il totale (Totò)
$\text { }$ciao ciao
E' la somma che fa il totale (Totò)
procedo senza calcoli
per afre somma 1, i tre termini possono essere
1) tutti tre positivi, inferiori a 1
2) almeno uno positivo, e almeno uno negativo , ma tutti inferiori a 1
3) almeno uno positivo, e almeno uno negativo senza limiti
poichè i quadrati sono positivi, possiamo escludere la 1) i cui membri, andando nel capoluogo della Basilicata, si riducono
per lo stesso problema che i tre termini al quadrato sono tutti positivi, possiamo mettere un limite superiore, nei casi 2) e 3): nessun termine può essere nemmeno troppo vicino a 1,4 (radicedi2)
non possono esserci due termini superiori a 1 (i quadrati supererebbero 2)
una volta fissato un termine a caso (mettiamo circa 1,33), non è difficile trovare una coppia di due termini, uno negativo e un altro positivo con una differenza di 0,33 tali da soddisfare la formula dei quadrati
Senza fare troppi calcoli, qualcosa tipo +0,13 e -0,46 fanno al caso nostro
(i calcoli sono del tutto "spannometrici"
Il problema sorge con i cubi
Il termine maggiore, abbiamo detto, non può eccedere 1,4, che elevato al cubo, non arriva a 3
possiamo arrivare a tale bersaglio aggiungendo i cubi degli altri due termini?
tali due termini saranno uno positivo e uno negativo, questo ultimo avrà un valore assoluto maggiore (es.: +0,4 ; -0,8 )
Elevati al cubo, quello positivo resterà positivo, mentre il negativo resterà negativo, ed avrà un valore superiore al positivo.
sommando questi due termini al 2,8... cui eravamo arrivati col termine 1,4...
mi sembra pertanto che non ci sia una soluzione.
Con questo mio percorso logico, che non ho nessuna certezza che sia valido
per afre somma 1, i tre termini possono essere
1) tutti tre positivi, inferiori a 1
2) almeno uno positivo, e almeno uno negativo , ma tutti inferiori a 1
3) almeno uno positivo, e almeno uno negativo senza limiti
poichè i quadrati sono positivi, possiamo escludere la 1) i cui membri, andando nel capoluogo della Basilicata, si riducono
per lo stesso problema che i tre termini al quadrato sono tutti positivi, possiamo mettere un limite superiore, nei casi 2) e 3): nessun termine può essere nemmeno troppo vicino a 1,4 (radicedi2)
non possono esserci due termini superiori a 1 (i quadrati supererebbero 2)
una volta fissato un termine a caso (mettiamo circa 1,33), non è difficile trovare una coppia di due termini, uno negativo e un altro positivo con una differenza di 0,33 tali da soddisfare la formula dei quadrati
Senza fare troppi calcoli, qualcosa tipo +0,13 e -0,46 fanno al caso nostro
(i calcoli sono del tutto "spannometrici"
Il problema sorge con i cubi
Il termine maggiore, abbiamo detto, non può eccedere 1,4, che elevato al cubo, non arriva a 3
possiamo arrivare a tale bersaglio aggiungendo i cubi degli altri due termini?
tali due termini saranno uno positivo e uno negativo, questo ultimo avrà un valore assoluto maggiore (es.: +0,4 ; -0,8 )
Elevati al cubo, quello positivo resterà positivo, mentre il negativo resterà negativo, ed avrà un valore superiore al positivo.
sommando questi due termini al 2,8... cui eravamo arrivati col termine 1,4...
mi sembra pertanto che non ci sia una soluzione.
Con questo mio percorso logico, che non ho nessuna certezza che sia valido
Enrico
...
Bravo Leandro!
Sinceramente non conoscevo l'identità che hai scritto, che tuttavia ho
verificato
Per quanto mi riguarda, ho provato a rispondere alla domanda di Pasquale
ricorrendo a un'identità più presente nei miei tenui ricordi...
Questi sono i passaggi che ho fatto.
Intanto so che:
(x+y+z)² = x²+y²+z²+2·(xy+xz+yz)
ossia, tenendo conto del sistema:
1=2+2·(xy+xz+yx) $\;{\text \tiny \to}\;$ xy+xz+yz = -½ .
A questo punto moltiplico fra loro le prime due equazioni date:
1·2 = (x+y+z)·(x²+y²+z²) = x³+y³+z³+xy(x+y)+xz(x+z)+yz(y+z) .
Tengo ancora conto del sistema e poi esprimo le somme in parentesi in
funzione dell'incognita mancante (sulla base della prima equazione):
2 = 3+xy(1-z)+xz(1-y)+yz(1-x) = 3+xy+xz+yz-3xyz = 3-½-3xyz ,
da cui ricavo:
xyz = $\frac{1}{6}$ .
> Se&o
Bruno
Bravo Leandro!
Sinceramente non conoscevo l'identità che hai scritto, che tuttavia ho
verificato
Per quanto mi riguarda, ho provato a rispondere alla domanda di Pasquale
ricorrendo a un'identità più presente nei miei tenui ricordi...
Questi sono i passaggi che ho fatto.
Intanto so che:
(x+y+z)² = x²+y²+z²+2·(xy+xz+yz)
ossia, tenendo conto del sistema:
1=2+2·(xy+xz+yx) $\;{\text \tiny \to}\;$ xy+xz+yz = -½ .
A questo punto moltiplico fra loro le prime due equazioni date:
1·2 = (x+y+z)·(x²+y²+z²) = x³+y³+z³+xy(x+y)+xz(x+z)+yz(y+z) .
Tengo ancora conto del sistema e poi esprimo le somme in parentesi in
funzione dell'incognita mancante (sulla base della prima equazione):
2 = 3+xy(1-z)+xz(1-y)+yz(1-x) = 3+xy+xz+yz-3xyz = 3-½-3xyz ,
da cui ricavo:
xyz = $\frac{1}{6}$ .
> Se&o
Bruno
(Bruno)
...........................
Invisibile un vento
l'ha apena sfioragia
sospension d'un momento;
e la bola iridessente gera 'ndagia.
{Biagio Marin}
................................................................
Meglio soluzioni sbagliate che risposte esatte.
{Rudi Mathematici}
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{Biagio Marin}
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{Rudi Mathematici}
devo rivedere tutto il mio ragionamento.
ma non vedo dove sta il baco
però, avendo voi dimostrato che il prodotto xyz è positivo, possiamo arguire che o
-i tre termini sono positivi
-uno è positivo e due negativi
ma non vado molto avanti
Non ho seguito nei dettagli tutti i passaggi, ma mi/vi chiedo:
il risultato che esce dimostra che una soluzione esiste, o che, se esiste, deve essere tale che il prodotto sia 1/6 ?
ma non vedo dove sta il baco
però, avendo voi dimostrato che il prodotto xyz è positivo, possiamo arguire che o
-i tre termini sono positivi
-uno è positivo e due negativi
ma non vado molto avanti
Non ho seguito nei dettagli tutti i passaggi, ma mi/vi chiedo:
il risultato che esce dimostra che una soluzione esiste, o che, se esiste, deve essere tale che il prodotto sia 1/6 ?
Enrico
Bravi, giocolieri! Segue la formula misteriosa:
$(x+y+z)^3 = x^3+y^3+z^3 +3xy^2+3xz^2+3yx^2+3yz^2+3zx^2+3zy^2+6xyz$
aggiungo e sottraggo al secondo membro : $\mp 3x^3; \mp 3y^3; \mp 3z^3$
$(x+y+z)^3=(x^3+y^3+z^3)+ 3x^3+ 3xy^2+ 3xz^2+ 3y^3+ 3yx^2+ 3yz^2+ 3z^3+ 3zx^2+ 3zy^2+ 6xyz- 3x^3- 3y^3- 3z^3$
$(x+y+z)^3=(x^3+y^3+z^3)+ 3x(x^ 2+y^2+z^2)+ 3y(x^2+y^2+z^2)+ 3z(x^2+y^2+z^2)+ 6xyz- 3(x^3+y^3+z^3)$
$(x+y+z)^3=-2(x^3+y^3+z^3)+3(x^2+y^2+z^2)(x+y+z)+6xyz$
da cui si ricava agevolmente la formula misteriosa, ma non è necessario:
$6xyz=(x+y+z)^3+2(x^3+y^3+z^3)-3(x^2+y^2+z^2)(x+y+z)$
sostituendo ai vari termini i valori noti:
6xyz = 1+6-6
$xyz =\frac{1}{6}$
$(x+y+z)^3 = x^3+y^3+z^3 +3xy^2+3xz^2+3yx^2+3yz^2+3zx^2+3zy^2+6xyz$
aggiungo e sottraggo al secondo membro : $\mp 3x^3; \mp 3y^3; \mp 3z^3$
$(x+y+z)^3=(x^3+y^3+z^3)+ 3x^3+ 3xy^2+ 3xz^2+ 3y^3+ 3yx^2+ 3yz^2+ 3z^3+ 3zx^2+ 3zy^2+ 6xyz- 3x^3- 3y^3- 3z^3$
$(x+y+z)^3=(x^3+y^3+z^3)+ 3x(x^ 2+y^2+z^2)+ 3y(x^2+y^2+z^2)+ 3z(x^2+y^2+z^2)+ 6xyz- 3(x^3+y^3+z^3)$
$(x+y+z)^3=-2(x^3+y^3+z^3)+3(x^2+y^2+z^2)(x+y+z)+6xyz$
da cui si ricava agevolmente la formula misteriosa, ma non è necessario:
$6xyz=(x+y+z)^3+2(x^3+y^3+z^3)-3(x^2+y^2+z^2)(x+y+z)$
sostituendo ai vari termini i valori noti:
6xyz = 1+6-6
$xyz =\frac{1}{6}$
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$\text { }$ciao ciao
E' la somma che fa il totale (Totò)
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...queste son cose da bravi giocolieri, altroché
(Bruno)
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A mio avviso, può benissimo darsi che sebbene x·y·z sia un numero reale, x e y, x e z, y e z o x e y e z non lo siano: per esempiodelfo52 ha scritto:Non ho seguito nei dettagli tutti i passaggi, ma mi/vi chiedo:
il risultato che esce dimostra che una soluzione esiste, o che, se esiste, deve essere tale che il prodotto sia 1/6 ?
$\left\{ x = - 0,21542 \ldots -(0,26471 \ldots)i\\ y = - 0,21542 \ldots + (0,26471 \ldots)i \\ z = 1,43085 \ldots \\ \right.$
il panurgo
Principio di Relatività: $\mathbb{m} \not \to \mathbb{M} \, \Longleftrightarrow \, \mathbb{M} \not \to \mathbb{m}$
"Se la montagna non va a Maometto, Maometto NON va alla montagna"
Principio di Relatività: $\mathbb{m} \not \to \mathbb{M} \, \Longleftrightarrow \, \mathbb{M} \not \to \mathbb{m}$
"Se la montagna non va a Maometto, Maometto NON va alla montagna"
...
Sì, in effetti anch'io ho avuto questo pensiero.
Data la simmetria del sistema e sulla base dei risultati sopra ottenuti, si
può ricavare facilmente, per ciascuna incognita, un'equazione del tipo:
$6t^3-6t^2-3t-1=0$
che, passata attraverso il risolutore di Base Cinque, porta ai valori appena
indicati da Panurgo.
(Bruno)
Sì, in effetti anch'io ho avuto questo pensiero.
Data la simmetria del sistema e sulla base dei risultati sopra ottenuti, si
può ricavare facilmente, per ciascuna incognita, un'equazione del tipo:
$6t^3-6t^2-3t-1=0$
che, passata attraverso il risolutore di Base Cinque, porta ai valori appena
indicati da Panurgo.
(Bruno)
Ultima modifica di Bruno il gio mar 23, 2006 4:13 pm, modificato 1 volta in totale.
(Bruno)
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sospension d'un momento;
e la bola iridessente gera 'ndagia.
{Biagio Marin}
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Meglio soluzioni sbagliate che risposte esatte.
{Rudi Mathematici}
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Invisibile un vento
l'ha apena sfioragia
sospension d'un momento;
e la bola iridessente gera 'ndagia.
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{Rudi Mathematici}
L'Algebra è sempre l'Algebra
$\left\{ x = - 0,21542 \ldots -(0,26471 \ldots)i\\ y = - 0,21542 \ldots + (0,26471 \ldots)i \\ z = 1,43085 \ldots \\ \right. \quad \Leftarrow \quad \left\{ x = \frac{{1 - z - \sqrt { - 3z^2 + 2z + 3} }}{2} \\ y = \frac{{1 - z + \sqrt { - 3z^2 + 2z + 3} }}{2} \\ 3z^3 - 3z^2 - \frac{3}{2}z - \frac{1}{2} = 0 \right.$
P.S.: risultato ottenuto con Mathcad
$\left\{ x = - 0,21542 \ldots -(0,26471 \ldots)i\\ y = - 0,21542 \ldots + (0,26471 \ldots)i \\ z = 1,43085 \ldots \\ \right. \quad \Leftarrow \quad \left\{ x = \frac{{1 - z - \sqrt { - 3z^2 + 2z + 3} }}{2} \\ y = \frac{{1 - z + \sqrt { - 3z^2 + 2z + 3} }}{2} \\ 3z^3 - 3z^2 - \frac{3}{2}z - \frac{1}{2} = 0 \right.$
P.S.: risultato ottenuto con Mathcad
il panurgo
Principio di Relatività: $\mathbb{m} \not \to \mathbb{M} \, \Longleftrightarrow \, \mathbb{M} \not \to \mathbb{m}$
"Se la montagna non va a Maometto, Maometto NON va alla montagna"
Principio di Relatività: $\mathbb{m} \not \to \mathbb{M} \, \Longleftrightarrow \, \mathbb{M} \not \to \mathbb{m}$
"Se la montagna non va a Maometto, Maometto NON va alla montagna"
In conclusione, tutto il sistema passo, passo:
$\{x+y+z=1\\x^2+y^2+z^2=2\\x^3+y^3+z^3=3$
dalla prima e seconda equazione:
$\{x=1-y-z\\x^2=2-y^2-z^2$
da cui:
$2y^2 -2 (1-z)y + 2z^2 -2z-1 = 0$
$\text y_{\tiny 1,2} = \frac{1-z \mp sqrt{-3z^2+2z+3}}{2} (per appartenere al campo dei numeri reali, deve essere -\frac{1-\sqrt{10}}{3}\leq z\leq \frac{1+\sqrt{10}}{3} )$
ponendo:
$\[A=1-z\\B=-3z^2+2z+3$
$y_{\tiny 1,2} = \frac{A \mp sqrt{B}}{2}$
$per \text y_{\tiny 1}=\frac{A-sqrt{B}}{2}; x_{\tiny 1}=\frac{A+sqrt{B}}{2}$
$per \text y_{\tiny 2}=\frac{A+sqrt{B}}{2}; x_{\tiny 2}=\frac{A-sqrt{B}}{2}$
Sostituendo nella terza equazione del sistema:
$\(\frac{A-sqrt{B}}{2}\)^3 + \(\frac{A+sqrt{B}}{2}\)^3 + z^3 - 3 = 0$
da cui, saltando qualche passaggio:
$4z^3 + A^3 + 3AB - 12 = 0$
e sostituendo ad A e B i relativi valori:
$6z^3 - 6z^2 -3z - 1 = 0$
$\text z=1,4308; x_{\tiny 1}=\frac{A+sqrt{B}}{2}= -0,2154 + 0,2647i; y_{\tiny 1}=\frac{A-sqrt{B}}{2} = -0,2154 - 0.2647i$
$\text z=1,4308; x_{\tiny 2}=\frac{A-sqrt{B}}{2}= -0,2154 - 0,2647i; y_{\tiny 2}=\frac{A+sqrt{B}}{2}= -0,2154 + 0.2647i$
da cui:
$\[x + y + z = 1\\x^2 + y^2 + z^2 = 2\\x^3 + y^3 +z^3 = 3\\xyz = \frac {1}{6}$
(i valori di x,y,z sono stati approssimati alla quarta cifra per una maggiore leggibilità)
$\{x+y+z=1\\x^2+y^2+z^2=2\\x^3+y^3+z^3=3$
dalla prima e seconda equazione:
$\{x=1-y-z\\x^2=2-y^2-z^2$
da cui:
$2y^2 -2 (1-z)y + 2z^2 -2z-1 = 0$
$\text y_{\tiny 1,2} = \frac{1-z \mp sqrt{-3z^2+2z+3}}{2} (per appartenere al campo dei numeri reali, deve essere -\frac{1-\sqrt{10}}{3}\leq z\leq \frac{1+\sqrt{10}}{3} )$
ponendo:
$\[A=1-z\\B=-3z^2+2z+3$
$y_{\tiny 1,2} = \frac{A \mp sqrt{B}}{2}$
$per \text y_{\tiny 1}=\frac{A-sqrt{B}}{2}; x_{\tiny 1}=\frac{A+sqrt{B}}{2}$
$per \text y_{\tiny 2}=\frac{A+sqrt{B}}{2}; x_{\tiny 2}=\frac{A-sqrt{B}}{2}$
Sostituendo nella terza equazione del sistema:
$\(\frac{A-sqrt{B}}{2}\)^3 + \(\frac{A+sqrt{B}}{2}\)^3 + z^3 - 3 = 0$
da cui, saltando qualche passaggio:
$4z^3 + A^3 + 3AB - 12 = 0$
e sostituendo ad A e B i relativi valori:
$6z^3 - 6z^2 -3z - 1 = 0$
$\text z=1,4308; x_{\tiny 1}=\frac{A+sqrt{B}}{2}= -0,2154 + 0,2647i; y_{\tiny 1}=\frac{A-sqrt{B}}{2} = -0,2154 - 0.2647i$
$\text z=1,4308; x_{\tiny 2}=\frac{A-sqrt{B}}{2}= -0,2154 - 0,2647i; y_{\tiny 2}=\frac{A+sqrt{B}}{2}= -0,2154 + 0.2647i$
da cui:
$\[x + y + z = 1\\x^2 + y^2 + z^2 = 2\\x^3 + y^3 +z^3 = 3\\xyz = \frac {1}{6}$
(i valori di x,y,z sono stati approssimati alla quarta cifra per una maggiore leggibilità)
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