Corpi galleggianti

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franco
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Corpi galleggianti

Messaggio da franco »

Un poliedro convesso galleggia sull'acqua.
E' possibile che il 90% del suo volume si trovi sotto il livello dell'acqua e nello stesso tempo più della metà della superficie sia all'aria?

www.diophante.fr
D319

Un polyèdre convexe flotte à la surface de l’eau.
Est-il possible que 90% de son volume se trouve en dessous du niveau de l’eau tandis que plus de la moitié de sa surface est à l’air libre ?
Franco

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Pasquale
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Re: Corpi galleggianti

Messaggio da Pasquale »

A lume di naso soltanto, potrebbe trattarsi di un poliedro a forma piramidale o tronco piramidale? Volevo sentire un attimo Archimede, ma non mi è riuscito. :(
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franco
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Re: Corpi galleggianti

Messaggio da franco »

Non so ....
La parte immersa deve avere molto volume e poca superficie.
Pensavo a una semisfera (un poliedro un po' al limite :) ).
Per la parte emersa ho provato con un cono oppure con un cilindro; per entrambi si riesce a calcolare facilmente l'altezza.
In entrambi i casi siamo però molto sotto la metà della superficie totale ...
Con il vincolo della convessità non mi viene in mente altro.
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Re: Corpi galleggianti

Messaggio da franco »

Provo a riportare in alto questo problema.

Non avendone cavato piede, sono andato a sbirciare una soluzione (sul sito francese vengono pubblicate il mese dopo) e posso aggiungere un indizio:

La risposta è SI: è possibile che un poliedro convesso sia immerso nell'acqua per il 90% del volume mantenendo emersa oltre il 50% della superficie.

Non resta che trovarlo :twisted: :twisted:
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Re: Corpi galleggianti

Messaggio da Gianfranco »

Un ragionamento intuitivo in stile Enrico.

Immaginiamo un parallelepipedo rettangolo molto esteso e molto sottile, tipo una lastra di legno compensato o un foglio di cartoncino.
Quando galleggia sull'acqua, praticamente circa metà della sua superficie è sott'acqua e l'altra metà fuori.
Si può applicare una forza opportuna in modo da farlo affondare per esattamente il 90% del suo volume.
Per esempio, in un parallelepipedo di dimensioni 1000x1000x1 mm che sprofonda di 0,9 mm:
  • il volume sott'acqua è il 90% del volume totale;
  • l'area fuori dell'acqua è circa il 49,9% dell'area totale. (corretto, grazie Franco)

Aumentando le dimensioni della base e lasciando invariato lo spessore, la percentuale di area "asciutta" si avvicina indefinitamente al 50%.
cartainacqua.jpg
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Re: Corpi galleggianti

Messaggio da franco »

Gianfranco ha scritto:
mar giu 09, 2020 7:27 pm
Un ragionamento intuitivo in stile Enrico.

Immaginiamo un parallelepipedo rettangolo molto esteso e molto sottile, tipo una lastra di legno compensato o un foglio di cartoncino.
Quando galleggia sull'acqua, praticamente circa metà della sua superficie è sott'acqua e l'altra metà fuori.
Si può applicare una forza opportuna in modo da farlo affondare per esattamente il 90% del suo volume.
Per esempio, in un parallelepipedo di dimensioni 1000x1000x1 mm che sprofonda di 0,9 mm:
  • il volume sott'acqua è il 90% del volume totale;
  • l'area fuori dell'acqua è il 50,08% dell'area totale.
Aumentando le dimensioni della base e lasciando invariato lo spessore, la percentuale di area "asciutta" si avvicina indefinitamente al 50%.
cartainacqua.jpg
Un parallelepipedo con peso specifico pari alla metà dell'acqua è per il 50% emerso e per il 50% immerso (sia in termini di volume che di superficie).
Se aumento il peso (o applico una forza verso il basso) il volume immerso aumenta ma la superficie emersa diminuisce.
Se le dimensioni della base sono molto superiori rispetto allo spessore tale riduzione è minima ma di sicuro col 90% di volume immerso la superficie emersa è leggermente inferiore al 50%.
Franco

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Re: Corpi galleggianti

Messaggio da Gianfranco »

franco ha scritto:
mar giu 09, 2020 9:20 pm
Se le dimensioni della base sono molto superiori rispetto allo spessore tale riduzione è minima ma di sicuro col 90% di volume immerso la superficie emersa è leggermente inferiore al 50%.
Grazie Franco, ho corretto l'errore.
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Re: Corpi galleggianti

Messaggio da Pasquale »

Tanto per dirne una delle mie, una scatola a forma di parallelepipedo, senza coperchio e molto sottile, di materiale opportuno, tale che appoggiata sull''acqua finisca quasi tutta a fondo, ma con una piccola parte fuori del filo d'acqua, tipo una barca molto carica, può definirsi sempre poliedro, anche se non regolare? Vista dall'alto potrebbe essere definito come concavo o convesso, secondo la prospettiva, ed avrebbe 5 facce affogate in acqua sin quasi all'orlo, mentre le stesse 5 facce all'interno avrebbero quasi la stessa superficie di quella esterna all'aria aperta, pur se sotto il livello dell'acqua. Avremmo in sostanza la maggior parte del volume sotto il livello, se per volume intendiamo lo spazio interno non a mollo, come il volume di una scatola cui è stato tolto il coperchio. Contemporaneamente, la superficie interna, non sopra il livello dell'acqua, ma comunque esposta all'aria, sarebbe la stessa di quella immersa esterna ed a questa si aggiungerebbe quella esterna fuori acqua, più le 4 superfici dello spessore all'aria aperta, per un totale oltre il 50% (mi pare).
Si tratterebbe di un poliedro irregolare con 14 facce. E' possibile un'interpretazione del genere'?
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Re: Corpi galleggianti

Messaggio da franco »

La scatola senza coperchio è si un poliedro ma concavo, non convesso.
Se accettassimo poliedri concavi sarebbe facile trovare una soluzione, ad esempio un poliedro a forma approssimativa di barca a vela potrebbe avere quasi tutto il volume immerso (la chiglia) e gran parte della superficie emersa (la vela).

La soluzione comunque è piuttosto semplice!
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Re: Corpi galleggianti

Messaggio da Pasquale »

Oh perbacco, avevo pensato ad un trucchetto e/o ad un gioco di parole, dopo aver appuntato più che altro l'attenzione su "più della metà della superficie sia all'aria", intendendola come "esposta all'aria" e non necessariamente fuori dal livello dell'acqua. Quindi ho capovolto l'oggetto convesso, scoprendo la parte concava (tipo una barca a remi, senza remi).
Ad ogni modo, l'oggetto è solo convesso ed ha la maggior parte del volume immersa, mentre la parte emersa ha minor volume rispetto a quello della parte immersa. Giusto?
Tuttavia, la parte emersa, ha un volume pari alla nona parte di quella immersa, ma di questa ha maggiore superficie. Giusto?
La densità del materiale è uniforme? Il poliedro è tutto convesso da qualsiasi parte lo si rigiri? E' un poliedro regolare o irregolare? E' possibile che sia vuoto all'interno? Oppure qualcuno di tali quesiti può costituire elemento da definire?
A titolo di esempio, un oggetto irregolare con una superficie piatta, al di sotto della quale sia attaccata idealmente una sfera, magari bozzata, fatta di materiale galleggiante in base alla sua densità, potrebbe avere maggiore volume nella parte immersa, ma maggiore superficie sopra? Sarebbe sufficiente che la superficie a vista fosse appena maggiore di $4 \pi r^2$, a parte un piccolo moltiplicatore per lo spessore emergente, calcolato in modo da rendere i volumi conformi alle proporzioni definite dal quesito.
Sempre a titolo di esempio, un iceberg vagante ed in fase di liquefazione, di cui sia rimasta una lastra più estesa della parte immersa, quest'ultima assimilabile come volume a quello di una sfera o anche meno, potrebbe essere assimilato al concetto di un poliedro irregolare?
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Re: Corpi galleggianti

Messaggio da franco »

Quante domande :)

L'oggetto può essere un poliedro regolare o irregolare; per quanto mi riguarda potrebbe anche essere una sfera, un cilindo, un cono o qualcosa di informe considerandolo un "poliedro limite" con facce piane di dimensioni infinitesimali.

La cosa importante è che il solido sia convesso "nel suo insieme" (non convesso da una parte e concavo dall'altra :))
Detto in altri termini, il segmento che congiunge due punti qualunque del poliedro non deve passare per alcun punto esterno al poliedro stesso.

Peso e densità sono irrilevanti ma se voglio che resti immerso nell'acqua per il 90% del volume senza ulteriori forze applicate basta che la sua massa volumica sia il 90% di quella dell'acqua; al resto pensa Archimede.
Il problema eventualmente potrebbe essere quello di farlo stare in equilibrio ...

...........

Come ho detto, ho sbirciato nel sito Francese dove ho visto che la soluzione esiste e non ho potuto evitare di vedere la figura.
Quindi la soluzione che ho trovato non è tutta farina del mio sacco (però tutti i calcoli me li sono fatti da solo).
Lascio ancora lavorare chi vuole, poi condivido il mio risultato.

ciao

Franco

piccolo spoiler: (ingrandite tanto se volete approfittarne)
il mio poliedro non è esattamente regolare ma è un solido piuttosto semplice ...
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Re: Corpi galleggianti

Messaggio da Pasquale »

Eh, le domande servono per capire meglio, ma la cosa è complessa. Comunque ci provo, ma non ho certezza che l'oggetto possa essere definito come un poliedro convesso.
Per semplificare, considero la parte immersa con una forma che definisco genericamente idonea ad essere considerata come parte di poliedro convesso, equivalente relativamente al suo volume ad una sfera di raggio unitario, cioè con volume $\frac{4}{3} \pi$ e superficie $4 \pi$, o se si vuole poniamo che sia proprio una sfera.
La parte emersa, unita alla precedente in modo idoneo, affinché l'insieme possa essere considerato un poliedro irregolare (almeno si spera), fuoriesce dal livello dell'acqua in quantità tale, per quanto concerne il suo volume, che corrisponda ad 1/9 della parte immersa e quindi a $\frac{4}{27} \pi$. Immaginiamo a tal proposito che la superficie di questa parte sia piatta ed abbia un'area della stessa dimensione della superficie della parte immersa, ovvero $4 \pi$ (magari potrebbe essere un cerchio di raggio 2, con uno spessore tale che renda il suo volume pari a $\frac{4}{27} \pi$. Quindi deve essre: $4 \pi \cdot x = \frac{4}{27} \pi$, da cui $x = \frac{1}{27}$.
La superficie di questo cilindro, o altra figura equivalente risulterebbe uguale per costruzione a quella della sfera immersa, oltre la superficie laterale del solido, per quanto sottile. Quindi se fosse un cilindro: $4 \pi + \frac{4 \pi}{27} $

Ad ogni buon fine, quando avrò più tempo, penso di riprendere in considerazione la mia prima idea del cono rovesciato, o piramide equivalente, in cui nella parte emergente sia visibile la base. Si tratta di verificare un po' di calcoli, per stabilirne le dimensioni, ma il procedimento sarebbe lo stesso di quello qui sopra, mentre la differenza sarebbe nella forma del solido.
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Re: Corpi galleggianti

Messaggio da franco »

Vi propongo la soluzione che ho elaborato dopo aver visto la figura su diophante.fr

In realtà il risolutore francese proponeva una piramide rovesciata, proprio come correttamente intuito da Pasquale!

Io però dopo aver faticato un po' con i calcoli ho ritenuto più semplice lavorare con un prisma a sezione triangolare e asse orizzontale.

Purtroppo ho sempre le solite difficoltà a scrivere le formule sul forum ... so che è poco elegante ma posto le immagini del file word dove ho messo in bella copia la soluzione.
cg1.PNG
cg1.PNG (20.8 KiB) Visto 538 volte
cg2.PNG
cg2.PNG (24.93 KiB) Visto 538 volte
cg3.PNG
cg3.PNG (18.19 KiB) Visto 538 volte
cg4.PNG
cg4.PNG (15.03 KiB) Visto 538 volte
ciao

Franco
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Re: Corpi galleggianti

Messaggio da Bruno »

Grande, Franco :D

Avevo pensato a qualcosa del genere (e mi riferisco particolarmente alla rappresentazione in scala), ma non ho trovato il tempo di avventurarmi nei calcoli e poi... ci ho messo su piede :wink:
Invisibile un vento
l'ha apena sfioragia
sospension d'un momento;
e la bola iridessente gera 'ndagia.
(Biagio Marin)

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Re: Corpi galleggianti

Messaggio da franco »

Stavo facendo delle valutazioni su questo prisma, con faccia superiore di dimensioni 1x1 e profondità 0,1 e massa volumica pari a 0,9 (in modo da restare immerso per il 90% del volume).

Questa posizione, con la "chiglia" in basso a pensarlo come una barchetta, non penso sia in equilibrio stabile ...

Qualcuno si vuole cimentare con qualche calcolo?
Qual è la posizione di equilibrio stabile che assumerebbe questo corpo immerso nell'acqua?

Io ho già verificato che capovolto (con la chiglia per aria) l'equilibrio già migliora un poco ma a sensazione direi che la configurazione più stabile in assoluto sia un'altra.
cg5.PNG
cg5.PNG (4 KiB) Visto 527 volte
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