Multipli di 31.
Moderatori: Gianfranco, Bruno
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Multipli di 31.
Il numero naturale $\;$ 81·9876543210ⁿ + 43·123456789ⁿ $\;$ è divisibile per $\;$ 31.
(Bruno)
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Invisibile un vento
l'ha apena sfioragia
sospension d'un momento;
e la bola iridessente gera 'ndagia.
{Biagio Marin}
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Meglio soluzioni sbagliate che risposte esatte.
{Rudi Mathematici}
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{Rudi Mathematici}
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Re: Multipli di 31.
Calcoliamo $81\cdot9876543210^n + 43\cdot123456789^n \pmod{31}$.
Scomponendo in numeri in fattori primi ed applicando le proprietà di base delle congruenze si ha:
$(\ 81\cdot9876543210^n + 43\cdot123456789^n\ ) \pmod{31} = \\
\left[\ 81\cdot(2\cdot3^2\cdot5\cdot17^2\cdot379721)^n + 43\cdot(3^2\cdot3607\cdot3803)^n\ \right] \pmod{31} = \\
\left[\ 19\cdot(1\cdot379721)^n + 12\cdot(3^2\cdot11\cdot21)^n\ \right] \pmod{31} = \\
\left[\ 19\cdot2^n + 12\cdot2^n\ \right] \pmod{31} = \\
\left[\ ( 19 + 12 )\cdot2^n \ \right] \pmod{31} = \\
\left[\ 31\cdot2^n \ \right] \pmod{31} = 0$
P.S.: interessante notare che la divisione dei numeroni sui calcolatori moderni puo' dare qualche problema...
Saluti
Admin
Scomponendo in numeri in fattori primi ed applicando le proprietà di base delle congruenze si ha:
$(\ 81\cdot9876543210^n + 43\cdot123456789^n\ ) \pmod{31} = \\
\left[\ 81\cdot(2\cdot3^2\cdot5\cdot17^2\cdot379721)^n + 43\cdot(3^2\cdot3607\cdot3803)^n\ \right] \pmod{31} = \\
\left[\ 19\cdot(1\cdot379721)^n + 12\cdot(3^2\cdot11\cdot21)^n\ \right] \pmod{31} = \\
\left[\ 19\cdot2^n + 12\cdot2^n\ \right] \pmod{31} = \\
\left[\ ( 19 + 12 )\cdot2^n \ \right] \pmod{31} = \\
\left[\ 31\cdot2^n \ \right] \pmod{31} = 0$
P.S.: interessante notare che la divisione dei numeroni sui calcolatori moderni puo' dare qualche problema...
Saluti
Admin
Pietro Vitelli (Amministratore del Forum)
"Un matematico è una macchina che converte caffè in teoremi" Paul Erdös
www.pvitelli.net
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Re: Multipli di 31.
Ottimo
(Bruno)
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