Esagono in un cerchio
Moderatori: Gianfranco, Bruno
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Esagono in un cerchio
Un esagono con i lati di lunghezza $2$, $7$, $2$, $11$, $7$, $11$ è inscritto in un cerchio di raggio...
il panurgo
Principio di Relatività: $\mathbb{m} \not \to \mathbb{M} \, \Longleftrightarrow \, \mathbb{M} \not \to \mathbb{m}$
"Se la montagna non va a Maometto, Maometto NON va alla montagna"
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Re: Esagono in un cerchio
ATTENZIONE! (aggiornamento)
Questa è la soluzione di un problema completamente diverso da quello proposto.
In pratica qui si tratta di un pentagono di lati 7, 2, 7, 2, 11.
Non so come sia potuto succedere. Spero di non essere grave.
Prendendo come ipotesi il fatto che tale esagono sia inscritto, faccio un disegno approssimativo. Con semplici ragionamenti geometrici si ottengono le uguaglianze degli angoli segnalate nella figura.
In particolare, il triangolo CBE è isoscele.
A questo punto, sono dovuto passare alla trigonometria, usando la formula del triangolo inscritto.
$\Large r=\frac{7}{2\sin{b}}$
$\Large r=\frac{2}{2\sin{a}}$
$\Large r=\frac{11}{2\sin{(180-2a-2b)}}$
Basta risolvere il sistema in 3 equazioni e 3 incognite.
Io l'ho risolto in modo numerico, ottenendo: r=5,563...
Questa è la soluzione di un problema completamente diverso da quello proposto.
In pratica qui si tratta di un pentagono di lati 7, 2, 7, 2, 11.
Non so come sia potuto succedere. Spero di non essere grave.
Prendendo come ipotesi il fatto che tale esagono sia inscritto, faccio un disegno approssimativo. Con semplici ragionamenti geometrici si ottengono le uguaglianze degli angoli segnalate nella figura.
In particolare, il triangolo CBE è isoscele.
A questo punto, sono dovuto passare alla trigonometria, usando la formula del triangolo inscritto.
$\Large r=\frac{7}{2\sin{b}}$
$\Large r=\frac{2}{2\sin{a}}$
$\Large r=\frac{11}{2\sin{(180-2a-2b)}}$
Basta risolvere il sistema in 3 equazioni e 3 incognite.
Io l'ho risolto in modo numerico, ottenendo: r=5,563...
Pace e bene a tutti.
Gianfranco
Gianfranco
Re: Esagono in un cerchio
L'esagono è inscritto: il tuo mi sembra un pentagono...
il panurgo
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Re: Esagono in un cerchio
Sembra una bara
Comunque anch'io sono arrivato al raggio attraverso un paio di formule trigonometriche,
ma se ho tempo cerco un'altra via
(Bruno)
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Invisibile un vento
l'ha apena sfioragia
sospension d'un momento;
e la bola iridessente gera 'ndagia.
{Biagio Marin}
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Meglio soluzioni sbagliate che risposte esatte.
{Rudi Mathematici}
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Re: Esagono in un cerchio
Io ci sono arrivato "sperimentalmente": poi ho trovato una dimostrazione...
il panurgo
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Re: Esagono in un cerchio
Ho risolto un altro problema usando dei dati sbagliati. Comincio a preoccuparmi. Spero che sia solo stanchezza.
Pace e bene a tutti.
Gianfranco
Gianfranco
Re: Esagono in un cerchio
Relativamente all'esagono, da qualche calcolo approssimato alla sesta cifra decimale, derivato dal'l'applicazione ripetuta del teorema di Carnot e dando quindi il tutto in pasto all'amato ed affamato Decimal, avrei trovato 3 soluzioni basate su 3 diverse inclinazioni dei lati da 2 rispetto a quello da 7 compreso fra gli stessi.
Tanto premesso, i risultati sarebbero: 6,119113 - 6,626959 - 7,371970.
Ho dei problemi col p.c., per cui ometto il disegno, ma posso aggiungere che ho fatto riferimento a quello di Bruno capovolto, nel senso che i due lati da 2 li ho piazzati in basso (il che non cambia nulla).
Aggiungo che per lo studio del problema, sono partito dall'angolo CDE, compreso fra il lati da 2 e 11, per giungere da questo all'angolo compreso fra il lato da 11 e la diagonale del rettangolo disegnato fra i 4 estremi dei lati da 7.
Lo studio è partito considerando come raggio della circonferenza la metà della suddetta diagonale, notando però che gli altri due vertici esterni al rettangolo possono giacere sulla circonferenza solo in casi particolari, quelli di cui sono andato alla ricerca facendo variare l'ampiezza dell'angolo CDE.
Da tale angolo è possibile pervenire alle misure dei lati ignoti del suddetto rettangolo e quindi alla sua diagonale ed al raggio della circonferenza; quindi all'altro angolo sopra accenanto ed infine al segmento che congiunge il centro della circonferenza (assunto come incrocio fra le diagonali del rettangolo) con l'angolo compreso fra i lati da 2 e 11.
Da qui il confronto col raggio assunto come tale e l'accettazione o meno dell'angolo CDE. Non so se mi sono spiegato.
Tanto premesso, i risultati sarebbero: 6,119113 - 6,626959 - 7,371970.
Ho dei problemi col p.c., per cui ometto il disegno, ma posso aggiungere che ho fatto riferimento a quello di Bruno capovolto, nel senso che i due lati da 2 li ho piazzati in basso (il che non cambia nulla).
Aggiungo che per lo studio del problema, sono partito dall'angolo CDE, compreso fra il lati da 2 e 11, per giungere da questo all'angolo compreso fra il lato da 11 e la diagonale del rettangolo disegnato fra i 4 estremi dei lati da 7.
Lo studio è partito considerando come raggio della circonferenza la metà della suddetta diagonale, notando però che gli altri due vertici esterni al rettangolo possono giacere sulla circonferenza solo in casi particolari, quelli di cui sono andato alla ricerca facendo variare l'ampiezza dell'angolo CDE.
Da tale angolo è possibile pervenire alle misure dei lati ignoti del suddetto rettangolo e quindi alla sua diagonale ed al raggio della circonferenza; quindi all'altro angolo sopra accenanto ed infine al segmento che congiunge il centro della circonferenza (assunto come incrocio fra le diagonali del rettangolo) con l'angolo compreso fra i lati da 2 e 11.
Da qui il confronto col raggio assunto come tale e l'accettazione o meno dell'angolo CDE. Non so se mi sono spiegato.
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$\text { }$ciao ciao
E' la somma che fa il totale (Totò)
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Re: Esagono in un cerchio
Dai dati iniziali del problema si ricava la seguente figura:
con $\overline{CD} = \overline{EF} = 2, \overline{AB} = \overline{ED} = 7, \overline{BC} = \overline{FA} = 11$,
$\overline{OA} = \overline{OB} = \overline{OC} = \overline{OD} = \overline{OE} = \overline{OF} = r$,
e $\hat{AOB} = \hat{EOD}, \hat{BOC} = \hat{FOA}, \hat{COD} = \hat{EOF}$
Indichiamo i 3 angoli diversi con $\hat{AOB} = \alpha_1$, $\hat{BOC} = \alpha_2$ e $\hat{COD} = \alpha_3$.
Considerando i 6 angoli al centro si ha:
$2\alpha_1+2\alpha_2+2\alpha_3 = 2\pi \quad \Rightarrow \quad \alpha_1+\alpha_2+\alpha_3 = \pi$
Da ciò si deduce che il segmento $\overline{EB}$ corrisponde al diametro della circonferenza circoscritta, e quindi il triangolo $\overset{\Delta}{EAB}$ risulterà rettangolo essendo inscritto in una semicirconferenza.
Quindi, applicando Pitagora, si ha:
$\overline{EA}^2 = \overline{EB}^2 - \overline{AB}^2 = 4r^2 - 7^2\tag{1}$
Calcoliamo ora $\overline{EA}^2$ tramite Carnot applicato al triangolo $\overset{\Delta}{EFA}$. Si ha:
$\overline{EA}^2 = \overline{EF}^2 + \overline{FA}^2 - 2\cdot \overline{EF}^2 \cdot \overline{FA}^2 \cdot \cos{\hat{EFA}} = 2^2 + {11}^2 - 2\cdot 2 \cdot 11 \cdot \cos(\hat{OFA}+\hat{OFE}) = \\
4 + 121 - 44 \cdot \cos\left(\large\frac{\pi-\alpha_2}{2}+\frac{\pi-\alpha_3}{2}\right) = 125 - 44 \cdot \cos\left(\large \pi-\frac{\alpha_2}{2}-\frac{\alpha_3}{2}\right) =
125 + 44 \cdot \cos\left(\large \frac{\alpha_2}{2}+\frac{\alpha_3}{2}\right)\tag{2}$
Dato che $\alpha_1+\alpha_2+\alpha_3 = \pi \quad$ si ha $\quad \large \frac{\alpha_2}{2}+\frac{\alpha_3}{2} = \frac{\pi}{2} -\frac{\alpha_1}{2}$
e sostituendo nell'espressione $(2)$ si ottiene:
$\overline{EA}^2 = 125 + 44 \cdot \cos\left(\large \frac{\pi}{2} -\frac{\alpha_1}{2}\right) = 125 + 44 \cdot \sin\large\frac{\alpha_1}{2} \tag{2.1}$
A questo punto, applicando la trigonometria al triangolo rettangolo $\overset{\Delta}{AOM}$, possiamo calcolarci $\sin\large\frac{\alpha_1}{2}$. Si ha:
$\overline{AM} = \overline{AO} \cdot \sin{\hat{AOM}} \quad \Rightarrow \quad {\large\frac{7}{2}} = r \cdot \sin{\large\frac{\alpha_1}{2}} \quad \Rightarrow \quad \sin{\large\frac{\alpha_1}{2}} = {\large\frac{7}{2r}}$
Da cui, sostituendo nella $(2.1)$ otteniamo:
$\overline{EA}^2 = 125 + 44 \cdot \large\frac{7}{2r} \tag{2.2}$
Uguagliando questo valore con quello calcolato nella $(1)$, si ha:
$4r^2 - 7^2 = 125 + 44 \cdot {\large\frac{7}{2r}} \quad \Rightarrow \quad 4r^2-174 - 44 \cdot {\large\frac{7}{2r}} = 0 \quad \Rightarrow \quad 2r^3 - 87r - 77 = 0 $
che ammette le $3$ soluzioni $-6.09808$, $-0.901924$ e $7$, di cui la sola positiva è $7$.
Quindi $r=7$.
Admin
con $\overline{CD} = \overline{EF} = 2, \overline{AB} = \overline{ED} = 7, \overline{BC} = \overline{FA} = 11$,
$\overline{OA} = \overline{OB} = \overline{OC} = \overline{OD} = \overline{OE} = \overline{OF} = r$,
e $\hat{AOB} = \hat{EOD}, \hat{BOC} = \hat{FOA}, \hat{COD} = \hat{EOF}$
Indichiamo i 3 angoli diversi con $\hat{AOB} = \alpha_1$, $\hat{BOC} = \alpha_2$ e $\hat{COD} = \alpha_3$.
Considerando i 6 angoli al centro si ha:
$2\alpha_1+2\alpha_2+2\alpha_3 = 2\pi \quad \Rightarrow \quad \alpha_1+\alpha_2+\alpha_3 = \pi$
Da ciò si deduce che il segmento $\overline{EB}$ corrisponde al diametro della circonferenza circoscritta, e quindi il triangolo $\overset{\Delta}{EAB}$ risulterà rettangolo essendo inscritto in una semicirconferenza.
Quindi, applicando Pitagora, si ha:
$\overline{EA}^2 = \overline{EB}^2 - \overline{AB}^2 = 4r^2 - 7^2\tag{1}$
Calcoliamo ora $\overline{EA}^2$ tramite Carnot applicato al triangolo $\overset{\Delta}{EFA}$. Si ha:
$\overline{EA}^2 = \overline{EF}^2 + \overline{FA}^2 - 2\cdot \overline{EF}^2 \cdot \overline{FA}^2 \cdot \cos{\hat{EFA}} = 2^2 + {11}^2 - 2\cdot 2 \cdot 11 \cdot \cos(\hat{OFA}+\hat{OFE}) = \\
4 + 121 - 44 \cdot \cos\left(\large\frac{\pi-\alpha_2}{2}+\frac{\pi-\alpha_3}{2}\right) = 125 - 44 \cdot \cos\left(\large \pi-\frac{\alpha_2}{2}-\frac{\alpha_3}{2}\right) =
125 + 44 \cdot \cos\left(\large \frac{\alpha_2}{2}+\frac{\alpha_3}{2}\right)\tag{2}$
Dato che $\alpha_1+\alpha_2+\alpha_3 = \pi \quad$ si ha $\quad \large \frac{\alpha_2}{2}+\frac{\alpha_3}{2} = \frac{\pi}{2} -\frac{\alpha_1}{2}$
e sostituendo nell'espressione $(2)$ si ottiene:
$\overline{EA}^2 = 125 + 44 \cdot \cos\left(\large \frac{\pi}{2} -\frac{\alpha_1}{2}\right) = 125 + 44 \cdot \sin\large\frac{\alpha_1}{2} \tag{2.1}$
A questo punto, applicando la trigonometria al triangolo rettangolo $\overset{\Delta}{AOM}$, possiamo calcolarci $\sin\large\frac{\alpha_1}{2}$. Si ha:
$\overline{AM} = \overline{AO} \cdot \sin{\hat{AOM}} \quad \Rightarrow \quad {\large\frac{7}{2}} = r \cdot \sin{\large\frac{\alpha_1}{2}} \quad \Rightarrow \quad \sin{\large\frac{\alpha_1}{2}} = {\large\frac{7}{2r}}$
Da cui, sostituendo nella $(2.1)$ otteniamo:
$\overline{EA}^2 = 125 + 44 \cdot \large\frac{7}{2r} \tag{2.2}$
Uguagliando questo valore con quello calcolato nella $(1)$, si ha:
$4r^2 - 7^2 = 125 + 44 \cdot {\large\frac{7}{2r}} \quad \Rightarrow \quad 4r^2-174 - 44 \cdot {\large\frac{7}{2r}} = 0 \quad \Rightarrow \quad 2r^3 - 87r - 77 = 0 $
che ammette le $3$ soluzioni $-6.09808$, $-0.901924$ e $7$, di cui la sola positiva è $7$.
Quindi $r=7$.
Admin
Pietro Vitelli (Amministratore del Forum)
"Un matematico è una macchina che converte caffè in teoremi" Paul Erdös
www.pvitelli.net
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Re: Esagono in un cerchio
Ho visto che Pietro ha inviato una soluzione trigonometrica OK.
Anche la mia usa la trigonometria, ma forse è più semplice.
Questa volta ho contato attentamente i lati del poligono e mi sembra che siano 6, come richiesto dal problema.
La figura è questa. a) CF è un diametro perché la circonferenza è divisa in due parti uguali da somme di archi uguali.
G è il centro della circonferenza.
Considero solo quello che succede nella semicirconferenza CBAF
b) Usando la trigonometria si ha che:
$\large 7=2r\sin b$
$\large 2=2r\sin a$
$\large 11=2r\cos (a+b)$ perché $\large a+b+c=90$
c) Dalle uguaglianze, con alcune sostituzioni, si ottiene:
$\large 11=2r(\frac{1}{2r^2}\sqrt{4r^4-53r^2+49}-\frac{7}{2r^2})$
d) Facendo qualche calcolo:
$\large (11r-7)^2=4r^4-53r^2+49$
che ha quattro soluzioni, di cui l'unica positiva è 7.
Anche la mia usa la trigonometria, ma forse è più semplice.
Questa volta ho contato attentamente i lati del poligono e mi sembra che siano 6, come richiesto dal problema.
La figura è questa. a) CF è un diametro perché la circonferenza è divisa in due parti uguali da somme di archi uguali.
G è il centro della circonferenza.
Considero solo quello che succede nella semicirconferenza CBAF
b) Usando la trigonometria si ha che:
$\large 7=2r\sin b$
$\large 2=2r\sin a$
$\large 11=2r\cos (a+b)$ perché $\large a+b+c=90$
c) Dalle uguaglianze, con alcune sostituzioni, si ottiene:
$\large 11=2r(\frac{1}{2r^2}\sqrt{4r^4-53r^2+49}-\frac{7}{2r^2})$
d) Facendo qualche calcolo:
$\large (11r-7)^2=4r^4-53r^2+49$
che ha quattro soluzioni, di cui l'unica positiva è 7.
Pace e bene a tutti.
Gianfranco
Gianfranco
Re: Esagono in un cerchio
Per prima cosa, osserviamo che i lati dell’esagono sono posti in modo simmetrico: $2$, $7$, $2$ e $11$, $7$, $11$. Questo significa che i due lati lunghi 7 sono opposti e simmetrici rispetto al centro del cerchio; inoltre, per la simmetria di cui sopra i due lati sono anche paralleli
Centriamo ora la nostra attenzione sul quadrilatero $\text{ABCF}$
Esso è un quadrilatero ciclico del quale uno dei lati è il diametro del cerchio, ragion per cui i triangoli $\text{ACF}$ e $\text{BCF}$ sono rettangoli. Il che ci permette di calcolare agevolmente la lunghezza delle diagonali $\text{AC}$ e $\text{BF}$.
Conoscendo la lunghezza dei lati e delle diagonali possiamo applicare il Teorema di Tolomeo: il prodotto delle diagonali è uguale alla somma dei prodotti dei lati opposti, cioè
$\text{AC}\cdot\text{BF}=\text{AB}\cdot\text{CF}+\text{BC}\cdot\text{AF}$
ovvero $\sqrt{4r^2-11^2}\cdot\sqrt{4r^2-7^2}=4r+7\cdot11$ che, con pochi passaggi di facile algebra porta, all’equazione $2r^4-87r^2-77r=0$: l’equazione ha quattro radici reali distinte, due negative, una nulla e una, $7$.
Centriamo ora la nostra attenzione sul quadrilatero $\text{ABCF}$
Esso è un quadrilatero ciclico del quale uno dei lati è il diametro del cerchio, ragion per cui i triangoli $\text{ACF}$ e $\text{BCF}$ sono rettangoli. Il che ci permette di calcolare agevolmente la lunghezza delle diagonali $\text{AC}$ e $\text{BF}$.
Conoscendo la lunghezza dei lati e delle diagonali possiamo applicare il Teorema di Tolomeo: il prodotto delle diagonali è uguale alla somma dei prodotti dei lati opposti, cioè
$\text{AC}\cdot\text{BF}=\text{AB}\cdot\text{CF}+\text{BC}\cdot\text{AF}$
ovvero $\sqrt{4r^2-11^2}\cdot\sqrt{4r^2-7^2}=4r+7\cdot11$ che, con pochi passaggi di facile algebra porta, all’equazione $2r^4-87r^2-77r=0$: l’equazione ha quattro radici reali distinte, due negative, una nulla e una, $7$.
il panurgo
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Re: Esagono in un cerchio
Grazie Panurgo, bella dimostrazione!
Grande Tolomeo!
Ero arrivato al tuo stesso punto ma non mi era venuto in mente il teorema di Tolomeo.
Avevo invece pensato al teorema delle due corde che si intersecano, ma poi sono passato alla trigonometria.
Comunque, provo a concludere usando il teorema delle corde.
Abbiamo trovato 3 equazioni risolventi che "magicamente" hanno una soluzione in comune: 7.
Sarebbe bello trovarne un'altra, chissà.
Pace e bene a tutti.
Gianfranco
Gianfranco
Re: Esagono in un cerchio
In che senso, Gianfranco?Gianfranco ha scritto: ↑ven nov 15, 2019 9:44 amAbbiamo trovato 3 equazioni risolventi che "magicamente" hanno una soluzione in comune: 7.
L'equazione finale tua (è 11·r più 7 al quadrato) e di Guido coincidono e, includendo r=0, ritroviamo anche quella di Pietro.
(Bruno)
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Re: Esagono in un cerchio
Un'altra figurina da aggiungere all'album delle sviste che sto prendendo in questi giorni. Che rimanga tra noi.
Non aggiungo altro.
Pace e bene a tutti.
Gianfranco
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Re: Esagono in un cerchio
Mi dispiace per Mr. Decimal, a riguardo dell'inesattezza del risultato. 7,37.... mi sembra tanto, anche se, scaturendo da confronti discontinui nell'ambito del range esaminato, avrei dovuto aspettarmelo, considerato fra l'altro che la routine ha operato su frazioni di pigreco e radici quadre.
Gli altri due valori, evidentemente erano negativi, ma apparentemente positivi, in quanto trattati in valore assoluto.
Insomma, una cosa poco soddisfacente.
Comunque, ci rivedremo su questi schermi non so quando, finquando non avrò sistemato varie problematiche di natura informatica. Buon divertimento.
Gli altri due valori, evidentemente erano negativi, ma apparentemente positivi, in quanto trattati in valore assoluto.
Insomma, una cosa poco soddisfacente.
Comunque, ci rivedremo su questi schermi non so quando, finquando non avrò sistemato varie problematiche di natura informatica. Buon divertimento.
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$\text { }$ciao ciao
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Re: Esagono in un cerchio
Spero a presto
(Bruno)
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