Questo problema è breve da enunciare, ma arduo da risolvere...
Da una lamina quadrata vogliamo ritagliare tre semicerchi uguali.
Vogliamo anche che l'area residua sia la minore possibile.
Qual è il raggio dei tre semicerchi?
Avviso che non ho una soluzione ufficiale, perché è un problema che
ho creato io.
Buon lavoro!
ZerInf
Semicerchi e quadrati
Moderatori: Gianfranco, Bruno
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Semicerchi e quadrati
Lo scopo principale di una dichiarazione DATA è quello di dare dei nomi alle costanti; anziché inserire ogni volta 3.141592653589793 come valore di $\pi$, con una dichiarazione DATA si può assegnare tale valore alla variabile PI che può essere poi usata per indicare la costante. Ciò rende anche più semplice modificare il programma, qualora il valore di $\pi$ dovesse cambiare.
-Da un vecchio manuale FORTRAN della Xerox
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Re: Semicerchi e quadrati
Questo è il meglio che riesco a pensare così, al volo:
$\displaystyle r\,=\,\left(\sqrt{2}\,-\,1\right)\,L \qquad A\,\approx\,81\%$
$\displaystyle r\,=\,\left(\sqrt{2}\,-\,1\right)\,L \qquad A\,\approx\,81\%$
il panurgo
Principio di Relatività: $\mathbb{m} \not \to \mathbb{M} \, \Longleftrightarrow \, \mathbb{M} \not \to \mathbb{m}$
"Se la montagna non va a Maometto, Maometto NON va alla montagna"
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Re: Semicerchi e quadrati
Io avevo pensato a una soluzione con simmetria assiale come quella in figura, però la tua mi batte!
Infatti se il quadrato ha lato 1, nella mia il semicerchio ha raggio 0.37 (la costruzione è approssimata).
Si riesce a fare di meglio?
Infatti se il quadrato ha lato 1, nella mia il semicerchio ha raggio 0.37 (la costruzione è approssimata).
Si riesce a fare di meglio?
Lo scopo principale di una dichiarazione DATA è quello di dare dei nomi alle costanti; anziché inserire ogni volta 3.141592653589793 come valore di $\pi$, con una dichiarazione DATA si può assegnare tale valore alla variabile PI che può essere poi usata per indicare la costante. Ciò rende anche più semplice modificare il programma, qualora il valore di $\pi$ dovesse cambiare.
-Da un vecchio manuale FORTRAN della Xerox
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Re: Semicerchi e quadrati
Partiamo dalla tua soluzione
Il valore di $r\,=\,0,373556\ldots$ si ottiene dall’equazione
$\displaystyle r\,+\,\sqrt{r^2\,-\,\left(\frac12\,-\,r\right)^2}\,+\,\sqrt{r^2\,-\,\left(1\,-\,2r\right)^2}\,=\,1$
Se spostiamo il semicerchio inferiore del tutto a destra otteniamo qualcosa del tipo
ed è evidente che si può fare meglio: aumentiamo il raggio e otteniamo
soluzione per la quale il valore di $r\,=\,\frac5{13}$ si ottiene dall’equazione
$\displaystyle r\,+\,2\,\sqrt{r^2\,-\,\left(1\,-\,2r\right)^2}\,=\,1$
Se ora inseriamo il secondo semicerchio a rovescio
osserviamo che è possibile un ulteriore miglioramento: aumentiamo il raggio fino a che la figura diviene simmetrica
ed è evidente che il raggio di questi semicerchi, $r\,=\,\sqrt{2}\,-\,1$, è dato dall’equazione $r\,+\,2r/\sqrt{2}\,=\,1$.
Questa è la mia soluzione
e mi pare altresì evidente che non è possibile migliorarla…
Il valore di $r\,=\,0,373556\ldots$ si ottiene dall’equazione
$\displaystyle r\,+\,\sqrt{r^2\,-\,\left(\frac12\,-\,r\right)^2}\,+\,\sqrt{r^2\,-\,\left(1\,-\,2r\right)^2}\,=\,1$
Se spostiamo il semicerchio inferiore del tutto a destra otteniamo qualcosa del tipo
ed è evidente che si può fare meglio: aumentiamo il raggio e otteniamo
soluzione per la quale il valore di $r\,=\,\frac5{13}$ si ottiene dall’equazione
$\displaystyle r\,+\,2\,\sqrt{r^2\,-\,\left(1\,-\,2r\right)^2}\,=\,1$
Se ora inseriamo il secondo semicerchio a rovescio
osserviamo che è possibile un ulteriore miglioramento: aumentiamo il raggio fino a che la figura diviene simmetrica
ed è evidente che il raggio di questi semicerchi, $r\,=\,\sqrt{2}\,-\,1$, è dato dall’equazione $r\,+\,2r/\sqrt{2}\,=\,1$.
Questa è la mia soluzione
e mi pare altresì evidente che non è possibile migliorarla…
il panurgo
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Re: Semicerchi e quadrati
Bello il problema posto, belle le soluzioni date e grandiosa la dimostrazione di Panurgo.
Mi piacciono da matti queste mostrazioni che sono anche di-mostrazioni, che le vedi e le capisci al volo (o almeno ti sembra di averle capite al volo).
Mi piacciono da matti queste mostrazioni che sono anche di-mostrazioni, che le vedi e le capisci al volo (o almeno ti sembra di averle capite al volo).
Quest'ultima frase è matematica solo al 90%, ma questa è un'altra storia...e mi pare altresì evidente che non è possibile migliorarla…
Pace e bene a tutti.
Gianfranco
Gianfranco
Re: Semicerchi e quadrati
Vediamo se è possibile renderla un po’ più rigorosa.
Premesso che il quadrato ha lato unitario, osserviamo che:
1.un semicerchio deve essere quanto più possibile vicino ad un lato in modo da lasciare spazio agli altri semicerchi.
2.quando un semicerchio è tangente ad un lato con la base occupa meno spazio dello stesso semicerchio tangente al lato con la semicirconferenza
3.quando un semicerchio è tangente al lato con la semicirconferenza, il suo centro giace su una delle rette $x\,=\,r$, $x\,=\,1\,-\,r$, $y\,=\,r$ o $y\,=\,1\,-\,r$
4.quando il semicerchio è tangente con la semicirconferenza a due lati (consecutivi) il suo centro giace su due di tali rette e quindi su una diagonale del quadrato
5.quando un semicerchio è tangente con la base alla semicirconferenza di un altro semicerchio, l'altezza raggiunta è minima quando il punto di tangenza è il centro del semicerchio (che giace su una delle rette)
questo perché cambiando punto di tangenza il centro del semicerchio si alza e la semicirconferenza dista sempre $r$ dal centro stesso.
Di conseguenza, il massimo che si può ottenere con un semicerchio tangente con la base e gli altri due con la semicirconferenza è quello in figura (con $r\,=\,\frac5{13}$)
Se ora vogliamo mettere tre semicerchi tangenti con la base otteniamo questo massimo
il cui raggio vale $r\,=\,\frac{\sqrt{19}\,-\,2}{6}$ essendo determinato dall’equazione
$\displaystyle \sqrt{4r^2\,-\,\frac14}\,+\,r\,=\,1$
Infine, nella mia soluzione, i due semicerchi tangenti con la base hanno la dimensione massima e il terzo semicerchio è ad essi tangente
Spero che questo sia più convincente…
Premesso che il quadrato ha lato unitario, osserviamo che:
1.un semicerchio deve essere quanto più possibile vicino ad un lato in modo da lasciare spazio agli altri semicerchi.
2.quando un semicerchio è tangente ad un lato con la base occupa meno spazio dello stesso semicerchio tangente al lato con la semicirconferenza
3.quando un semicerchio è tangente al lato con la semicirconferenza, il suo centro giace su una delle rette $x\,=\,r$, $x\,=\,1\,-\,r$, $y\,=\,r$ o $y\,=\,1\,-\,r$
4.quando il semicerchio è tangente con la semicirconferenza a due lati (consecutivi) il suo centro giace su due di tali rette e quindi su una diagonale del quadrato
5.quando un semicerchio è tangente con la base alla semicirconferenza di un altro semicerchio, l'altezza raggiunta è minima quando il punto di tangenza è il centro del semicerchio (che giace su una delle rette)
questo perché cambiando punto di tangenza il centro del semicerchio si alza e la semicirconferenza dista sempre $r$ dal centro stesso.
Di conseguenza, il massimo che si può ottenere con un semicerchio tangente con la base e gli altri due con la semicirconferenza è quello in figura (con $r\,=\,\frac5{13}$)
Se ora vogliamo mettere tre semicerchi tangenti con la base otteniamo questo massimo
il cui raggio vale $r\,=\,\frac{\sqrt{19}\,-\,2}{6}$ essendo determinato dall’equazione
$\displaystyle \sqrt{4r^2\,-\,\frac14}\,+\,r\,=\,1$
Infine, nella mia soluzione, i due semicerchi tangenti con la base hanno la dimensione massima e il terzo semicerchio è ad essi tangente
Spero che questo sia più convincente…
il panurgo
Principio di Relatività: $\mathbb{m} \not \to \mathbb{M} \, \Longleftrightarrow \, \mathbb{M} \not \to \mathbb{m}$
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Re: Semicerchi e quadrati
Che dire, panurgo? Eccellente lavoro!
Se avete tempo, io rilancio: il problema è lo stesso, ma anziché 3 semicerchi dobbiamo incastrare 5 terzi di cerchio (sempre
all'interno di un quadrato). Con terzi intendo dire settori circolari con angolo al vertice di 120°. Il migliore risultato che ho
ottenuto è quello di cui sotto, dove il raggio di ciascun settore è pari a 0.37 (fatto 1 il lato del quadrato). Qualcuno riesce a
migliorare il risultato?
Se avete tempo, io rilancio: il problema è lo stesso, ma anziché 3 semicerchi dobbiamo incastrare 5 terzi di cerchio (sempre
all'interno di un quadrato). Con terzi intendo dire settori circolari con angolo al vertice di 120°. Il migliore risultato che ho
ottenuto è quello di cui sotto, dove il raggio di ciascun settore è pari a 0.37 (fatto 1 il lato del quadrato). Qualcuno riesce a
migliorare il risultato?
Lo scopo principale di una dichiarazione DATA è quello di dare dei nomi alle costanti; anziché inserire ogni volta 3.141592653589793 come valore di $\pi$, con una dichiarazione DATA si può assegnare tale valore alla variabile PI che può essere poi usata per indicare la costante. Ciò rende anche più semplice modificare il programma, qualora il valore di $\pi$ dovesse cambiare.
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