Bisezionamento bis
Moderatori: Gianfranco, Bruno
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Bisezionamento bis
Dimostrare che, dato un triangolo di lati 3,4,5, esiste una linea retta che biseziona contemporaneamente l'area e il perimetro di tale triangolo.
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.....è la somma che fa il totale (Totò)
Ciao
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.....è la somma che fa il totale (Totò)
Ciao
dati i valori dei tre lati, mi sembra che debba essere bellissimo.
Sto lavorando ad una soluzione generalizzata , per ogni triangolo, o per ogni triangolo rettangolo.
Ci sono quasi, anzi mi sembra quasi di toccarla, ma........
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Enrico
(E' la divergenza di opinioni che rende possibili, e interessanti, le corse di cavalli-M.Twain)
Sto lavorando ad una soluzione generalizzata , per ogni triangolo, o per ogni triangolo rettangolo.
Ci sono quasi, anzi mi sembra quasi di toccarla, ma........
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Enrico
(E' la divergenza di opinioni che rende possibili, e interessanti, le corse di cavalli-M.Twain)
...
Grande!
Guarda, stavo buttando giù qualcosa anch'io, ma appallòttolo tutto per il cestino
e attendo (come da piccolo attendevo "Topolino"!) il tuo intervento
(Bruno)
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Invisibile un vento / l'ha apena sfioragia / sospension d'un momento; /
e la bola iridessente gera 'ndagia. (Biagio Marin)
Grande!
Guarda, stavo buttando giù qualcosa anch'io, ma appallòttolo tutto per il cestino
e attendo (come da piccolo attendevo "Topolino"!) il tuo intervento
(Bruno)
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intanto vi offro il primo germe del mio ragionamento.
cerco di farvi ricostruire la figura come l'ho messa io, così forse è più facile.
Il triangolo ABC è posto con l'angolo retto in A, in basso a sinistra ; AB=3 (orizzontale verso destra) e AC = 4 (verticale)
Divido i lati in segmenti unitari, numerandoli a partire da A=0 in senso antiorario (ne consegue che B=3 e C= 8)
Traccio il segmento 8-2 che seziona correttamente il perimetro, ma non l'area
Il triangolo di destra (2-3-8) è più piccolo, perchè è più piccolo di 8-3-1,5 che a sua volta è buono per l'area ma non per il perimetro
Facendo scorrere in senso orario gli estremi del segmento divisore di due scatti, arrivo a 6-0 che è buono per il perimetro, ma non per l'area, nel senso che la parte di destra (0-3-6) è maggiore dell'altra, perchè maggiore di 0-3-2,5 (buona per l'area)
In un qualche punto del trasferimento del segmento, l'area del triangolo di destra da minore è diventata maggiore
SE&O
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Enrico
(E' la divergenza di opinioni che rende possibili, e interessanti, le corse di cavalli-M.Twain)
cerco di farvi ricostruire la figura come l'ho messa io, così forse è più facile.
Il triangolo ABC è posto con l'angolo retto in A, in basso a sinistra ; AB=3 (orizzontale verso destra) e AC = 4 (verticale)
Divido i lati in segmenti unitari, numerandoli a partire da A=0 in senso antiorario (ne consegue che B=3 e C= 8)
Traccio il segmento 8-2 che seziona correttamente il perimetro, ma non l'area
Il triangolo di destra (2-3-8) è più piccolo, perchè è più piccolo di 8-3-1,5 che a sua volta è buono per l'area ma non per il perimetro
Facendo scorrere in senso orario gli estremi del segmento divisore di due scatti, arrivo a 6-0 che è buono per il perimetro, ma non per l'area, nel senso che la parte di destra (0-3-6) è maggiore dell'altra, perchè maggiore di 0-3-2,5 (buona per l'area)
In un qualche punto del trasferimento del segmento, l'area del triangolo di destra da minore è diventata maggiore
SE&O
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Enrico
(E' la divergenza di opinioni che rende possibili, e interessanti, le corse di cavalli-M.Twain)
Pensavo:siccome una retta che biseziona l'area passa sicuramente per il baricentro e siccome le rette che bisezionano il perimetro tangono archi di parabola(cosa che deriva dalle considerazioni fatte nel mio topic "Caro diario..."),basterebbe trovare dove questi archi passano per il baricentro e avremmo risolto il problema.Ma qui ci va geometria analitica a gogò e non so se poi le formule si semplificano...adesso mi chiarisco le idee con due once di Cabri Géometre,poi sperém.
Adios gente!
Juanin o Motuleiño(i miei compagni a scuola non hanno niente di meglio da fare che trovarmi soprannomi bislacchi,e così... )
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Voglio tutto!Per favore...
(Io)
$\displaystyle \sum_{n=0}^{\infty}\;\int_{0}^{\infty}\;\prod_{k=0}^{\infty}\;\lim_{0\to\infty}=Zerinfinito...$
Adios gente!
Juanin o Motuleiño(i miei compagni a scuola non hanno niente di meglio da fare che trovarmi soprannomi bislacchi,e così... )
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Voglio tutto!Per favore...
(Io)
$\displaystyle \sum_{n=0}^{\infty}\;\int_{0}^{\infty}\;\prod_{k=0}^{\infty}\;\lim_{0\to\infty}=Zerinfinito...$
Interessantissimo! Attendo paziente il seguito
Purtroppo, la mia cartaccia è già stata recuperata dall'addetto alle pulizie...
(Un piccolo suggerimento, Enrico: quando fai l'otto prima della parentesi chiusa
aggiungi uno spazio - fra l'otto e la parentesi, intendo -, altrimenti vien fuori una
faccina...)
nell'esempio che ho raffigurato qui sotto?
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Invisibile un vento / l'ha apena sfioragia / sospension d'un momento; /
e la bola iridessente gera 'ndagia. (Biagio Marin)
Purtroppo, la mia cartaccia è già stata recuperata dall'addetto alle pulizie...
(Un piccolo suggerimento, Enrico: quando fai l'otto prima della parentesi chiusa
aggiungi uno spazio - fra l'otto e la parentesi, intendo -, altrimenti vien fuori una
faccina...)
...tu dici che questo sia sempre vero? ma sempre sempre? quindi anche0-§ ha scritto:(...) siccome una retta che biseziona l'area passa sicuramente per il baricentro
nell'esempio che ho raffigurato qui sotto?
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Invisibile un vento / l'ha apena sfioragia / sospension d'un momento; /
e la bola iridessente gera 'ndagia. (Biagio Marin)
Intanto saluto tutti, ed in particolare Pasquale, che mi ha invitato a "rifarmi vivo".
Purtroppo ho sempre alcuni problemi con il computer e con Internet.
Poi, a proposito del testo
Sia T un triangolo (qualunque).
Comunque io scelga una retta r, esiste una retta parallela ad r che divide l'area di T in due parti equivalenti (la dimostrazione è ovvia: basta osservare che se “faccio scorrere” r “trasversalmente” (cioè lungo la direzione ortogonale ad r), la superficie di una delle due parti aumenta e quella dell'altra diminuisce, mentre accade il contrario se r scorre nel verso opposto; ne consegue che esiste una ed una sola retta in cui le due superfici sono equivalenti).
Allora, fissata una retta orientata r(0) di riferimento, considero la funzione che ad ogni angolo a fa corrispondere la retta orientata r(a) che forma un angolo a con r(0) e che divide T in due parti equivalenti. Ovviamente all'angolo piatto (come dire: 180°) corrisponde la retta che coincide con r(0), ma che ha l'orientamento opposto (perché fissata una retta è unica la parallela che “smezza” T).
r(0) divide il perimetro in due parti che stanno una “a sinistra” ed una “a destra” di r(0); se queste hanno la stessa lunghezza ho già trovato quanto cercavo, altrimenti osservo che aumentando con continuità l'angolo a variano con continuità le lunghezze delle due parti di perimetro, e poiché dopo un angolo piatto la parte che stava a sinistra si trova a destra e viceversa, si ha che se una delle due (cioè uqella a sinistra o a destra) era minore dopo diviene maggiore, si ha che esiste almeno un angolo b tale che r(b) divida anche il perimetro in due parti di ugual lunghezza.
Vi saluto, Gaspero.
Purtroppo ho sempre alcuni problemi con il computer e con Internet.
Poi, a proposito del testo
anch'io ho avuto subito l'impressione che una tale retta debba esistere, indipendentemente dal triangolo. La mia idea però è di non fare calcoli, ma di seguire semplicemente un ragionamento intuitivo che provo a spiegare (anche se dubito di riuscire ad esse chiaro e rigoroso, ma l'idea mi pare condivisibile).Dimostrare che, dato un triangolo di lati 3,4,5, esiste una linea retta che biseziona contemporaneamente l'area e il perimetro di tale triangolo.
Sia T un triangolo (qualunque).
Comunque io scelga una retta r, esiste una retta parallela ad r che divide l'area di T in due parti equivalenti (la dimostrazione è ovvia: basta osservare che se “faccio scorrere” r “trasversalmente” (cioè lungo la direzione ortogonale ad r), la superficie di una delle due parti aumenta e quella dell'altra diminuisce, mentre accade il contrario se r scorre nel verso opposto; ne consegue che esiste una ed una sola retta in cui le due superfici sono equivalenti).
Allora, fissata una retta orientata r(0) di riferimento, considero la funzione che ad ogni angolo a fa corrispondere la retta orientata r(a) che forma un angolo a con r(0) e che divide T in due parti equivalenti. Ovviamente all'angolo piatto (come dire: 180°) corrisponde la retta che coincide con r(0), ma che ha l'orientamento opposto (perché fissata una retta è unica la parallela che “smezza” T).
r(0) divide il perimetro in due parti che stanno una “a sinistra” ed una “a destra” di r(0); se queste hanno la stessa lunghezza ho già trovato quanto cercavo, altrimenti osservo che aumentando con continuità l'angolo a variano con continuità le lunghezze delle due parti di perimetro, e poiché dopo un angolo piatto la parte che stava a sinistra si trova a destra e viceversa, si ha che se una delle due (cioè uqella a sinistra o a destra) era minore dopo diviene maggiore, si ha che esiste almeno un angolo b tale che r(b) divida anche il perimetro in due parti di ugual lunghezza.
Vi saluto, Gaspero.
Ciao Gaspero e bentrovato: mi fa piacere che hai deciso di aderire al mio invito con uno dei tuoi potenti interventi e spero che possa farlo più spesso.
Adesso sappiamo che una retta c'è, ma io ho già detto che ce n'è più d'una e dunque continuiamo la ricerca, individuando IN CONCRETO le rette che realizzano la condizione del testo nel particolare triangolo (rettangolo).
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.....è la somma che fa il totale (Totò)
Ciao
Adesso sappiamo che una retta c'è, ma io ho già detto che ce n'è più d'una e dunque continuiamo la ricerca, individuando IN CONCRETO le rette che realizzano la condizione del testo nel particolare triangolo (rettangolo).
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.....è la somma che fa il totale (Totò)
Ciao
Wooops!Bruno ha scritto:...tu dici che questo sia sempre vero? ma sempre sempre? quindi anche nell'esempio che ho raffigurato qui sotto?
Devo essermi davvero sbagliato.Sicuramente é vero l'inverso,ossia che se una retta passa per il baricentro divide l'area in due parti uguali.Però ero convinto che tutte le rette bisettrici dell'area passassero ber il baricentro...il problema é più difficile del previsto.Per inciso,questo implica che abbia ragione Pasquale nel dire che esistono più rette che soddisfano il bis-bisezionamento,perché col mio ragionamento iniziale solo una retta (ammesso e non concesso che il baricentro si trovi sugli archi di parabola di cui parlavo) poteva risolvere il problema.
Sono comunque convinto della bontà del discorso per il quale le rette che bisezionano il perimetro tangono archi di parabola,in un qualsiasi triangolo.Vi prego,non ditemi che sbagliato anche lì...
Saluti,
GioMott
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Voglio tutto!Per favore...
(Io)
$\displaystyle \sum_{n=0}^{\infty}\;\int_{0}^{\infty}\;\prod_{k=0}^{\infty}\;\lim_{0\to\infty}=Zerinfinito...$
Anche io ero partito dal ragionamento fatto da infinito (bentornato!), con minimi aggiustamenti; la mia "dimostrazione" non è molto differente.
E mi pare che si possa ripetere almeno tre volte per ogni triangolo (applicarla ad un triangolo rettangolo ha solo il pregio dell'eleganza e della facilità di calcolo "a spanne")
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Enrico
(E' la divergenza di opinioni che rende possibili, e interessanti, le corse di cavalli-M.Twain)
E mi pare che si possa ripetere almeno tre volte per ogni triangolo (applicarla ad un triangolo rettangolo ha solo il pregio dell'eleganza e della facilità di calcolo "a spanne")
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Enrico
(E' la divergenza di opinioni che rende possibili, e interessanti, le corse di cavalli-M.Twain)
Mi pare che di rette del genere ce ne siano tantissime.
prendiamo un punto qualsiasi del perimetro (quindi ce n'e' infiniti). Prendiamo la retta che passa per quel punto e va vicinissima ad un vertice dello stesso lato. Quella individua una porzione di area e perimetro piccola, decisamente minore della meta'. Adesso facciamola muovere in modo che individui una porzione di area e perimetro molto grande, tipo quasi 2 lati. Maggiore della meta'. (Per la disuguaglianza triangolare!) Bene in mezzo ci sara' almeno una posizione (per triangoli acuti direi uno solo) in cui vale 1/2 per il teorema dei valori intermedi.
p.s. bentornato infinito! vedo che hai gia' scritto tutto quello che avevo in mente!!!
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Daniela
"L'essenza della libertà è la matematica"
prendiamo un punto qualsiasi del perimetro (quindi ce n'e' infiniti). Prendiamo la retta che passa per quel punto e va vicinissima ad un vertice dello stesso lato. Quella individua una porzione di area e perimetro piccola, decisamente minore della meta'. Adesso facciamola muovere in modo che individui una porzione di area e perimetro molto grande, tipo quasi 2 lati. Maggiore della meta'. (Per la disuguaglianza triangolare!) Bene in mezzo ci sara' almeno una posizione (per triangoli acuti direi uno solo) in cui vale 1/2 per il teorema dei valori intermedi.
p.s. bentornato infinito! vedo che hai gia' scritto tutto quello che avevo in mente!!!
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Daniela
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