Uno come somma di frazioni

[Tino]

Ciao!
Ho un problema curioso.

Qui chiamo $\mathbb{N}=\{1,2,3,\ldots\}$. E prendo $n \in \mathbb{N}$.

E' vero che l'equazione $\sum_{i=1}^n \frac{1}{X_i} = 1$ ha solo un numero finito di soluzioni $(X_1,\ldots,X_n) \in \mathbb{N}^n$?



[Edit] Osservo che $n$ è fissato.

[Pasquale]

Scusa, potresti fare qualche esempio di sommatoria che sia una possibile soluzione ? Grazie.

[modulocomplicato]

...la domanda sarebbe: infinito appartiene a N ?

cioè: 1/infinito = 0 ... appartiene ad N ?

Ma dalle premesse: 0 non appertiene ad N ....

O no ?

[Tino]

Scusa, potresti fare qualche esempio di sommatoria che sia una possibile soluzione ? Grazie.

In generale dici? Beh una soluzione è $X_1 = \ldots = X_n = n$, un'altra è $X_1=2$, $X_2 = \ldots = X_n = 2(n-1)$.

modulocomplicato: ho chiamato $\mathbb{N} = \{1,2,3,\ldots\}$, cioè i numeri interi positivi

[modulocomplicato]

...si io credo di aver capito...

[Tino]

Suggerisco di provare a risolvere lo stesso problema con un numero qualsiasi al posto di 1 dopo l'uguale

[sTella_ikoNa]

Già nel 1915 Taesinger dimostrò che la somma dei reciproci dei primi n numeri non fornisce mai un intero,ossia:
(1/1) +(1/2)+(1/3)+.....(1/n )= N è impossibile, nel 1918 Kurshchak andò oltre,dimostrando che se anche la serie parte da un punto diverso da 1/1 , e si sommano i reciproci di n numeri consecutivi,essa non arriva mai ad un intero.

nel 1932 Erdos superò per certi aspetti la necessità che i numeri fossero consecutivi, basta che siano distanziati di un passo a, per esempio:
(1/1) +(1/4)+(1/7)+(1/10)+....(1/(1+3n)) non dà mai un intero.

Per il resto sappiamo che qualsiasi frazione del tipo 1/a si può esprimere tramite l'identità 1/a = [1/(a+1)]+[1/a(a+1)] ed il procedimento è iterabile all'infinito.Così ad esempio si ottiene 1/2 = 1/(2+1)+1/2(2+1)= (1/3)+(1/6),applicandolo ora ad esempio ad 1/3 otteniamo:
1/2= (1/4)+(1/6)+(1/12) e così via possiamo continuare come più ci aggrada.

Daltrocanto sappiamo anche che qualsiasi frazione generica del tipo a/b, si può esprimere in un'infinità di maniere diverse come somma di frazioni egizie del
tipo 1/c

Ora per costruire una qualsiasi soluzione dell'equazione (che sia ad esempio, priva di termini doppi) , come è intesa da Tino nei suoi esempi,basta prendere l'unità e scinderla in due frazioni generiche qualsivoglia, esempio 1 = (3/7) +(4/7), ove possiamo porre 4/7= (1/2) +(1/14) e 3/7= (1/3)+(1/11)+(1/231),allora:
1= (1/2)+(1/3)+(1/11)+(1/14)+(1/231)
Quindi in questo senso,ovvero se i numeri,non devono essere consecutivi e non devono soggiacere a determinate regole,allora il numero di soluzioni è illimitato.

[Tino]

Occhio però, una restrizione c'è: il numero di addendi è fissato, l'ho chiamato $n$.

[sTella_ikoNa]

Beh, allora dato che n è fissato,e che per ogni n è fissabile un limite superiore (1/2) ed un limite inferiore (1/k) nella somma degli addendi,questo
comporta la gestione di un insieme finito da cui pescare.
esempio per n=4, dato che (1/2) + (1/3) + (1/7) + (1/43) < 1 < (1/2) +(1/3) + (1/7) +(1/41) , si evince che il limite inferiore nella somma
di 4 termini vale (1/42), l'insieme di numeri naturali associabili all'equazione nel caso n=4 , risulterà : { 2, 3, 4 , 5 ,......42}.
Il ragionamento si estende,induttivamente, a qualsiasi n, ove il corrispondente insieme finito di numeri naturali {2,3,4.....k} determina
un campo di soluzioni limitato.

[Tino]

Non ti seguo molto: perché 1/42? Poi, una somma di cose del tipo 1/k non è necessariamente del tipo 1/k. No?