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Il principio dei cassetti - 23. Angolo minore di 26° [RISOLTO]

Inviato: dom dic 04, 2005 10:57 am
da Admin
Admin ha scritto:Dalla sezione "Il principio dei cassetti"

23. Angolo minore di 26°

Tracciamo a caso 7 linee rette nel piano in modo che non ci siano rette parallele.
Esistono 2 linee che formano un angolo minore di 26°?
Sicuramente esiste un angolo minore di 26°.

Per dimostrarlo mettiamoci, come sempre, nel caso peggiore.
Consideriamo le prime due rette;
il caso peggiore è che il minore degli angoli che si vengono a formare dal loro incrocio sia massimo; per cui il caso peggiore è che le due rette siano ortogonali e quindi l'angolo d'incrocio è 90°.
A questo punto, nel tracciare le altre rette possiamo tener conto del fatto che rette parallele tagliate da una o più trasversali, generano, con la stessa trasversale, gli stessi angoli.
Per cui, per maggiore semplicità, facciamo passare tutte le rette, dalla 3° alla 7°, nel punto di incrocio delle prime due.

Ora, nel caso peggiore, la 3° retta formerà un angolo di 26° con una delle prime due rette;
la 4° retta la consideriamo ortogonale alla 3°, in modo da far rimanere invariati gli angoli (vedi figura successiva).
IMMAGINE MANCANTE
*gli angoli in figura sono di 26° e non di 27°

Procedendo allo stesso modo, tracciamo la 5° retta, in modo che formi con la 3° retta, inserita in precedenza, un angolo di 26°; con la 2° retta formerà un angolo di 90-26-26=38° (vedi figura in basso);
la 6° la tracciamo ortogonale alla 5°; per cui:
IMMAGINE MANCANTE
*gli angoli in figura sono di 26° e 38°, e non di 27° e 36°

Si nota che lo spazio restante (quello in rosso nella figura) per inserire la 7° retta è "ampio" 36°; per cui, comunque la tracciamo all'interno di tale spazio otterremo sempre un angolo minore di 26°

Re: R: "Il principio dei cassetti" - 23. Angolo minore di 26°

Inviato: lun lug 29, 2019 5:08 pm
da sixam
Soluzione intuitiva: traslo tutte le rette in modo da avere un fascio di rette (la traslazione non modifica gli angoli di incidenza tra le singole rette). Ottengo quindi un fascio di 7 rette, che mi divide il piano in 14 settori. Per massimizzare l'ampiezza di ogni settore, i settori devono essere uguali. 360°/14 = circa 25.7°, quindi il più piccolo settore è < 26°.

Re: R: "Il principio dei cassetti" - 23. Angolo minore di 26°

Inviato: mer lug 31, 2019 6:46 am
da Gianfranco
OK Pietro e SixaM, direi che le vostre proposte sono corrette.

Io ho iniziato a ragionare così:
sixam ha scritto:
lun lug 29, 2019 5:08 pm
Soluzione intuitiva: traslo tutte le rette in modo da avere un fascio di rette (la traslazione non modifica gli angoli di incidenza tra le singole rette). Ottengo quindi un fascio di 7 rette, che mi divide il piano in 14 settori.
...
ma per usare proprio il principio dei cassetti ho concluso così:
Se ciascuno dei settori avesse un'ampiezza (non minore di) >=26°
allora la loro somma sarebbe (non minore di) >=26*14=364°.

Ma questo non è possibile perché la somma è esattamente 360°.
Quindi ALMENO DUE settori (opposti) hanno un'ampiezza <26°

Re: R: "Il principio dei cassetti" - 23. Angolo minore di 26°

Inviato: mer lug 31, 2019 10:17 am
da sixam
Gianfranco ha scritto:
mer lug 31, 2019 6:46 am
[cut]
Quindi ALMENO DUE settori (opposti) hanno un'ampiezza <26°
In effetti, il tuo ragionamento rispecchia molto di più lo "spirito" del Principio dei cassetti.