Il principio dei cassetti - 23. Angolo minore di 26° [RISOLTO]

[Admin]

Dalla sezione "Il principio dei cassetti"

23. Angolo minore di 26°

Tracciamo a caso 7 linee rette nel piano in modo che non ci siano rette parallele.
Esistono 2 linee che formano un angolo minore di 26°?

Sicuramente esiste un angolo minore di 26°.

Per dimostrarlo mettiamoci, come sempre, nel caso peggiore.
Consideriamo le prime due rette;
il caso peggiore è che il minore degli angoli che si vengono a formare dal loro incrocio sia massimo; per cui il caso peggiore è che le due rette siano ortogonali e quindi l'angolo d'incrocio è 90°.
A questo punto, nel tracciare le altre rette possiamo tener conto del fatto che rette parallele tagliate da una o più trasversali, generano, con la stessa trasversale, gli stessi angoli.
Per cui, per maggiore semplicità, facciamo passare tutte le rette, dalla 3° alla 7°, nel punto di incrocio delle prime due.

Ora, nel caso peggiore, la 3° retta formerà un angolo di 26° con una delle prime due rette;
la 4° retta la consideriamo ortogonale alla 3°, in modo da far rimanere invariati gli angoli (vedi figura successiva).

*gli angoli in figura sono di 26° e non di 27°

Procedendo allo stesso modo, tracciamo la 5° retta, in modo che formi con la 3° retta, inserita in precedenza, un angolo di 26°; con la 2° retta formerà un angolo di 90-26-26=38° (vedi figura in basso);
la 6° la tracciamo ortogonale alla 5°; per cui:

*gli angoli in figura sono di 26° e 38°, e non di 27° e 36°

Si nota che lo spazio restante (quello in rosso nella figura) per inserire la 7° retta è "ampio" 36°; per cui, comunque la tracciamo all'interno di tale spazio otterremo sempre un angolo minore di 26°

[sixam]

Soluzione intuitiva: traslo tutte le rette in modo da avere un fascio di rette (la traslazione non modifica gli angoli di incidenza tra le singole rette). Ottengo quindi un fascio di 7 rette, che mi divide il piano in 14 settori. Per massimizzare l'ampiezza di ogni settore, i settori devono essere uguali. 360°/14 = circa 25.7°, quindi il più piccolo settore è < 26°.

[Gianfranco]

OK Pietro e SixaM, direi che le vostre proposte sono corrette.

Io ho iniziato a ragionare così:

Soluzione intuitiva: traslo tutte le rette in modo da avere un fascio di rette (la traslazione non modifica gli angoli di incidenza tra le singole rette). Ottengo quindi un fascio di 7 rette, che mi divide il piano in 14 settori.
...

ma per usare proprio il principio dei cassetti ho concluso così:
Se ciascuno dei settori avesse un'ampiezza (non minore di) >=26°
allora la loro somma sarebbe (non minore di) >=26*14=364°.

Ma questo non è possibile perché la somma è esattamente 360°.
Quindi ALMENO DUE settori (opposti) hanno un'ampiezza <26°

[sixam]

[cut]
Quindi ALMENO DUE settori (opposti) hanno un'ampiezza <26°

In effetti, il tuo ragionamento rispecchia molto di più lo "spirito" del Principio dei cassetti.

[Admin]

Aggiornando la pagina dei quesiti irrisolti della collezione, mi è capitato di risoffermarmi su questo quesito, ormai risolto in modi molteplici.
Ho aggiornato le immagini che erano andate perse, recuperandole dalla soluzione inserita da Gianfranco nella pagina del problema su Base5,
ma comunque queste ultime contengono degli errori e sono fuorvianti.

Pertanto posto una soluzione che fa un uso più alla lettera del principio dei cassetti, ossia:

Consideriamo le $7$ rette nel piano come definite dal problema e trasliamole in modo che abbiano un solo punto in comune.
Otteniamo quindi un fascio di $7$ rette che dividono il piano in $14$ parti (o settori).

Ora, il principio generale dei cassetti afferma che se abbiamo $n$ oggetti da inserire in $m$ contenitori, vi sarà almeno un cassetto contenente almeno $\large\lceil\frac{n}{m}\rceil$ oggetti.

Nel nostro caso, i cassetti corrispondo ai $14$ settori.
Gli oggetti invece, da inserire nei cassetti sono i $360$ gradi.

Dal momento che, pero', gli angoli possono essere pari a valori non interi, allora dobbiamo togliere l'arrotondamento per eccesso all'intero più vicino.

Pertanto il principio dei cassetti ci dice che vi sarà almeno un cassetto contentente almeno $\displaystyle\frac{360}{14} = 25,\overline{714285}$ gradi;
ossia vi sarà almeno un angolo $\ge 25,\overline{714285}^{\,\circ}$.
Di conseguenza vi sarà, complementarmente, almeno un angolo $\le 25,\overline{714285}^{\,\circ}$.

Quindi vi sarà sicuramente un angolo $\le 26^\circ$.

Admin