I problemi irrisolti della "Collezione"

[Admin]

Di seguito sono elencati tutti i problemi irrisolti della Collezione (se ne manca qualcuno segnalatelo).
E' possibile cliccare sulle intestazioni di ogni sezione per accedere alle tracce dei problemi.

NUMERI

Dalla sezione "I quattro 4, i cinque 5 e altri esercizi simili"

9. Esprimere un numero intero utilizzando quattro R

ARITMETICA E ALGEBRA

Dalla sezione "Le quattro operazioni e dintorni"

8. Vendo, compro, vendo
18. Il cambio delle ruote Vai alla sol.

Dalla sezione "Il problema della cisterna"

9. Due pompe svuotano una vasca Vai alla sol.

Dalla sezione "Il problema di Flavius Josephus"

5. Un trucco con le carte
6. M'ama non m'ama Vai alla sol.
7. Castagne o cioccolatini? Vai alla sol.

Dalla sezione "Divisioni di botti"

6. Divisioni di recipienti e triangoli Vai alla sol.

Dalla sezione "Aritmetica russa"

1. Ordine delle cifre e divisibilità Vai alla disc.
2. Sostituire le coppie
3. Righe di 1000 numeri
5. Numeri buoni
6. Funzioni di funzioni
7. 3 automi giocano a carte
10. Potenza di due Vai alla sol.

Dalla sezione "Miscugli con travaso di liquidi"

3. Travasi incogniti di vino in acqua Vai alla sol.
4. Una possibile generalizzazione Vai alla sol.

Dalla sezione "Il gioco dei 4 numeri"

Il gioco dei 4 numeri Vai alla sol.

Dalla sezione "Ferri da cavallo"

Il re raduna un esercito
Il ferro da cavallo

Dalla sezione "La paga dei portatori"

Problemi sui quali ho dei dubbi

ANALISI

Dalla sezione "Il recinto degli ornitorinchi"

Il recinto degli ornitorinchi

GEOMETRIA SOLIDA

Dalla sezione "I due stiliti ed altre ricreazioni pitagoriche"

2. I serpenti attorno all'albero

Dalla sezione "Le torri di Pitagora"

2. La torre, il fossato e la scala Vai alla sol.
3. Scala e torre della stessa altezza Vai alla sol.
4. La canna appoggiata ad una parete
5. La torre, il fiume e la fune Vai alla sol.
6. Le due torri e la fonte Vai alla sol.
7. Le torri e i passeri Vai alla sol.

Dalla sezione "Pitagora ed il fiore di loto"

1. Il fiore di loto Vai alla sol.
2. La canna piegata Vai alla sol.

Dalla sezione "Il bambù spezzato"

2. Il bambù spezzato Vai alla sol.
3. Il bambù spezzato di Bhaskara Vai alla sol.
4. L'albero spezzato di Filippo Calandri Vai alla sol.

Dalla sezione "I paradossi del tangram"

2. La casa Vai alla disc.
3. Il triangolo Vai alla sol.
4. Il vassoio Vai alla sol.
5. Il ponte Vai alla sol.
6. Il vaso Vai alla sol.
7. La candela Vai alla sol.
8. Il rombo Vai alla sol.
9. La donna Vai alla sol.
10. Il vassoio Vai alla sol.
11. la casa2 Vai alla sol.
12. La coppa Vai alla sol.
13. Il pesce Vai alla sol.
14. Il monaco2 Vai alla sol.
15. La casa3 Vai alla sol.
16. Il monaco3 Vai alla sol.

Dalla sezione "Gnomon"

3. Dividere un L-tromino in 5 parti uguali Vai alla disc.

Dalla sezione "Dissezioni del quadrato"

4. Dividere un quadrato in 7 quadrati uguali
5. Per quali n è possibile dividere un quadrato in n quadrati uguali? Vai alla sol.
6. Trasformare un rettangolo 5*1 in un quadrato, tagliandolo in 5 pezzi Vai alla sol.

Dalla sezione "Esercizi sulle dissezioni"

Esercizio 4: da croce a quadrato Vai alla sol.
Esercizio 5: da rettangolo a quadrato Vai alla sol.
Esercizio 6 Vai alla sol.

Dalla sezione "Il problema della mitra"

4. Due quadrati in una mitra
6. Quadrare il rettangolo Vai alla sol.

Dalla sezione "Coprire un disco con altri dischi"

3. Il problema dei 7 dischi

Dalla sezione "Coprire un quadrato con altri quadrati"

Tappeti quadrati
Tappeti quadrati paralleli

Dalla sezione "Cerchi in un quadrato"

2. Cerchi in un triangolo equilatero
3. Cerchi in un cerchio

TOPOLOGIA

Dalla sezione "Visitare tutte le celle di una griglia"

7. Domande in cerca di risposta
8. Il nostro amico Dudeney

Dalla sezione "Il paradosso toroidale di Herbert Taylor"

Anello e manette bis

MISURE

Dalla sezione "Clessidre, orologi e calendari"

14. L'orologio ubriaco Vai alla sol.

Dalla sezione "L'arrampicata della lumaca"

4. Un serpente entra in un buco Vai alla sol.

Dalla sezione "Pesi e bilance"

4. Le 9 palline e la bilancia romana Vai alla disc.
14. Nuovo interessante problema su: Pesi e bilance

LOGICA

Dalla sezione "Il putto autopoietico"

Il putto autopoietico Vai alla disc.

Dalla sezione "Paradossi"

1. Il paradosso del mentitore Vai alla disc.
2. Il paradosso del comma 22 Vai alla disc.
3. Il paradosso di Parmenide Vai alla disc.
4. Il paradosso dell'autoriferimento Vai alla disc.
5. Il paradosso di Achille e della Tartaruga Vai alla disc.
6. Il paradosso del sorite Vai alla disc.
7. Il paradosso della decisione
8. Il paradosso della previsione Vai alla disc.
9. Il paradosso dell'infinito Vai alla disc.
10. Una delle due è falsa
11. Orrori
12. Come superare un esame
13. Come non farsi mangiare dai cannibali
14. Il paradosso del barbiere
15. Il paradosso del cartello (o del biglietto di Jourdain)

Dalla sezione "Il leopardo la capra ed il kassawi"

10. Traghettare il tesoro Vai alla sol.
12. E se le donne non sanno remare? Vai alla sol.
13. Tre missionari e tre cannibali Vai alla sol.
14. Quando il peso è importante Vai alla sol.

Dalla sezione "Logica e dintorni"

3. Conoscenti o sconosciuti Vai alla sol.

COMBINATORIA

Dalla sezione "I labirinti logici di Robert Abbott"

Direzioni obbligate

Dalla sezione "I regoli di Golomb"

4. Sei punti su una circonferenza Vai alla sol.

Dalla sezione "Bianco e nero"

4. Il rovescio della medaglia

Dalla sezione "Esercizi sul principio dei cassetti"

7. Somme uguali Vai alla sol.
8. Somma multipla Vai alla sol.
9. Somma multipla di 5 Vai alla sol.
10. Somma divisibile per 5 Vai alla sol.
11. Somma divisibile per n
12. Differenza divisibile per 11 Vai alla sol.
13. Differenza di potenze multipla Vai alla sol.
14. Cifre terminali Vai alla sol.
15. Potenza multipla Vai alla sol.
16. Sette dischi coprono un disco Vai alla sol.
18. Alberi e distanze
19. Rettangoli con vertici dello stesso colore Vai alla sol.

20. Vertici di un triangolo isoscele Vai alla sol.
21. Punto medio in una griglia Vai alla sol.
22. 51 punti in un quadrato Vai alla sol.
23. Angolo minore di 26° Vai alla sol.
24. Grafo di 9 vertici Vai alla sol.
25. Utilizzo del computer Vai alla sol.
26. Un milione di alberi Vai alla sol.
27. Scatole numerate Vai alla sol.
28. Nove persone sedute in fila Vai alla sol.
29. Almeno un'aspirina al giorno
30. Matite colorate Vai alla sol.
31. Somma di età Vai alla sol.
32. Cinquecento cassette di mele Vai alla sol.

Dalla sezione "I cassetti di Zio Erdos"

1. Cinque punti sul piano
2. Nove punti sul piano
3. Diciassette punti sul piano
4. il problema del lieto fine Vai alla disc.

PROBABILITA' E STATISTICA

Dalla sezione "Un triangolo forse"

2. Probabilità che sia un triangolo
3. Spaghetti e triangoli Vai alla sol.
4. Perchè i professori (e le professoresse) disegnano sempre triangoli acutangoli?

Dalla sezione "Il paradosso di Bertrand"

Il paradosso di Bertrand

______________________
LEGENDA

= dati insufficienti
= problema irrisolto
= problema risolto
= nuovo problema (2020)
= problema aggiornato (2020)
= nuovo problema (2019)
= problema aggiornato (2019)
= discussione aperta

[Admin]

Dalla sezione "Le quattro operazioni e dintorni"

8. Vendo, compro, vendo

Un altro commerciante vende un orologio a 40 Euro e lo ricompra a 30 Euro. E' chiaro che ha guadagnato 10 Euro, visto che si ritrova con il suo orologio e 10 Euro.
In seguito lo rivende a 35 Euro, guadagnando altri 5 Euro.
Tutto soddisfatto pensa:
"Ho guadagnato 15 Euro."

1. La sua segretaria però gli dice:
   "Lei ha cominciato con un orologio che valeva 40 euro e alla fine si ritrova con (40 - 30 + 35) = 45 euro, perciò ha guadagnato 5 euro.
   La prima vendita dell'orologio a 40 euro è un mero scambio e non porta nessun guadagno né perdita. Il guadagno si ha soltanto dopo aver ricomprato l'orologio per 30 euro e averlo rivenduto per 35 euro.
   Infatti: guadagno = ricavo - spesa."
2. Il commerciante telefona al suo commercialista che gli dice:
   "Quando vende il suo orologio per 40 euro e lo ricompra per 30 euro, ha guadagnato 10 euro perché ha lo stesso orologio e 10 euro in più.
   Quando lo rivende per 35 euro, si tratta di un mero scambio e non realizza alcun guadagno nè perdita.
   Perciò ha guadagnato 10 euro."
3. Il commerciante, dopo una giornata di così duro lavoro, torna a casa e racconta tutto alla moglie, la quale gli spiega:
   - Caro, questa mattina avevi un orologio e ora hai 45 Euro, ma quanto ti costerà domani un altro orologio per andare avanti nel tuo commercio? Fino a domani non si può dire quanto hai guadagnato.
   Il commerciante, quella sera, guardandosi allo specchio si chiede perplesso: - Oggi ho guadagnato o perso? Quanto?

[Clark, 1897]

18. Il cambio delle ruote
Un'automobile percorre 10000 km. Le 5 ruote, compresa quella di scorta, vengono permutate regolarmente in modo che tutte si consumino ugualmente. Quanti kilometri ha percorso ciascuna ruota?
(JE e altre fonti)

[Admin]

Dalla sezione "Il problema della cisterna"

9. Due pompe svuotano una vasca

Una pompa svuota una vasca in un certo tempo. Una seconda pompa svuota la stessa vasca impiegando 5 minuti di meno rispetto alla prima.
Le due pompe, funzionando assieme, svuotano la vasca in 12 minuti.
Quanto tempo impiega ciascuna pompa singolarmente?

[Admin]

Dalla sezione "Il problema di Flavius Josephus"

5. Un trucco con le carte

Questo gioco di prestigio non è straordinario ma ha la rara particolarità di essere basato sul problema di Josephus.
Si prendono 8 carte: 4 re e 4 regine. Si dispongono sul tavolo a faccia in su e, prelevandole a caso una dopo l'altra, si forma un mazzetto.
Tenendo in mano il mazzetto, con il dorso delle carte in alto, si procede così:

• si deposita la prima carta sul tavolo, a faccia in su;
• si passa la carta successiva in fondo al mazzo;
• si dispone la carta successiva sul tavolo, a faccia in su, alla destra di quella precedente;
• si passa la carta successiva in fondo al mazzo;
• e così via, fino ad aver disposto tutte le carte in fila.

Magicamente ogni re sarà accanto ad una regina.
Dove sta il trucco?

6. M'ama non m'ama

Francesca sta sfogliando una margherita.
"M'ama, non m'ama, m'ama..."
Sapendo che la margherita ha un numero di petali multiplo di 6 e che ne aveva perso uno prima che Francesca la raccogliesse, quale sarà il risultato?

7. Castagne o cioccolatini?

A Nicolò e a suo papà piacciono i marron glacés ma preferiscono decisamente i cioccolatini.
Un giorno il papà arriva a casa con un pacchetto: ci sono 5 cioccolatini e 5 marron glacés.
"Facciamo a metà?" dice il papà.
"Certo!" risponde Nicolò, "A me i cioccolatini e a te le castagne."
"Ehm... è meglio estrarre a sorte. Mettiamo i dolci sul tavolo, in circolo. Poi, a turno, ne prendiamo uno ogni tre, fino ad esaurirli tutti, ci stai?"
"Il primo lo prendo io?"
"Sì."
"E poi come si procede, spiegami bene."
"Io ne salto 2 e prendo il terzo, poi tu ne salti 2 e prendi il terzo, e così via. Quelli che abbiamo preso, naturalmente, non si contano più."
"Seguiamo il senso delle lancette dell'orologio?"
"Sì."
"Posso disporre io i dolcetti sul tavolo?"
"E va bene!"
Nicolò dispone i dolcetti sul tavolo e, seguendo la regola stabilita dal papà, riesce a prendere tutti i cioccolatini.
Come ha fatto?

[Admin]

Dalla sezione "Divisioni di botti"

6. Divisioni di recipienti e triangoli

Si dimostri che il numero di modi in cui è possibile dividere (x, x, x) fra 3 è lo stesso del numero di triangoli di perimetro x.

[David Singmaster, 1990]

[Admin]

Dalla sezione "Miscugli con travaso di liquidi"

3. Travasi incogniti di vino in acqua

Come si può risolvere il seguente problema nel modo più semplice possibile?

Un recipiente contiene 250 litri di acqua.
Da esso si tolgono x litri e si rimpiazzano con x litri di vino.
Si mescola fino ad ottenere una miscela omogenea.
Dalla miscela si tolgono nuovamente x litri e si rimpiazzano con x litri di vino.
Dopo queste operazioni la miscela contiene acqua e vino nella proporzione 16/9.
Le domande sono:
a) determinare x;
b) determinare la quantità di acqua prelevata la seconda volta.

Ringrazio Roberto Doniez per aver posto questo problema.
Sottolineo che si chiede non soltanto di risolvere il problema ma soprattutto di trovare una soluzione elementare, semplice e trasparente.

4. Una possibile generalizzazione

Da un recipiente contenente 1 (unità) di vino si toglie ogni giorno 1/100 e si rimpiazza con acqua, per n giorni.
Quanto vino rimane per n = 20?
Per quale n il vino sarà ridotto a 1/2?
E a 1/3?
Quanto vino rimarrà dopo n giorni?

[Lucas. L'Arithmétique Amusante. 1895. Prob. XLI: Le tonneau inépuisable, p. 183
Louis Pierre Marie Bourdon (1779-1854). Élémens d'Algèbre. 7th ed., Bachelier, Paris, 1834]

[Admin]

Dalla sezione "I due stiliti ed altre ricreazioni pitagoriche"

2. Il serpente attorno all'albero
Un albero alto 2 zhang ha un tronco cilindrico di circonferenza 3 chih.
Un serpente si arrotola a spirale sette volte attorno al tronco e raggiunge la sua cima.
Quanto è lungo il serpente?

[Admin]

Dalla sezione "Le torri di Pitagora"

2. La torre, il fossato e la scala

Una torre alta 200 piedi è circondata da un fossato largo 60 piedi.
Si vuole costruire una scala che, appoggiata sul bordo esterno del fossato, giunga esattamente alla cima della torre.
Quanto deve essere alta, come minimo, la scala?

[Peter van Halle, 1568]



3. Scala e torre della stessa altezza

Una scala alta 20 braccia è appoggiata ad una torre alta 20 braccia.
La base della scala si trova a 12 braccia di distanza dalla base della torre.
Quanto è più bassa la cima della scala rispetto alla cima della torre?

[Gaspar Nicolas, Prática D'aritmética, 1519]



4. La canna appoggiata ad una parete
Una canna è appoggiata obliquamente ad un muro verticale. La cima della canna tocca la sommità del muro.
Se la cima della canna si abbassa di 3 GAR allora la sua base si allontana dal muro di 9 GAR.
Quanto è lunga la canna?
Quanto è alto il muro?

[tavoletta babilonese del III sec. a. C.]


5. La torre, il fiume e la fune

Una torre alta 40 braccia si erge in riva ad un fiume largo 30 braccia.
Voglio sapere quanto sarà lunga una fune che colleghi la cima della torre con la riva opposta del fiume.

[Filippo Calandri, 1491]



6. Le due torri e la fonte

Due torri alte rispettivamente 90 braccia e 80 braccia distano 100 braccia fra loro.
Fra le due torri si trova una fonte in un luogo tale che se due uccelli uguali partissero contemporaneamente dalle cime delle due torri arriverebbero a bere alla fonte nello stesso istante.
Chiedo, quanto dista la fonte da ciascuna torre?

(si suppone che gli uccelli volino alla stessa velocità)

[Gaspar Nicolas, Prática D'aritmética, 1519]



7. Le torri e i passeri

Due passeri iniziano a volare contemporaneamente e alla stessa velocità dalla cima di due torri distanti 50 piedi e alte rispettivamente 30 piedi e 40 piedi.
Arrivano contemporaneamente al centro di una fonte che si trova fra le due torri.
Quanto dista la fonte da ciascuna torre?

[Leonardo Pisano, Liber Abaci, 1202]

[Admin]

Dalla sezione "Pitagora e il fiore di loto"

1. Il fiore di loto

In un lago si vede un fiore di loto, alto una spanna, che che spunta fuori dell'acqua. Il fiore è la parte più alta di una pianta il cui fusto è fissato in fondo al lago.
Spinto dal vento il fiore avanza fino a quando è completamente sommerso dall'acqua, ad una distanza di 2 cubiti dalla posizione verticale iniziale.
Calcola, o matematico, la profondità dell'acqua.

Note.
1 spanna = 1/2 cubito.

[Baskara II, 1150]



2. La canna piegata

Una canna è piantata verticalmente al centro di un lago quadrato di lato 1 zhang ed emerge di 1 chih al di sopra della superficie.
Se la cima della canna viene tirata fino al margine del lago (punto medio del lato), si trova al livello dell'acqua.
Quanto è lunga la canna?
Quanto è profondo il lago?

Nota: 1 chih = 10 cun , 1 zhang = 10 chih

[Nota storica
La prima versione di questo problema si trova nel libro cinese Chiu Chang Suan Shu, Nove capitoli sulle arti matematiche di autore ignoto, risalente al 300-200 a. C.]

[Admin]

Dalla sezione "Il bambù spezzato"

2. Il bambù spezzato: la versione originale

C'è un bambù alto 1 zhang la cui estremità superiore, essendo spezzata, tocca il terreno ad una distanza di 3 chih dalla base del fusto.
A quale altezza si trova la frattura?

Nota: 1 zhang = 10 chih

3. Il bambù spezzato di Bhaskara

Un bambù alto 32cubiti si è spezzato a causa del vento. La sua estremità superiore tocca il terreno ad una distanza di 16 cubiti dalla base del fusto.
Dimmi, o matematico, a quale altezza si trova la frattura?

[Nota storica.
Questa versione del problema è attribuita all'indiano Bhaskara II, 1150.]


4. L'albero spezzato di Filippo Calandri
C'è un albero alto 50 braccia sulla riva di un fiume largo 30 braccia.
Il caso vuole che l'albero si spezzi in un punto tale che la sua cima tocchi la riva opposta del fiume.
Voglio sapere quante braccia di albero si sono rotte e quanto ne rimane ritto.

[Testo e immagine tratti dall'Aritmetica di Filippo Calandri, 1491]

[Admin]

Dalla sezione "I paradossi del tangram"

2. La casa 1

3. Il triangolo

4. Il vassoio

5. Il ponte (o la lettera E)

6. Il vaso

7. La candela

8. Il rombo

9. La donna

10. Il vassoio

11. La casa 2

12. La coppa

13. Il pesce

14. Il monaco 2

15. La casa 3

16. Il monaco 3


Nota.
Le immagini dalla n. 2 alla n. 16 hanno il seguente copyright: ©1996, G. Sarcone.

[Admin]

Dalla sezione "Gnomon"

3. Dividere un L-tromino in 5 parti uguali
Il L-tromino può essere sezionato in 2, 3, 4 parti uguali? Come?
E' possibile sezionarlo in 5 parti uguali?

[F. Göbel, 1990, The L-shape dissection problem]

5. Gnomon

Io sono Uno che si trasforma in Due
Io sono Due che si trasforma in Quattro
Io sono Quattro che si trasforma in Otto
E alla fine sono sempre Uno

[Antico mito egiziano della creazione]

[Admin]

Dalla sezione "Dissezioni del quadrato"

4. Dividere un quadrato in 7 quadrati uguali

5. Per quali n è possibile dividere un quadrato in n quadrati uguali?

6. Trasformare un rettangolo 5 * 1 in un quadrato, tagliandolo in 5 pezzi

[Admin]

Dalla sezione "Il problema della mitra"

4. Due quadrati in una mitra

Si hanno 2 quadrati. Il lato del secondo è doppio del lato del primo.
Si chiede di dividerli in quattro parti che ricomposte diano una mitra.

[Jackson, Rational Amusement, 1821]



6. Quadrare il rettangolo

E' possibile ritagliare un qualunque rettangolo in un numero finito di pezzi e ricomporli in modo da formare un quadrato che abbia la stessa area del rettangolo?

[Admin]

Dalla sezione "Coprire un disco"

3. Il problema dei 7 dischi

Questa volta il disco di cartone di raggio 1 cm deve essere interamente ricoperto con 7 dischi di raggio 0,5 cm. Esattamente