I problemi irrisolti della "Collezione"

[Admin]

Dalla sezione "Coprire un quadrato"

Tappeti quadrati

Siano dati alcuni tappeti quadrati la somma delle cui aree sia 4.
E possibile coprire con essi un quadrato di area 1?

Tappeti quadrati paralleli

Data una qualunque collezione di tappeti quadrati la cui area totale sia 3, dimostrare che essi possono essere disposti in modo da coprire interamente un quadrato di area 1.
Se i lati dei tappeti sono paralleli agli corrispondenti lati del quadrato allora 3 è il numero minimo possibile.

[Admin]

Dalla sezione "Cerchi in un quadrato"

Cerchi in un triangolo equilatero

Si inscriva una circonferenza in un triangolo equilatero di lato 1 e poi si inscrivano 3 circonferenze in ciascuno dei 3 angoli (tangenti a due lati ed alla precedente circonferenza); quindi si ripeta il procedimento all'infinito (cioè si aggiungano 3 circonferenze sempre più piccole nei 3 angoli).
Calcolare la somma di tutti i cerchi (l'area totale).
Se proprio non volete ripeterlo all'infinito, fatelo almeno per 3 volte!



Cerchi in un cerchio

[Admin]

Dalla sezione "Clessidre, orologi e calendari"

14. L'orologiaio ubriaco

I vecchi, buoni orologi, quelli con le lancette sono sempre più rari. Per questo il mio orologiaio, deluso dagli orologi digitali, beve sempre più spesso.
Un giorno, nel quale era particolarmente bevuto, riuscì a riparare perfettamente il mio orologio ma proprio alla fine commise un errore: scambiò le lancette cioè collocò la lancetta delle ore al posto di quella dei minuti e viceversa.
Quella sera andai a ritirare il mio orologio. L'orologiaio gli diede la corda e lo regolò sull'ora esatta: erano le 18 in punto.
Ritirai, tutto soddisfatto, il mio orologio ma dopo un po' di tempo mi resi conto del disastro.
Ritornai dall'orologiaio per protestare. Egli posò il bicchiere di birra sul banco, prese il mio orologio, lo osservò attentamente e mi disse:
-Hic! Che problema c'é? Hic! Il suo orologio segna l'ora esatta! Hic!
Molto stupito guardai l'orologio. L'orologiaio non si era sbagliato!
Che ora era?

[Admin]

Dalla sezione "L'arrampicata della lumaca"

5. Un serpente entra in un buco

Un potente ed invincibile serpente nero lungo 80 "angulas" entra in un buco alla velocità di 15/2 di "angula" in 5/14 di giorno, mentre in 1 di giorno la sua coda cresce di 11/4 di "angula".
O tu, che onori gli aritmetici, sai dirmi in quanto tempo questo serpente entra interamente nel buco?

[Mahavira]

[Admin]

Dalla sezione "Pesi e bilance"

10. Le 9 palline e la bilancia romana

Abbiamo 9 palline che sembrano identiche.
Però non lo sono: una di esse ha un peso diverso dalle altre. Non sappiamo qual è e neppure se è più pesante o più leggera.
Abbiamo, inoltre, una bilancia romana, che ha un solo piatto e indica in grammi i pesi degli oggetti.
La domanda è: come facciamo per scoprire la pallina diversa con 3 pesate?

14. Nuovo ed interessante problema su: Pesi e bilance

(Inviato al Forum da Alex, 13/06/04 19:28)
Per gli appassionati di problemi su pesi e bilance, ecco un problema impegnativo.

Ho 100 pesi, di cui 50 pesano esattamente 750 grammi mentre gli altri 50 sono di peso ignoto (ma non hanno tutti lo stesso peso).
Come posso trovare, con una bilancia a 2 piatti, ALMENO UNO TRA tutti i pesi che pesano esattamente 750 grammi con il minimo numero di pesate?
Spero di essere stato chiaro; anche perché questo problema a me è piaciuto molto.

Precisazione
Tra gli oggetti che hanno peso differente da 750 grammi 2 (o più) dei 50 potrebbero avere lo stesso peso, ma ve ne sono almeno 2 con peso differente tra loro.
Si potrebbe scrivere cosi: il peso=750 grammi è il peso che capita con maggiore frequenza nell'insieme (ed ha frequenza minima 50%).
Spero che cosi sia più chiaro.

[Admin]

Dalla sezione "Il leopardo la capra ed il kassawi"

9. Attraversare un fiume: una possibile generalizzazione

Non poteva mancare un'indagine sul problema generale dell'attraversamento di un fiume. Non si sa mai: un giorno potremmo trovarci in 5000 ed è bene arrivare preparati.
Dunque, abbiamo:
- n coppie;
- una barca a x posti;
Possiamo farcela?
In quanti passaggi?

[Lucas, L'Arithmétique Amusante, 1895]

10. Traghettare il tesoro

Dudeney, nel 1898, ha cambiato il tema.
Abbiamo 3 uomini e 3 sacchi di monete d'oro.
La barca può trasportare due uomini oppure un uomo e un sacco.
La fiducia è scarsa nel gruppo e nessun uomo può essere lasciato da solo con più di un sacco altrimenti se la svigna con il bottino. (13 passaggi?)

[Dudeney, 1898, semplificato]

12. E se le donne non sanno remare?

Siamo nel 1914 e i mariti gelosi hanno delle mogli che non sanno remare.
Per il resto il problema è simile al numero 3. (17 passaggi?)

[Loyd, Cyclopedia, 1914]

13. Tre missionari e tre cannibali

Tre missionari e tre cannibali devono attraversare un fiume con una barca che può trasportare al massimo 3 persone.
Naturalmente i missionari non devono mai trovarsi in minoranza rispetto ai cannibali. Altrimenti questi se li mangiano!

[Abraham, 1933]

14. Quando il peso è importante

Un padre, una madre, i loro due figli ed il cane devono attraversare un fiume su una barca che può trasportare al massimo un carico di 160 kg.
Il genitori assieme pesano 160 kg.
I due figli assieme pesano 80 kg.
Il cane pesa 12 kg.
Come si organizzano?

[Nathan Altshiller, 1961]

[Admin]

Dalla sezione "Logica e dintorni"

3. Conoscenti o sconosciuti?

Dimostrare che in ogni gruppo di almeno 6 persone, ci sono almeno 3 persone che si conoscono fra di loro oppure almeno 3 persone che non si conoscono fra di loro.

[Admin]

Dalla sezione "I regoli di Golomb"

4. Sei punti su una circonferenza

Come si possono disporre 6 punti su una circonferenza in modo da poter misurare tutti gli angoli multipli di 18° ovvero tutti gli archi multipli di 1/20 di circonferenza?

[Dudeney, 1921]

[Admin]

Dalla sezione "Bianco e nero"

4. Il rovescio della medaglia

Abbiamo 6 monete. Ciascuna di esse ha due facce: testa (T) e croce (C).
Inizialmente le monete sono disposte così:

CTCTCT

In due mosse dobbiamo ottenere la configurazione:

CCCTTT

Esiste una unica regola per muovere le pedine: è possibile muovere 2 monete alla volta estraendole da un qualunque punto della sequenza e "attaccandole" a uno degli estremi liberi.
Le due monete sono una coppia ordinata, non è permesso scambiare l'ordine.
Durante il gioco la sequenza può risultare divisa in più sottosequenze separate.

[Admin]

Dalla sezione "Il principio dei cassetti"

7. Somme uguali

Sia dato un insieme A di 10 numeri interi compresi fra 1 e 100.
All'interno di A si possono trovare due sottoinsiemi non vuoti S, T tali che la somma degli elementi di S è uguale alla somma degli elementi di T.
L'unione di S e T non deve necessariamente essere uguale ad A.

8. Somma multipla

Dati 1000 interi, ne esistono almeno 2 la cui somma o la cui differenza è uguale ad un multiplo di 1997.

9. Somma multipla di 5
In un qualunque gruppo di 17 numeri naturali se ne trovano 5 la cui somma è divisibile per 5.

10. Somma divisibile per 5

Siano dati 5 numeri naturali a1, ... , a5 nessuno dei quali sia divisibile per 5.
Dimostrate che la somma di alcuni di essi (da 2 a 5) è divisibile per 5.

11. Somma divisibile per n

Siano dati n numeri naturali a1, ... , an.
Dimostrate che o uno di essi è divisibile per n o la somma di alcuni di essi (da 2 a n) è divisibile per n.

12. Differenza divisibile per 11

In un qualunque gruppo di 12 numeri naturali se ne trovano 2 la cui differenza è divisibile per 11.

13. Differenza di potenze multipla

Esistono due potenze di 3 la cui differenza è divisibile per 1997?

14. Cifre terminali

Esiste una potenza di 3 che termina per 001?

15. Potenza multipla

Esistono due potenze di 2 la cui differenza è divisibile per 2001?

16. Sette dischi coprono un disco

Un disco di raggio 1 può essere completamente coperto con 7 dischi più piccoli, identici fra loro. I dischi possono sovrapporsi parzialmente.
Qual è il raggio minimo che devono avere i dischi piccoli?

18. Alberi e distanze

Si ha un campo di 100 m di lato e si vuole piantare il massimo numero di alberi in modo che la distanza fra qualunque coppia sia almeno 10 m. Quanti alberi si dovranno piantare?
Si trascuri lo spessore dei tronchi.

19. Rettangolo con vertici dello stesso colore

Supponiamo che ciascun punto di un piano sia colorato di rosso o di blu.
I colori sono assegnati a caso, senza alcuna regolarità.
Dimostrare che esiste qualche rettangolo che ha tutti i vertici dello stesso colore.

20. Vertici di un triangolo isoscele

Supponiamo che ciascun punto di una circonferenza sia colorato di rosso o di blu.
I colori sono assegnati a caso, senza alcuna regolarità.
Dimostrare che esistono 3 tre punti dello stesso colore che sono i vertici di un triangolo isoscele.

21. Punto medio in una griglia

Si scelgano 5 punti a caso sui nodi di una griglia a quadretti.
Esiste almeno un segmento che congiunge due punti tale che il suo punto medio si trova su un nodo della griglia.

22. 51 punti in un quadrato

Si scelgano casualmente 51 punti all'interno di un quadrato di lato 1.
Dimostrare che in ogni caso 3 di questi punti possono essere coperti da un cerchio di raggio 1/7.

23. Angolo minore di 26°

Tracciamo a caso 7 linee rette nel piano in modo che non ci siano rette parallele.
Esistono 2 linee che formano un angolo minore di 26°?

24. Grafo di 9 vertici

Un grafo è costituito da vertici e lati. I vertici sono generalmente rappresentati con piccoli cerchi e i lati con linee che congiungono due vertici.
Il grado di un vertice è il numero di lati che partono (o terminano) da quel vertice.
Considerate un grafo che ha 9 vertici e in cui ogni vertice ha grado 5 oppure 6.
Dimostrate che almeno 5 vertici hanno grado 6 oppure almeno 6 vertici hanno grado 5.

25. Utilizzo del computer

Un computer è stato utilizzato per 99 ore in un periodo di 12 giorni.
Dimostrare che esiste almeno una coppia di giorni consecutivi in cui il computer è stato utilizzato almeno 17 ore.

26. Un milione di alberi

In una foresta ci sono un milione di alberi.
Ciascun albero ha non più di 600000 foglie.
Si dimostri che in ogni istante ci sono due alberi nella foresta che hanno lo stesso numero di foglie.

27. Scatole numerate

Ci sono 10 scatole numerate da 1 a 10 nelle quali metteremo delle monete da 1 euro.
Quante monete sono necessarie per essere sicuri almeno una scatola contenga almeno tante monete quanto è il suo numero?

28. Nove persone sedute in fila

Se 9 persone si siedono in una fila di 12 sedie, allora almeno 3 sedie consecutive sono occupate.

29. Almeno un'aspirina al giorno

Una persona prende almeno una aspirina al giorno per 30 giorni.
Se prende in tutto 45 aspirine, allora esiste almeno una sequenza di giorni consecutivi in cui ha preso esattamente 14 aspirine.

30. Matite colorate

Una scatola contiene 10 matite rosse, 8 blu, 8 verdi, 4 gialle.
Quante matite dovremo prendere, ad occhi chiusi, per essere sicuri di avere 4 matite dello stesso colore?

31. Somma di età

La somma delle età di un gruppo 33 persone è di 430 anni. E' vero che si può trovare un sottogruppo di 20 persone la cui somma delle età è più di 260 anni?

32. Cinquecento cassette di mele

Ci sono 500 cassette di mele. Ciascuna cassetta contiene più di x mele.
Si trovi il minimo valore di x tale che si possa essere sicuri che esistano 3 cassette con lo stesso numero di mele.

[Admin]

Dalla sezione "I cassetti di zio Erdos"

1. Cinque punti sul piano

Dati 5 punti qualunque su un piano tali che non ve ne siano tre allineati, dimostrare che quattro di essi formeranno sempre un quadrilatero convesso.

[Esther Klein, 1932]

2. Nove punti sul piano
Dati 9 punti qualunque su un piano tali che non ve ne siano tre allineati, dimostrare che cinque di essi formeranno sempre un pentagono convesso.

[Endre Makai, c. 1932 (?)]

3. Diciassette punti sul piano

Dati 17 punti qualunque su un piano tali che non ve ne siano tre allineati, dimostrare che sei di essi formeranno sempre un esagono convesso.


4. Il problema del lieto fine

Dati 2^(n-2) +1 punti qualunque su un piano tali che non ve ne siano tre allineati, dimostrare che n di essi formeranno sempre un n-agono convesso.

[P. Erdös & G. Szekeres, c. 1932 (?)]

[Admin]

Dalla sezione "Un triangolo forse"

2. Probabilità che sia un triangolo

Dividiamo un segmento in due parti a caso.
Poi dividiamo la parte più lunga in due parti a caso.
Qual è la probabilità che le tre parti formino un triangolo?

[Joe Whittaker, 1990]

3. Spaghetti e triangoli

Prendiamo uno spaghetto e dividiamolo in tre parti a caso.
Qual è la probabilità che le tre parti formino un triangolo?

[Joe Whittaker, 1990]

4. Perché i professori (e le professoresse) disegnano sempre triangoli acutangoli?

Ovvero:
Scelti 3 punti VERAMENTE A CASO (!?) sulla lavagna, qual è la probabilità che siano i vertici di un triangolo ottusangolo?

Nota: supponiamo che il braccio della professoressa sia lungo un po' più di k e che ella disegni i triangoli entro un cerchio di raggio k.

[C. O. Tuckey, 1939, generalizzato alle n-dimensioni da Eisenberg e Sullivan 1996]

[Admin]

Dalla sezione "Il paradosso di Bertrand"

Il paradosso di Bertrand

Si tracci una corda a caso in un cerchio: qual e' la probabilità che essa sia più lunga del lato del triangolo equilatero inscritto?

(problema, di cui non è ancora stata pubblicata la risoluzione, proposto da Rocco Lupoi nel sito S.I.G. Giochi del Mensa Italia ).

L'enunciato del problema è ambiguo; non si può dare una risposta precisa se non viene espresso il significato di "tracciare una corda a caso", descrivendo il procedimento da seguire.

Infatti so che in base a determinati procedimenti nel tracciare la corda a caso, risultano ugualmente accettabili ben tre risposte distinte:

1)1/2

2)1/3

3)1/4



Prima risoluzione.

Tracciamo il diametro orizzontale e le corde perpendicolari a tale diametro, che passeranno per un punto che varia uniformemente lungo il diametro. Chiamo A il punto medio della base del triangolo equilatero inscritto (A giace,quindi, sul diametro) e B il punto del diametro, opposto ad A, che è la metà del raggio. Solamente quelle corde che tagliano il diametro fra A e B saranno più lunghe del lato del triangolo. Poiché il segmento AB è metà del diametro , la probabilità richiesta è 1/2.

Seconda risoluzione.

Chiamiamo A un punto della circonferenza (coincidente con un vertice del triangolo inscritto) e tracciamo una tangente al cerchio in A; l'altra estremità della corda varierà uniformemente sulla circonferenza generando una serie infinita di corde; solamente quelle corde che attraversano il triangolo sono più lunghe del lato del triangolo.
Poiché l'angolo del triangolo in A è di 60° e dato che le possibili corde giacciono tutte entro un campo di 180°, la probabilità di tracciare una corda più lunga del lato deve essere 60/180, cioè 1/3.

Terza risoluzione.

Nel triangolo equilatero inscritto, inscrivo un cerchio ; solamente le corde i cui centri giacciono entro il cerchio "più piccolo" sono più lunghe del lato del triangolo; poiché l'area del cerchio piccolo è proprio ¼ del cerchio grande, la probabilità richiesta è 1/4.

Insomma, i problemi inerenti alla "casualità" sono facilmente ambigui......

[Admin]

Dalla sezione "Aritmetica russa"

Ordine delle cifre e divisibilità

Il numero naturale k ha la seguente proprietà: "Se n è divisibile per k allora il numero ottenuto da n invertendo l'ordine delle sue cifre è ancora divisibile per k".
Dimostrare che k è un divisore di 99.
(1° Tblisi 1967)

Sostituire le coppie

Molti "zero", "uno" e "due" sono scritti sulla lavagna.
Un anonimo cancella diverse coppie di numeri scrivendo al loro posto il numero diverso da entrambi i numeri cancellati. (ad es. 0, al posto della coppia {1,2}; 1 al posto di {0,2}; 2 al posto di {0,1}).
Dimostrare che se alla fine rimane un solo numero, questo non dipende dall'ordine con cui sono state cancellate le coppie
(Saratov, 1975)

Righe di 1000 numeri

Una riga di 1000 numeri è scritta alla lavagna.
Scriviamo una seconda riga di numeri sotto la prima, secondo la seguente regola: sotto ogni numero x scriviamo il numero naturale che indica quante volte x si trova nella prima linea.
Poi scriviamo una terza riga di numeri sotto la seconda, seguendo la stessa regola: sotto ogni numero y scriviamo il numero naturale che indica quante volte y si trova nella seconda linea.
E così via.
a) Dimostrare che c'è una riga uguale alla precedente.
b) Dimostrare che l'undicesima riga coincide con la dodicesima
c) Fornire un esempio di prima riga tale che la decima riga sia differente dalla undicesima riga.
(Dushanbe, 1976)

Numeri buoni

Chiamiamo "buono" un numero di 2n cifre se è un quadrato perfetto e i numeri formati dalle sue prime n cifre e dalle sue ultime n cifre sono anche quadrati perfetti.
a) Trovare tutti i numeri "buoni" di 2 e di 4 cifre.
b) Esiste un numero "buono" di 6 cifre?
c) Dimostrare che esiste un numero "buono" di 20 cifre.
d) Dimostrare che esistono almeno 10 numeri "buoni" di 100 cifre.
e) Dimostrare che esistono numeri "buoni" di 30 cifre.
Prove that there exists 30-digit fine number.
(Tallinn, 1977)

Funzioni di funzioni

Sia f(x) = x2 + x + 1.
Dimostrare che per ogni numero naturale m>1 i numeri m, f(m), f(f(m)), ... sono primi fra loro.
(Tashkent, 1978)

Tre automi giocano a carte

Ci sono 3 automi che elaborano carte contenenti coppie di numeri.
Il primo automa ricevendo la carta (a,b) produce la carta (a+1, b+1).
Il secondo automa ricevendo la carta (a,b) produce la carta (a/2, b/2) se a, b sono numeri pari e nulla in caso contrario.
Il terzo automa ricevendo la coppia di carte (a,b), (c,d) produce la carta (a,c).
Tutti gli automi, oltre alla carta prodotta, restituiscono anche la carta ricevuta.
Supponiamo di avere la carta (5,19) inizialmente.
E' possibile ottenere:
a) (1,50)?
b) (1,100)?
c) Supponiamo di avere inizialmente la carta (a,b) con a<b. Vogliamo ottenere la carta (1,n). Per quali n ciò è possibile?
(Tashkent, 1978)

Potenza di 2

Tutti i numeri di 5 cifre, da 11111 a 99999 sono scritti su delle carte.
Queste carte sono allineate in un ordine arbitrario.
Dimostrare che il numero risultante, formato da 444445 cifre, non è una potenza di 2
(Simferopol, 1970)

[Admin]

Dalla sezione "Il gioco dei 4 numeri"

Il gioco dei 4 numeri:

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