Dalla sezione "Cerchi in un quadrato"
Cerchi in un triangolo equilatero
Si inscriva una circonferenza in un triangolo equilatero di lato 1 e poi si inscrivano 3 circonferenze in ciascuno dei 3 angoli (tangenti a due lati ed alla precedente circonferenza); quindi si ripeta il procedimento all'infinito (cioè si aggiungano 3 circonferenze sempre più piccole nei 3 angoli).
Calcolare la somma di tutti i cerchi (l'area totale).
Se proprio non volete ripeterlo all'infinito, fatelo almeno per 3 volte!
![Immagine](http://www.base5images.altervista.org/_altervista_ht/Triangoloconcerchi.gif)
Nel caso del triangolo vediamo che:
1. Il primo cerchio (principale) ha raggio (r0) pari a 1/3 dell'altezza del triangolo (h)
2. il cerchio principale delimita tre triangoli equilateri (tangente perpendicolare all'altezza) con altezza 1/3 di h
3. i cerchi inscritti in questi triangoli hanno raggio 1/3 di r0
4. ogni nuova serie di cerchi ha raggio 1/3 della precedente
$h = \frac{\sqrt{3}}{2}$ ; $r_0 = \frac{\sqrt{3}}{6}$ ; $A_0 = \pi {r_0}^2 = \frac{\pi}{12}$
=== questa parte è stata corretta ===
$r_n = \frac{r_{n-1}}{3} = \frac{r_0}{3^n}$ ; $A_n = \pi {r_n}^2 = \frac{\pi}{12} \/ \frac{1}{9^n}$
$A_{cerchi} = A_0 + 3\sum_{n=1}^{\infty}A_n = \frac{\pi}{12}+\frac{\pi}{4} \sum_{n=1}^{\infty} (\frac{1}{9})^n = \frac{\pi}{12}+\frac{\pi}{4}(\frac{1}{1-\frac{1}{9}}-1) = \frac{11\pi}{96} \approx 0.359974$
$A_{cerchi} = 0.831 A_{triangolo}$
=== fine parte corretta ===
![Immagine](http://www.base5images.altervista.org/_altervista_ht/Quadratoconcerchi.gif)
Ragionamento analogo ma meno immediato per il quadrato:
1. il cerchio principale, che ha raggio $r_0 = \frac{1}{2}$, delimita 4 triangoli isosceli altezza di $h_1=(\sqrt{2}-1)r_0$
2. i cerchi inscritti in questi triangolo ha raggio $r_1=(\sqrt{2}-1)h_1$
3. ogni nuova serie di cerchi ha raggio $(\sqrt{2}-1)^2$ volte più piccolo della precedente
$r_0 = \frac{1}{2}$ ; $A_0 = \pi {r_0}^2 = \frac{\pi}{4}$
$r_n = (\sqrt{2}-1)^2r_{n-1} = (\sqrt{2}-1)^{2n}r_0$ ; $A_n = \pi {r_n}^2 = \pi{r_0}^2(\sqrt{2}-1)^{4n}$
$A_{cerchi} = A_0 + 4\sum_{n=1}^{\infty}A_n = \frac{\pi}{4}+\pi\sum_{n=1}^{\infty}(\sqrt{2}-1)^{4n} = \frac{\pi}{4}+\pi(\frac{1}{1-(\sqrt{2}-1)^4}-1) =\pi\frac{3\sqrt{2}-2}{8} \approx 0.880683$
$A_{cerchi} = 0.881 A_{quadrato}$
![Immagine](http://utenti.quipo.it/base5/geopiana/cerchiquad2.gif)
Per quanto riguarda il cerchio, i numeri in figura rappresentano il rapporto tra il raggio del cerchio principale e quello del cerchio che contiene il numero, non vi resta che contarli
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SE&O
[Quelo]
P.S. Ho visto adesso che il quadrato era già stato fatto, diversamente da come ho fatto io ma con lo stesso risultato.
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