"Esercizi sul principio dei cassetti" - N.25 Utilizzo del computer

Messaggio da **Admin** » gio set 06, 2007 3:54 pm

Dalla sezione "Esercizi sul principio dei cassetti"

25. Utilizzo del computer

Un computer è stato utilizzato per 99 ore in un periodo di 12 giorni.
Dimostrare che esiste almeno una coppia di giorni consecutivi in cui il computer è stato utilizzato almeno 17 ore.

Indichiamo i giorni, nell'ordine, con $g_{\small 1}$ , $g_{\small 2}$ , $g_3$ , ..., $g_{12}$ ;
ora consideriamo le 6 coppie consecutive
$\{g_{\small 1},g_{\small 2}\}\/,\/\{g_3, g_4\}\/,\/\{g_5, g_6\}\/,\/\{g_7, g_8\}\/,\/\{g_9, g_{10}\}\/,\/\{g_{11}, g_{12}\}.$

Affinchè non esista alcuna coppia di giorni consecutivi in cui il computer è stato utilizzato per almeno 17 ore,
c'è bisogno che il numero di ore di utilizzo del computer per ciascuna delle 6 coppie considerate, sia inferiore a 17.

A questo punto, si nota immediatamente, che, anche se il computer viene utilizzato per 16 ore nelle coppie di giorni consecutivi considerate, si ha un totale di $16\cdot6\/=\/96$ ore complessive di utilizzo del computer;
quindi per arrivare all 99 ore, il computer deve essere utilizzato per altre 3 ore, e quindi dobbiamo aggiungere 1 o più ore di utilizzo ad una o più, delle 6 coppie considerate;
per cui, possiamo concludere che si avrà sempre una coppia di giorni consecutivi in cui il computer viene utilizzato per almeno 17 giorni.

SE&O

Ciao
Admin

giobimbo · Messaggio da **giobimbo** » ven set 07, 2007 5:34 pm

Però le coppie consecutive dovrebbero essere 11:

$\{g_{\small 1},g_{\small 2}\}\/,\/\{g_2, g_3\}\/,\/\....\/,\/\{g_{10}, g_{11}\}\/,\/\{g_{11}, g_{12}\}.$

delfo52 · Messaggio da **delfo52** » ven set 07, 2007 7:46 pm

però le coppie prese in esame da Pietro "ci sono" e anche solo ragionando su quelle, il quesito si risolve

giobimbo · Messaggio da **giobimbo** » dom set 09, 2007 10:54 am

Ma se il computer è stato utilizzato 16 ore nei giorni dispari e mezzora nei giorni pari, quali sono i due giorni consecutivi in cui ha raggiunto le 17 ore di utilizzo? O qualcosa mi sfugge?

delfo52 · Messaggio da **delfo52** » dom set 09, 2007 11:05 am

credo si debba intendere che l'utilizzo del computer è "discreto" per quantità minime di 1 ora.
E' questo lo spirito del principio dei cassetti o dei "buchi della piccionaia".
Ammetto che dopo un poco, perdono smalto, ma...piacevano tanto a Erdos !

franco · Messaggio da **franco** » dom set 09, 2007 10:27 pm

Del resto, se si potesse pensare di "spezzare" le ore, basterebbe dire che il computer è usato 8 ore e un quarto al giorno per essere al di sotto delle 17 in una coppia di giorni (anche non consecutuvi!).

Pasquale · Messaggio da **Pasquale** » ven nov 09, 2007 1:20 am

Situazione limite che evitano la presenza di 17 ore in due giorni consecutivi:

16-0-16-0-16-0-16-0-16-0-16-0
15-1-15-1-15-1-15-1-15-1-15-1
14-2-14-2-14-2-14-2-14-2-14-2
13-3-13-3-13-3-13-3-13-3-13-3
.
.
.
.
0-16-0-16-0-16-0-16-0-16-0-16

in tutti i casi il totale delle ore lavorate in due giorni consecutivi è 96<99 ed è sufficiente l'aggiunta di una sola ora in un giorno qualsiasi, per ottenere le nostre 17 ore (per cui il minimo di ore totali per ottenere tale situazione ammonta a 97 ore, mi pare).