"Esercizi sul principio dei cassetti" - N.10 Somma divisibile per 5

Messaggio da **Admin** » ven ago 10, 2007 12:28 pm

Admin ha scritto:Dalla sezione "il principio dei cassetti"

10. Somma divisibile per 5

Siano dati 5 numeri naturali a1, ... , a5 nessuno dei quali sia divisibile per 5.
Dimostrate che la somma di alcuni di essi (da 2 a 5) è divisibile per 5.

Essendo i numeri $a_{\small{1}}$ ,..., $a_{\small{5}}$ non divisibili per 5, significa che non appartengono alla classe di resto modulo 5, $C_5(0)$ .
Si nota che la somma di 2 numeri naturali è divisibile per 5, se essi appartengono entrambi alla classe $C_5(0)$ , oppure appartengono rispettivamente alle classi $C_5(1)$ , $C_5(4)$ , oppure alle classi $C_5(2)$ , $C_5(3)$ .

ora, affinchè nell'insieme dei 5 numeri, non vi siano sottinsiemi di numeri la cui somma sia divisibile per 5, condizione necessaria è che la somma di 2 dei 5 numeri non sia divisibile per 5;
per quanto detto sopra, quindi, i 5 numeri $a_{\small{1}}$ ,..., $a_{\small{5}}$ possono appartenere solo ad una classe della coppia $\{C_5(1),C_5(4)\}$ , o ad una classe della coppia $\{C_5(2),C_5(3)\}$ .
I casi possibili sono:

$a_{\small{1}}$ ,..., $a_{\small{5}}$ appartenenti a $\{C_5(1),C_5(2)\}$ :
in questo caso, se i 5 numeri appartengono ad un'unica classe, chiaramente la loro somma è divisibile per 5;
se, invece, 4 o 3 numeri appartengono a $C_5(1)$ (quindi i rimanenti appartengono a $C_5(2)$ ) si ha che
$a_1\/+\/a_2\/+\/a_3\/+\/a_5\/\equiv\/1+1+1+2\/\pmod 5\/\equiv\/0\/\pmod 5$ ossia esiste un sottinsieme la cui somma è divisibile per 5;
se, invece, 4 o 3 numeri appartengono a $C_5(2)$ si ha che
$a_1\/+\/a_4\/+\/a_5\/\equiv\/1+2+2\/\pmod 5\/\equiv\/0\/\pmod 5$ ossia esiste un sottinsieme la cui somma è divisibile per 5;
$a_{\small{1}}$ ,..., $a_{\small{5}}$ appartenenti a $\{C_5(1),C_5(3)\}$ :
se i 5 numeri appartengono ad un'unica classe, chiaramente la loro somma è divisibile per 5;
se, invece, 4,3 o 2 numeri appartengono a $C_5(1)$ (quindi i rimanenti appartengono a $C_5(3)$ ) si ha che
$a_1\/+\/a_2\/+\/a_5\/\equiv\/1+1+3\/\pmod 5\/\equiv\/0\/\pmod 5$ ossia esiste un sottinsieme la cui somma è divisibile per 5;
se, invece, 1 solo numero appartiene a $C_5(1)$ si ha che
$a_1\/+\/a_3\/+\/a_4\/+\/a_5\/\equiv\/1+3+3+3\/\pmod 5\/\equiv\/0\/\pmod 5$ ossia esiste un sottinsieme la cui somma è divisibile per 5;
$a_{\small{1}}$ ,..., $a_{\small{5}}$ appartenenti a $\{C_5(2),C_5(4)\}$ :
se i 5 numeri appartengono ad un'unica classe, chiaramente la loro somma è divisibile per 5;
se, invece, 4 o 3 numeri appartengono a $C_5(2)$ (quindi i rimanenti appartengono a $C_5(4)$ ) si ha che
$a_1\/+\/a_2\/+\/a_3\/+\/a_5\/\equiv\/2+2+2+4\/\pmod 5\/\equiv\/0\/\pmod 5$ ossia esiste un sottinsieme la cui somma è divisibile per 5;
se, invece, 4 o 3 numeri appartengono a $C_5(2)$ si ha che
$a_1\/+\/a_4\/+\/a_5\/\equiv\/2+4+4\/\pmod 5\/\equiv\/0\/\pmod 5$ ossia esiste un sottinsieme la cui somma è divisibile per 5;
$a_{\small{1}}$ ,..., $a_{\small{5}}$ appartenenti a $\{C_5(3),C_5(4)\}$ :
se i 5 numeri appartengono ad un'unica classe, chiaramente la loro somma è divisibile per 5;
se, invece, 4,3 o 2 numeri appartengono a $C_5(3)$ (quindi i rimanenti appartengono a $C_5(4)$ ) si ha che
$a_1\/+\/a_2\/+\/a_5\/\equiv\/3+3+4\/\pmod 5\/\equiv\/0\/\pmod 5$ ossia esiste un sottinsieme la cui somma è divisibile per 5;
se, invece, 1 solo numero appartiene a $C_5(3)$ si ha che
$a_1\/+\/a_3\/+\/a_4\/+\/a_5\/\equiv\/3+4+4+4\/\pmod 5\/\equiv\/0\/\pmod 5$ ossia esiste un sottinsieme la cui somma è divisibile per 5;

Quindi comunque si scelga un insieme di 5 numeri naturali, vi sarà sempre un sottinsieme di numeri la cui somma è divisibile per 5.

SE&O

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