Essendo i numeriAdmin ha scritto:Dalla sezione "il principio dei cassetti"
10. Somma divisibile per 5
Siano dati 5 numeri naturali a1, ... , a5 nessuno dei quali sia divisibile per 5.
Dimostrate che la somma di alcuni di essi (da 2 a 5) è divisibile per 5.
Si nota che la somma di 2 numeri naturali è divisibile per 5, se essi appartengono entrambi alla classe
ora, affinchè nell'insieme dei 5 numeri, non vi siano sottinsiemi di numeri la cui somma sia divisibile per 5, condizione necessaria è che la somma di 2 dei 5 numeri non sia divisibile per 5;
per quanto detto sopra, quindi, i 5 numeri
I casi possibili sono:
,...,
appartenenti a
:
in questo caso, se i 5 numeri appartengono ad un'unica classe, chiaramente la loro somma è divisibile per 5;
se, invece, 4 o 3 numeri appartengono a(quindi i rimanenti appartengono a
) si ha che
ossia esiste un sottinsieme la cui somma è divisibile per 5;
se, invece, 4 o 3 numeri appartengono asi ha che
ossia esiste un sottinsieme la cui somma è divisibile per 5;
,...,
appartenenti a
:
se i 5 numeri appartengono ad un'unica classe, chiaramente la loro somma è divisibile per 5;
se, invece, 4,3 o 2 numeri appartengono a(quindi i rimanenti appartengono a
) si ha che
ossia esiste un sottinsieme la cui somma è divisibile per 5;
se, invece, 1 solo numero appartiene asi ha che
ossia esiste un sottinsieme la cui somma è divisibile per 5;
,...,
appartenenti a
:
se i 5 numeri appartengono ad un'unica classe, chiaramente la loro somma è divisibile per 5;
se, invece, 4 o 3 numeri appartengono a(quindi i rimanenti appartengono a
) si ha che
ossia esiste un sottinsieme la cui somma è divisibile per 5;
se, invece, 4 o 3 numeri appartengono asi ha che
ossia esiste un sottinsieme la cui somma è divisibile per 5;
,...,
appartenenti a
:
se i 5 numeri appartengono ad un'unica classe, chiaramente la loro somma è divisibile per 5;
se, invece, 4,3 o 2 numeri appartengono a(quindi i rimanenti appartengono a
) si ha che
ossia esiste un sottinsieme la cui somma è divisibile per 5;
se, invece, 1 solo numero appartiene asi ha che
ossia esiste un sottinsieme la cui somma è divisibile per 5;
SE&O
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