"Esercizi sul principio dei cassetti" - N.9 Somma multipla di 5

[Admin]

9. Somma multipla di 5
In un qualunque gruppo di 17 numeri naturali se ne trovano 5 la cui somma è divisibile per 5.

Dividiamo i naturali secondo le classi di resto modulo 5;
abbiamo:



Ora, affinchè nel nostro gruppo di naturali non ve ne siano 5 la cui somma sia divisibile per 5, non possiamo sceglierne più di 4 per ogni classe di resto;
questo perchè comunque prendiamo 5 numeri di una stessa classe di resto, la loro somma è divisibile per 5; infatti se abbiamo:



si ha che:



Per cui, scegliendo 4 numeri per ognuna delle classi di resto , , , , riusciamo ad arrivare a 16 interi naturali;
a questo punto, scegliendo il 17° naturale in una delle classi , , , , si ha una classe con 5 numeri, la cui somma quindi è divisibile per 5;
scegliendo invece il 17° naturale nella classe , si ottengono ugualmente 5 numeri la cui somma è divisibile per 5; infatti ad es., avremmo:



per cui,



SE&O

Admin

[gnugnu]

La dimostrazione è ineccepibile.
17 è, però, una quantità decisamente grande. Per essere certi che esista un sottoinsiema di 5 numeri aventi somma multipla di 5 bastano un gruppo di "candidati" più piccolo di quello proposto.

[Gianfranco]

gnugnu, hai ragione, quasi certamente il limite di 17 numeri è troppo largo.
Qual è il limite minimo?
Questo è un altro problema, perciò l'ho riportato nel Forum generale.