"Esercizi sul principio dei cassetti" - N.15 Potenza multipla

[Admin]

Dalla sezione "Il principio dei cassetti"

15. Potenza multipla

Esistono due potenze di 2 la cui differenza è divisibile per 2001?

No.
Infatti se consideriamo due potenze generiche di 2, ossia $2^n$ e $2^m$, con $n>m$, la loro differenza ci è data da una somma di potenze di 2; ossia:

$2^n-2^m=2^m+2^{m+1}+\cdot\cdot\cdot +2^{n-1}$

Essendo la somma di potenze di 2 chiaramente pari, essa non può essere divisibile per 2001.

Ad es.:

$2^5\hspace{60px}=\quad\quad 100000\quad-$
$2^2\hspace{60px}=\quad\quad \;\;\;\;100\quad=$
--------------------------------------------
$2^2+2^3+2^4=\quad\quad \;\;11100$

Admin

[Alan]

Dalla sezione "Il principio dei cassetti"

15. Potenza multipla

Esistono due potenze di 2 la cui differenza è divisibile per 2001?

No.
Infatti se consideriamo due potenze generiche di 2, ossia $2^n$ e $2^m$, con $n>m$, la loro differenza ci è data da una somma di potenze di 2; ossia:

$2^n-2^m=2^m+2^{m+1}+\cdot\cdot\cdot +2^{n-1}$

Essendo la somma di potenze di 2 chiaramente pari, essa non può essere divisibile per 2001.

C'è qualcosa che non va...
Innanzitutto, $2^0$ è una potenza di 2, quindi la differenza di potenze di 2 può essere anche dispari (p.es. $2^4-2^0=15$).

Poi non mi è chiaro perchè un numero pari non possa essere divisibile per 2001. Per esempio $2^5-2^2=28$ e 28 è divisibile per 7 che è dispari...

Ho idea ci sia ancora del lavoro da fare...


Alan

[Br1]

Penso che Pietro volesse dire questo:

-$\hspace{10}$ se $\small \/2^n\/-\/2^{m}\/$ fosse pari, certamente non potrebbe
essere uguale a $\small \/2001$, poiché quest'ultimo è dispari.

D'altra parte, se fosse $\small \/2^n\/-\/1\/= \/2001$, ancora una
volta l'uguaglianza non funzionerebbe, dal momento
che $\small \/2001\/=\/2\cdot 11 \cdot 91\/-\/1$. In alternativa, notiamo pure
che, se valesse $\small \/2^n\/-\/1\/= \/2001$, $\small \/2^n\/-\/1\/$ dovrebbe
essere divisibile per $\small \small \/3$, ciò che accade solo quando $\small \/n$
è pari, in quanto: $\small \/2^n\/-\/1\/= \/(3-1)^n\/-\/1\/=\/3p\/+\/(-1)^n\/-\/1$.
Allora dovremmo avere: $\small \/4^h\/-\/1\/= \/2001$, e tuttavia
vediamo subito che $\small \/2002\/$ non può essere divisibile per
$\small 4$, non essendolo (in questo caso specifico) la sua cifra
terminale.

[Admin]

Essendo la somma di potenze di 2 chiaramente pari, essa non può essere divisibile per 2001

In effetti è una castroneria doppia;
chiedo scusa, ma in questo periodo mi distraggo facilmente;
sarà il caldo, sarà lo stress...

...conto di rifarmi nel pomeriggio...

Ciao
Admin

[Admin]

... la vedo dura ...

[Br1]

(...) ma in questo periodo mi distraggo facilmente;
sarà il caldo, sarà lo stress...

Pietro, te l'ho già scritto: sei in buona compagnia!

Pensa che ho appena riletto il mio post precedente
e devo ancora capire a chi (o a che cosa) ho risposto
Sembro quasi in dormiveglia

Hmm... vediamo di recuperare un po' le cose.

Esistono due potenze di 2 la cui differenza è divisibile per 2001?

La mia risposta è sì.

Il problema si può ridurre a cercare una potenza
di $\/2\/$ che venga subito dopo un multiplo di $\/2001\/$.

Scomponiamo $\/2001\/$ in fattori primi:

$2001\/=\/3\cdot23\cdot29$.

Per il Piccolo Teorema di Fermat (anche se in realtà
è grandioso!), abbiamo immediatamente:

$2^{\script 22}\/\eq\/1\; \pmod {23} \\ 2^{\script 28}\/\eq\/1\; \pmod {\/29}\/.$

Il minimo comune multiplo di $\/22\/$ e $\/28\/$ è $\/308\/$,
quindi possiamo scrivere:

$2^{\script 308}\/\eq\/1\; \pmod {\/23\cdot 29}$

grazie a una nota proprietà delle congruenze, visto
che $\/(23,\/29)\/=\/1$.

D'altra parte, poiché $\/308\/$ è pari, sappiamo pure che:

$2^{\script 308}\/\eq\/1\; \pmod {\/3}$

e, di conseguenza, per la stessa proprietà di cui
dicevo prima, essendo $\/(23\cdot 29,\/3)\/=\/1$:

$2^{\script 308}\/\eq\/1\; \pmod {\/3\cdot 23\cdot 29}$.

Dunque:

$2^{\script n+308}\/-\/2^{\script n}\/\eq\/0\; \pmod {\/2001}$, $\;$ $\forall \/n\/\in\/\mathbb{N}$.

[Admin]

Ciao Bruno,
impeccabile come sempre!
complimenti!

Admin

[Admin]

In questi giorni mi sono ributtato sul "principio dei cassetti".
Alla luce delle nuove nozioni acquisite, mi sono accorto che questo problema può essere risolto in maniera semplice, applicando per l'appunto il "principio dei cassetti".

Questo il ragionamento:

la differenza tra due numeri interi (nel nostro caso due potenze di $2$) è divisibile per $2001$, se i $2$ numeri appartengono alla stessa classe di resto modulo $2001$.
Ora le classi di resto modulo $2001$ ( che vanno da $C_{2001}(0)$ a $C_{2001}(2000)$ ) sono esattamente $2001$.

Esse saranno i nostri "cassetti". Pertanto abbiamo $2001$ cassetti.
Gli oggetti da inserire nei cassetti sono le potenze di $2$, e sono infiniti.
Pertanto abbiamo infiniti oggetti da inserire in $2001$ cassetti;
ossia abbiamo infinite coppie di potenze di $2$ appartenenti ad una stessa classe di resto modulo $2001$, e quindi la cui differenza sia divisibile per $2001$.

Ciao
Admin