Il principio dei cassetti - 21. Punto medio in una griglia

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Il principio dei cassetti - 21. Punto medio in una griglia

Messaggio da Admin »

Admin ha scritto:
sab dic 03, 2005 5:09 pm
Dalla sezione "Il principio dei cassetti"

21. Punto medio in una griglia

Si scelgano 5 punti a caso sui nodi di una griglia a quadretti.
Esiste almeno un segmento che congiunge due punti tale che il suo punto medio si trova su un nodo della griglia.
Per comodità, consideriamo la griglia in un piano cartesiano.
Come primo passo, chiediamoci quando si verifica che il punto medio di un segmento che congiunge $2$ punti della griglia, coincida con un nodo della della stessa.
Si deduce facilmente che cio' si verifica quando la differenza, sia delle ascisse, che delle ordinate dei due punti che delimitano il segmento è pari (considerando $1$ come unità di misura della griglia).
Da qui notiamo poi che, se due punti hanno ascissa della stessa parità e ordinata della stessa parità, allora le differenze di ascisse e ordinate saranno pari e quindi il segmento che li congiunge, avrà punto medio su di un nodo della griglia.

Quindi possiamo scegliere come cassetti tutte le differenti configurazioni dei punti a seconda della parità di ascissa ed ordinata.
Indicando con $P$ e $D$, rispettivamente, un numero pari ed uno dispari, le possibili tipologie di punti sono:

$(P,P),(P,D),(D,P),(D,D)$

e saranno i nostri $4$ cassetti.
Gli oggetti invece sono i $5$ punti scelti a caso.

Per il principio generale dei cassetti, dati $5$ oggetti e $4$ cassetti, vi sarà almeno un cassetto contenente almeno $\large\left\lceil\frac{5}{4}\right\rceil\normalsize = 2$ oggetti.
Ossia, vi saranno almeno $2$ punti aventi la stessa parità di ascissa ed ordinata.
E quindi, per quanto detto sopra, il segmento che congiunge questi $2$ punti, avrà il punto medio che si trova su di un nodo della griglia.

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