Il principio dei cassetti - 22. 51 punti in un quadrato

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Il principio dei cassetti - 22. 51 punti in un quadrato

Messaggio da Admin »

Admin ha scritto:
sab dic 03, 2005 5:09 pm
Dalla sezione "Il principio dei cassetti"

22. 51 punti in un quadrato

Si scelgano casualmente 51 punti all'interno di un quadrato di lato 1.
Dimostrare che in ogni caso 3 di questi punti possono essere coperti da un cerchio di raggio 1/7.
In questi giorni, ho fatto dei passi avanti nella comprensione ed utilizzo di questo potente principio, e ci sto prendendo gusto.
Alla luce di cio', devo dire che questo problema mi è piaciuto davvero molto, perchè in prima analisi,
sfugge proprio la relazione tra il lato $1$, i $51$ punti ed il raggio di $\large\frac{1}{7}$.

Di seguito vi mostro come l'ho risolto.

Consideriamo il quadrato di lato $1$ e suddividiamolo in $5$ righe e $5$ colonne, in modo da individuare $25$ quadrati più piccoli, di lato $\large\frac{1}{5}$.
Bene, questi $25$ quadrati saranno i nostri cassetti.
I $51$ punti invece, saranno i nostri oggetti.

Il principio generale dei cassetti ci dice che se abbiamo $n$ oggetti da inserire in $m$ contenitori, con $n>m$ vi sarà almeno un cassetto contenente almeno $\large\left\lceil\frac{n}{m}\right\rceil$ oggetti.
Nel nostro caso quindi, vi sarà almeno un cassetto contenente almeno $\large\left\lceil\frac{51}{25}\right\rceil \normalsize = 3$ oggetti.
Ossia vi sarà almeno un quadratino contenente $3$ punti.

Consideriamo ora la circonferenza circoscritta a tale quadratino, e calcoliamone il raggio.
Tale raggio sarà pari a metà della diagonale del quadratino.
Ossia $r = \large\frac{1}{5}\cdot \frac{\sqrt{2}}{2} \normalsize= 0,1414...$
Dato che tale valore è inferiore ad $\large\frac{1}{7} \normalsize = 0.1428...$ allora sicuramente anche un cerchio di raggio $\large\frac{1}{7}$ copre interamente il quadratino.

Ricapitolando, avendo visto sopra che, per il principio dei cassetti, vi sarà almeno un quadratino di lato $\large\frac{1}{5}$ nel quadrato originale contenente almeno $3$ punti,
e che un cerchio di raggio $\frac{1}{7}$ copre interamente tale quadratino, possiamo concludere che in ogni caso ci saranno $3$ dei $51$ punti che possono essere coperti da un cerchio di raggio $\large\frac{1}{7}$.

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