Nota: avevo erroneamente aperto un altro post per questo problema. Ne copio qui il contenuto pari pari e cancello l'altro.
Orbene.
Il problema all'inizio mi è sembrato complicato. Poi, semplice. Poi banale. In realtà ho trovato due metodi risolutivi, uno complesso e basato su un'approccio a forza bruta, uno riflettuto appena 5 minuti di più e di immediata comprensione ed innegabile eleganza
. Li riporto entrambi di seguito.
In entrambi i casi ho eseguito dei calcoli simbolici, non essendo familiare con zhang e chih.
Primo approccio
Il serpente descrive una spirale di
giri (non necessariamente un numero intero) attorno all'albero di altezza
e circonferenza
. Il raggio del tronco è ovviamente
.
Parametrizziamo il serpente:
\in\Re^3 : 0\leq\theta\leq n2\pi, 0\leq\alpha\theta\leq h, \alpha\in\Re\right} "\Gamma=\left{\left(r\cos\theta;r\sin\theta,\alpha\theta\right)\in\Re^3 : 0\leq\theta\leq n2\pi, 0\leq\alpha\theta\leq h, \alpha\in\Re\right}")
è una curva che descrive proprio una spirale. Le due condizioni significano rispettivamente che la serpe s'ha da arrestare all'
-esimo giro e in quell'istante
deve corrispondere all'altezza
, per un
opportuno. Tale costante opportuna si ricava subito dall punto finale della curva: dalle diseguaglianze di ricava
dunque
. Riscriviamo la curva in modo più ordinato:
\in\Re^3 : 0\leq\theta\leq n2\pi\right} "\Gamma=\left{\left(r\cos\theta;r\sin\theta,\frac{h}{n2\pi}\theta\right)\in\Re^3 : 0\leq\theta\leq n2\pi\right}")
. Derivandola abbiamo
\in\Re^3 : 0\leq\theta\leq n2\pi\right} "\Gamma'=\left{\left(-r\sin\theta;r\cos\theta,\frac{h}{n2\pi}\right)\in\Re^3 : 0\leq\theta\leq n2\pi\right}")
. Vediamo cos'è il suo differenziale d'arco (la norma euclidea in
della derivata, in pratica):
^2}d\theta=\sqrt{r^2+\left(\frac{h}{n2\pi}\right)^2}d\theta "d\sigma=\left|\left|\Gamma'\right|\right|=\sqrt{r^2\sin^2\theta+r^2\cos^2\theta+\left(\frac{h}{n2\pi}\right)^2}d\theta=\sqrt{r^2+\left(\frac{h}{n2\pi}\right)^2}d\theta")
. Roba da non credere. una costante. Meglio di così si muore...
Ora calcoliamo la lunghezza della curva, integrando il differenziale tra gli estremi opportuni (
):
^2}d\theta=\left|\theta\sqrt{r^2+\left(\frac{h}{n2\pi}\right)^2}\right|^{n2\pi}_0=n2\pi\sqrt{r^2+\left(\frac{h}{n2\pi}\right)^2}=n\sqrt{4\pi^2r^2+\left(\frac{h}{n}\right)^2}=n\sqrt{c^2+\left(\frac{h}{n}\right)^2} "L_\Gamma=\int^{n2\pi}_0 d\sigma=\int^{n2\pi}_0\sqrt{r^2+\left(\frac{h}{n2\pi}\right)^2}d\theta=\left|\theta\sqrt{r^2+\left(\frac{h}{n2\pi}\right)^2}\right|^{n2\pi}_0=n2\pi\sqrt{r^2+\left(\frac{h}{n2\pi}\right)^2}=n\sqrt{4\pi^2r^2+\left(\frac{h}{n}\right)^2}=n\sqrt{c^2+\left(\frac{h}{n}\right)^2}")
.
Fine. Laborioso, ma funziona. Tuttavia la forma del risultato mi era sembrata familiare, e così sono arrivato al
Secondo approccio
Immaginiamo di scorticare l'albero: tagliamo la corteccia parallelamente all'altezza e la stendiamo. Otteniamo un quadrilatero, altezza
, base
. Dividiamolo in
parti di uguale altezza
con dei tagli paralleli alla base. Il serpente scorrerà proprio sulle diagonali di questi quadrilateri (provate a riavvolgere la corteccia dopo averle marcate con un pennarello: formano una spirale). Ergo, la lunghezza del serpente sarà la somma delle diagonali, ovvero, per Pitagora,
^2} "n\sqrt{c^2+\left(\frac{h}{n}\right)^2}")
.
Decisamente più semplice.
