"Aritmetica russa" - 10. potenza di 2
Inviato: mar ago 22, 2006 12:04 pm
Potenza di 2
Tutti i numeri di 5 cifre, da 11111 a 99999 sono scritti su delle carte.
Queste carte sono allineate in un ordine arbitrario.
Dimostrare che il numero risultante, formato da 444445 cifre, non è una potenza di 2
(Simferopol, 1970)
Per ogni ordine di grandezza (e quindi per ogni numero $m$ di cifre) ci sono da 3 a 4 potenze di 2:
Se $2^{\small{n}}$ ha $log_{10}(2^{\small{n}})+1$ cifre,
per $m = 444445$ si ha $n = \frac{m-1}{log_{10}(2)} = 1476411,01$
le potenze di 2 con 444445 cifre hanno come esponenti i numeri 1476412, 1476413, 1476414 e possiamo calcolarle considerando che
$2^{\small{n}} = X \cdot 10^{\small{m}}$
$n \cdot log_{10}(2) = log_{10}(X)+m \cdot log_{10}(10)$
$X = 10^{n \cdot log_{10}(2)-m}$
$2^{\small{1476412}} = 1,9859\,03996\,52092 \,\cdot\, 10^{\small{444444}}$
$2^{\small{1476413}} = 3,9718\,07993\,04185 \,\cdot\, 10^{\small{444444}}$
$2^{\small{1476414}} = 7,9436\,15986\,08370 \,\cdot\, 10^{\small{444444}}$
Si vede subito che questi numeri contengono gruppi di 5 cifre che cominciano con lo zero, non presenti nelle "carte" da 11111 a 99999.
Lascio uno spunto per una dimostrazione un po' più raffinata
Proviamo a sommare tutte le cifre presenti sulle carte, sappiamo che nei numeri da 11111 a 99999 la cifra 1 compare 44445 volte, mentre le cifre da 2 a 9 compaiono 45679 volte, quindi la somma di tutte le cifre è data da:
$\displaystyle 44445+44 \cdot 45679=2054321$
questo numero non è divisibile per 3, invece lo è 2054322, ciò significa che se il numero di 444445 cifre che compare sulle carte è pari (se fosse dispari non potrebbe essere ovviamente potenza di 2), il successivo è multiplo di 3.
Sappiamo che per $n$ pari $2^{\small{n}}+1$ non è multiplo di 3, quindi possiamo escludere due delle potenze di 2 sopra trovate e rimane da elimanare l'ultima possibilità: $2^{\small{1476413}}$
Qui mi sono fermato, qualche idea?
[Quelo]
Tutti i numeri di 5 cifre, da 11111 a 99999 sono scritti su delle carte.
Queste carte sono allineate in un ordine arbitrario.
Dimostrare che il numero risultante, formato da 444445 cifre, non è una potenza di 2
(Simferopol, 1970)
Per ogni ordine di grandezza (e quindi per ogni numero $m$ di cifre) ci sono da 3 a 4 potenze di 2:
Se $2^{\small{n}}$ ha $log_{10}(2^{\small{n}})+1$ cifre,
per $m = 444445$ si ha $n = \frac{m-1}{log_{10}(2)} = 1476411,01$
le potenze di 2 con 444445 cifre hanno come esponenti i numeri 1476412, 1476413, 1476414 e possiamo calcolarle considerando che
$2^{\small{n}} = X \cdot 10^{\small{m}}$
$n \cdot log_{10}(2) = log_{10}(X)+m \cdot log_{10}(10)$
$X = 10^{n \cdot log_{10}(2)-m}$
$2^{\small{1476412}} = 1,9859\,03996\,52092 \,\cdot\, 10^{\small{444444}}$
$2^{\small{1476413}} = 3,9718\,07993\,04185 \,\cdot\, 10^{\small{444444}}$
$2^{\small{1476414}} = 7,9436\,15986\,08370 \,\cdot\, 10^{\small{444444}}$
Si vede subito che questi numeri contengono gruppi di 5 cifre che cominciano con lo zero, non presenti nelle "carte" da 11111 a 99999.
Lascio uno spunto per una dimostrazione un po' più raffinata
Proviamo a sommare tutte le cifre presenti sulle carte, sappiamo che nei numeri da 11111 a 99999 la cifra 1 compare 44445 volte, mentre le cifre da 2 a 9 compaiono 45679 volte, quindi la somma di tutte le cifre è data da:
$\displaystyle 44445+44 \cdot 45679=2054321$
questo numero non è divisibile per 3, invece lo è 2054322, ciò significa che se il numero di 444445 cifre che compare sulle carte è pari (se fosse dispari non potrebbe essere ovviamente potenza di 2), il successivo è multiplo di 3.
Sappiamo che per $n$ pari $2^{\small{n}}+1$ non è multiplo di 3, quindi possiamo escludere due delle potenze di 2 sopra trovate e rimane da elimanare l'ultima possibilità: $2^{\small{1476413}}$
Qui mi sono fermato, qualche idea?
[Quelo]