Tutti i numeri di 5 cifre, da 11111 a 99999 sono scritti su delle carte.
Queste carte sono allineate in un ordine arbitrario.
Dimostrare che il numero risultante, formato da 444445 cifre, non è una potenza di 2
(Simferopol, 1970)
Per ogni ordine di grandezza (e quindi per ogni numero
Se
per
le potenze di 2 con 444445 cifre hanno come esponenti i numeri 1476412, 1476413, 1476414 e possiamo calcolarle considerando che
Si vede subito che questi numeri contengono gruppi di 5 cifre che cominciano con lo zero, non presenti nelle "carte" da 11111 a 99999.
Lascio uno spunto per una dimostrazione un po' più raffinata
Proviamo a sommare tutte le cifre presenti sulle carte, sappiamo che nei numeri da 11111 a 99999 la cifra 1 compare 44445 volte, mentre le cifre da 2 a 9 compaiono 45679 volte, quindi la somma di tutte le cifre è data da:
questo numero non è divisibile per 3, invece lo è 2054322, ciò significa se il numero di 444445 cifre che compare sulle carte è pari (se fosse dispari non potrebbe essere ovviamente potenza di 2), il successivo è multiplo di 3.
Sappiamo che per
Qui mi sono fermato, qualche idea ?
[Quelo]