R: L'equazione colpisce ancora

[_0-§]

Ho notato che la mia equazione é segnata tra i quesiti irrisolti,sicché provo a riproporla.
$x^x=a$,come si risolve,dato a?
In generale,$(ax+b)^{(cx+d)}$,dati a,b,c,d?
Si é gia detto che non si risolve per radicali e nemmeno per logaritmi,come pensavo io.
Il vero problema sorge quando si considerano anche le soluzioni negative,poiché se x é negativo la funzione f(x)=x^x é assai complessa.
Qualcuno mi può aiutare?
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La matematica é il grande inganno.Fate un esame di coscienza e rispondete:quando é stata l'ultima volta che avete sentito il bisogno di calcolare una mantissa?(D.Luttazzi)

[Admin]

Fine recupero.

[modulocomplicato]

La risposta dell'asino 1:

- non lo trovo su internet !

La risposta dell'asino 2 (che non ha internet):

1) Se A = pari è fattibile (per A piccoli): faccio radice quadrata fino ad ottenere un non intero, quindi so che quello che ho messo sotto radice è un pari in cui c'è almeno un fattore primo elevato ad 1... quindi...

Es.1) A= 46656 ; rad(46656) = 216 ; rad(216) = 6rad(6) quindi A= 6 ^6

Es.2) A= 12^12 ; rad(12^12) = 12^6 ; rad(12^6) = 12^3 ; rad(12^3) = 24 rad(3) quindi A= 12 ^12 in quanto 24= 6*2* rad(2^2) e rad(3)*rad(2^2) = 12 ;-P

2) Se A è dispari faccio la radice quadrata

- se ho culo becco radq(A) = 19683 (intero), cioè A= 9^9 (per quanto sopra) ;-P

- altrimenti la calcolatrice non ha abbastanza cifre già a 15^15 e quindi...

... e quindi non so cosa succede ;-P

..bhè visto che non ha risposto nessuno... almeno ci divertiamo un po'...

[Info]

ma scusate ma sapendo che $x = e^{\ln(x)}$ posso scrivere $x^x = e^{x\ln(x)}$ allora $a = e^{x\ln(x)}$ quindi $\ln(a) = x\ln(x)$ infine $\frac{\ln(a)}{\ln(x)} = x$

credo sia da risolvere per via iterativa

[modulocomplicato]

La soluzione per "interazione" richiede l'intervento del computer, che non è una soluzione elegante per un matematico...

Ma il computer è una macchina "matematica" che esegue dei conti in base a delle istruzioni:

Ergo uno dei miei formulazzi può egregiamente rappresentare il risultato in forma matematica...

Solo che il formulazzo risultante non è elegante, nel senso che fornisce il risultato, ma è esattamente identico all'uso della forza bruta che "nasconde" al suo interno.

Cioè si tratta di utilizzare una funzione periodica o ricorsiva che fornisce risultati utili, fin tanto che è utile, e zero in tutti gli altri casi...

Questa soluzione, però di solito non ci insegna un bel nulla... Le soluzioni alla Newton, invece sono quelle che interessano ai matematici veri... (cosa che io non sono, quindi termino lo sproloquio che spero qualcuno abbia compreso...).

[Info]

capito.... effettivamente non e`troppo da matematico risolvere per via iterativa le operazioni... preferiresti arrivare a un x=f(a) dove con un'unico calcolo arrivi al risultato finale....

Su questo hai ragione ma in questo caso non so davvero come aiutarti ad arrivare alla formula che desideri

[marcokrt]

Ne deduco che, come altri 60 milioni di italiani, non hai letto il mio libro "La strana coda della serie n^n^...^n"

Spoilero solo le soluzioni e poco più (il bello è provare ad arrivarci per conto proprio):

http://www.wolframalpha.com/input/?i=x^x%3Da

G. Eisenstein, “Entwicklung von α^α...”, J. reine angewandte Math., vol. 28, 1844.

[modulocomplicato]

...se si parla di potenze, basta prendere il fattoriale, i logaritmi, una serie... scheckerare et voilà... c'è sempre una soluzione ad ogni problema !

No, non ho letto ! ;-p

e tu hai letto i miei ? (almeno in quelli parlo di ciò che conosco, quindi non di matematica !)

Ciao
Stefano

[marcokrt]

No, non li ho letti.

Comunque nell'appendice 1 del libro trovi una nuova dimostrazione della convergenza di x^x^...^x alla minore delle radici di x=y^(1/y) per tutti i numeri reali x all'interno dell'intervallo chiuso [1, e^(1/e)]. Per dimostrare la convergenza nel caso in cui x sia un elemento di [e^(-e), 1) la faccenda si complica un po' (ma il problema è stato risolto oltre 150 anni fa...)

Dalla dimostrazione è facile estrapolare il modo per risolvere anche il più semplice caso della torre di potenze di altezza due.

[marcokrt]

Non mi piace il tono di certe risposte... non mi scompongo ed esplicito gli indizi che già ho fornito nei post precedenti:

Funzione $W$ di Lambert e Gotthold Eisenstein

La funzione $W$ è quella che soddisfa l'equazione funzionale z=W(z)*e^W(z), (z∈C)

Ponendo le adeguate condizioni al contorno, si dovrebbe pervenire alla seguente:

x=e^[W(log(a)+2*i*pi*k)] (con $k$ numero intero ed $a$ non nullo - la funzione è periodica).

Saluti.


Se volete, cercherò anche di esplicitare tutti i casi quando troverò abbastanza tempo libero... sempre che mi si conceda di parlare/scrivere di un argomento che non conosco...

P.S.
Non è possibile invertire/risolvere l'equazione con metodi elementari (radicali e co.). In sostanza si devono per forza usare metodi numerici che prendano come input $a$... però non è tecnicamente complicato, perché tutto il difficile sta nell'individuare con accuratezza una soluzione dell'equazione x^x=a*. Il fatto che tutto sia (ri)scrivibile in termini della funzione W di Lambert ci consente di pervenire a una soluzione simbolica ed a una forma sintetica della versione esplicita dell'equazione di partenza. Che poi, in termini pratici, dato x^x=a*, il tutto sia poco utile è (IMO) discorso differente.