Premessa: Forse ho trovato una soluzione (anche se un po' astrusa) al problema, ma per non rischiare che mi tiriate troppi pomodori preferisco perdere un po' di tempo a raccontarvi il ragionamento che ho fatto prima di riportarla.
In primo luogo sono partito da due problemi più semplici correlabili a quello dato cioè il caso in cui si conoscesse se la pallina diversa fosse più pesante o più leggera con una bilancia a due piatti e 9 palline ed il caso più vicino al nostro dove sempre con una bilancia a 2 piatti e 9 palline ce ne sia una diversa ma non si conosce se pesa di più o pesa di meno.
Come è noto nel primo caso bastano 2 pesate mentre nel secondo le pesate salgono a tre, ma già dalla seconda pesata si è in grado di stabilire se la pallina diversa pesa di più o di meno.
A questo punto tornando al nostro caso (come già precedentemente accennato in un post precedente) ho osservato che se si usasse una strategia analoga a quella per le bilance a due piatte si andrebbe incontro al problema che per eseguire un solo confronto nel nostro caso servono necessariamente due pesate e di conseguenza con la bilancia romana senza conoscere se quella diversa pesa di più o di meno occorrerebbero un minimo di 6 pesate e conoscendo invece questo dato ce ne vorrebbero 4... comunque troppe.
Quindi risulta banale la considerazione che qualunque sia la strategia da utilizzare essa debba bypassare il vincolo del 1 confronto 2 pesate.
A questo punto ho incominciato a fare qualche esperimento mentale, poi sono passato alla più prosaica carta e penna ed infine ho preso una pesa per alimenti che avevo in cucina e 8 cucchiaini del servizio + quello della pappa di mia figlia (facendo finta di ignorare che pesasse di meno) e ho fatto qualche altra prova 8poche in realtà visto che la pesa per alimenti serviva anche a mia moglie e non volendo fare la fine della pasta sfoglia che aveva appena steso col mattarello ho ritenuto più salutare renderle il maltolto).
Fatto sta che apparentemente non avevo ancora "cavato il classico ragno dal buco"...
Tornando a rimuginarci sopra dopo cena ad un certo punto ho avuto una sorta di "illuminazione dylandogghiana": "quando tutte le ipotesi possibili sono state scartate quella che rimane per quanto sia impossibile è quella giusta".
Quindi per prima cosa sono andato a rileggermi il testo del problema (onde evitare di aver trascurato qualcosa o frainteso qualcosaltro come mio solito) e poi su internet mi sono andato a documentare un po' meglio sulla bilancia romana.
Probabilmente voi sapete già tutto su di essa quindi vi riporto solo quelle informazioni che mi sono state utili:
La bilancia romana o stabena è una bilancia a bracci assimmetrici ad un unico piatto (od in una sua variante con un gancio al posto del piatto) dove sul braccio lungo è presente "il romano" (che è poi il pesetto) da far correre sul braccio stesso per determinare la pesata.
A questo punto la mia illuminazione stava prendendo consistenza: nel testo c'era uno "specchietto per le allodole": il piatto (se volete immaginatevelo di metallo e molto lucido).
Infatti la precisazione che la stabena fosse nella variante ad un piatto è fuorviante: fosse stata a gancio non sarebbe cambiato praticamente nulla se non che le palline per essere pesate sarebbero dovute essere preventivamente introdotte in dei contenitori appositi (magari dei sacchetti), tuttavia la precisazione "ad unico piatto" era stata fatta e quindi doveva esserci uno scopo. Quale? Beh, secondo me lo scopo è quello di farci ritenere la stabena del tutto equivalente ad una pesa ad unico piatto che ci è certamente più famigliare (non credo di sbagliare se congetturo che ognuno di noi, o cmq buona parte di noi, se prova a visualizzarsi questo esperimento lo fa con una pesa ad un piatto piuttosto che con una bilancia romana). Tuttavia l'unica cosa che la nostra pesa e la stabena hanno in comune strutturalmente parlando è proprio quel piatto.
Detto tutto ciò ho ragionato come segue:
1) Prendo le 9 palline e le divido in gruppi di tre
2) Prendo tre scacchetti identici
3) in ogni sacchetto metto un gruppo di palline
4) appendo un sacchetto sul braccio lungo della stabena in modo che esso ed il piatto siano equidistanti dal fulcro e sul piatto metto un secondo sacchetto ===>
ho trasformato la mia stabena in una bilancia a due piatti e quindi mi bastano le tre pesate per individuare la pallina diversa e se essa è più pesante o più leggera delle altre.
Certo, non so ne quanto ne a quanti questa soluzione possa piacere, ne quanto da un punto di vista pratico sia facilmente attuabile questa soluzione (alla fine io una stabena l'ho solo vista in fotografia) tuttavia più passa il tempo più più mi convinco che se una soluzione al problema dato ci sia essa debba essere questa, o magari una analoga meglio formalizzata (un esperto di stabene potrebbe trovare che sacchetto e piatto non debbano essere esattamente equidistanti dal fulcro ma in una certa proporzione reciproca per esempio).
Adesso siate clementi, pochi pomodori please... ma, se proprio non volete lesinare, alla peggio mi ci farò un sugo.
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