6. Quadrare il rettangolo
E' possibile ritagliare un qualunque rettangolo in un numero finito di pezzi e ricomporli in modo da formare un quadrato che abbia la stessa area del rettangolo?
Ho trovato un procedimento generale per "quadrare" il rettangolo (senza la pretesa di minimizzare il numero di tagli), ma non sono capace di dimostrare che funzioni sempre (prendetela come una congettura).
Dopo aver costruito sul rettangolo dato ABCD il quadrato AEFG di area corrispondente
tolta l'area comune alle due figure (AEHD), il problema si riduce a quello di trasformare il rettangolo EBCH nel rettangolo DHFG di area uguale e di lati diversi.
Per prima cosa, è opportuno notare che il segmento $\overline {HC}$ è necessariamente più corto del segmento $\overline {HF}$.
Dimostrazione.
Il rettangolo ABCD ha lati $a$ e $b$ con $a > b$. Il quadrato AEFG ha lato $\sqrt {ab}$. il segmento $\overline {HC}$ è perciò $\sqrt {ab} - b$ mentre il segmento $\overline {HF}$ è $a - \sqrt {ab}$.
Posto
$\overline {HF} < \overline {HC} \,\Rightarrow \,a - \sqrt {ab} < \sqrt {ab} - b$
si ha
$a + b < 2 \sqrt {ab}$
ovvero
$a^2 + b^2 - 2ab = (a - b)^2 < 0$
cioè
$a < b$
contro l'ipotesi, quindi
$\sqrt {ab} - b < a - \sqrt {ab}$
q.e.d.
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panurgo
Principio di relatività:
"Se la montagna non va a Maometto, Maometto NON va alla montagna"
