BASE CINQUE FORUM

Dalla sezione "Dissezioni del quadrato"

4. Dividere un quadrato in 7 quadrati uguali

5. Per quali n è possibile dividere un quadrato in n quadrati uguali?

Il sezionamento di un quadrato di lato $l$ è possibile per qualunque valore di $n$ (almeno in linea di principio).

Infatti, poiché è possibile sezionare un quadrato per ottenere un qualsiasi rettangolo di base $a$ e altezza $b$ date (vedi https://www.base5forum.it/viewtopic.php?p=476#476), basta prendere $a = \sqrt {n} l$ e $b = \frac{l}{\sqrt {n}}$ dove $\frac{l}{\sqrt {n}}$ è il "latino" (memento: "latino × latino = area del quadratino").

Dato che il sezionamento è tanto più facile quanto più il rapporto $r = \frac a b$ tende all’unità, se $n$ non è primo conviene scomporlo in due fattori $p$ e $q$ e prendere $a = p \frac{l}{\sqrt {n}}$ e $b = q \frac{l}{\sqrt {n}}$ (per $p = n$ e $q = 1$ si riottengono le espressioni precedenti).

A questo punto bisogna determinare la lunghezza del "latino", $\frac{l}{\sqrt {n}}$.

A tale scopo (vedi figura) è sufficiente tracciare la parabola con il vertice in ${\rm A}$ e passante per ${\rm C}$ e l’iperbole equilatera, ruotata di 45°, con il vertice in ${\rm C}$ e centro di simmetria in ${\rm A}$.



La prima conica ci consente di ottenere la radice quadrata e la seconda, l’inverso di $n$.

Prendendo ad esempio $n = 2$, si traccia sul prolungamento del segmento $\overline {\rm AB}$ il punto ${\rm P}$ distante $2l$ da ${\rm A}$



si traccia la parallela a $\overline {\rm BC}$ per ${\rm P}$ e si trova il punto ${\rm Q}$: si ha $\overline {\rm PQ} = \frac l n$.



si traccia ora la parallela a $\overline {\rm AB}$ per ${\rm Q}$ e si trovano i punti ${\rm R}$ e ${\rm S}$: si ha $\overline {\rm RS} = \frac l {\sqrt n}$.



A questo punto si costruisce il rettangolo $ab$ come specificato sopra (vedi link)



e si procede al sezionamento.

Come altro esempio, prendo il sezionamento del quadrato in sette



Et voilà!

Sul vecchio forum era passato inosservato il mio problema,che non so risolvere:quali quadrati perfetti sono la somma dei primi quadrati perfetti?
Cioé vorrei sapere per quali N la somma
$1^2+2^2+3^2+...N^2$ é un quadrato perfetto.Cosa succede se pongo la condizione che i vari quadrati siano sì consecutivi,ma non debbano partire da 1^2?Ad esempio,vorrei sapere quali quadrati perfetti sono la somma di tre,sedici,ottomilacentoventiquattro quadrati perfetti(per il Teorema di Fermat-Wiles,obbligatoriamente più di due quadrati)Come si trovano le varie soluzioni?
E infine la domanda da cento milioni:che succede se anziché quadrati uso cubi o potenze quarte?
Qui c'é mezza Teoria dei numeri e credo non esistano risposte generali a queste domande:vorrei solo sapene un pò di più(se conoscete un posticino su Internet per queste domande,dite pure!).
Per il problema 1,aspetto con ansia risposte (dovrebbe essere alla vostra portata)
Saluti,salute e figli baschi(come dicono in Spagna).
Ciao!

0-§ ha scritto: Cioé vorrei sapere per quali N la somma
$\displaystyle 1^2+2^2+3^2+...N^2$ é un quadrato perfetto.

Ciao 0-§! Per quanto ne so, all'inizio del secolo scorso è stato dimostrato
che la somma:

$\displaystyle 1^2+2^2+3^2+...+N^2$

corrisponde a un quadrato perfetto solo per $\displaystyle N = 24$ (se si eccettua
il caso N=1) e il risultato è:

$\displaystyle 70^2 = 4900.$

Non esiste un $\displaystyle N \, > \, 24$ che goda di questa stessa proprietà.

Non so niente, invece, sulle altre interessanti questioni che proponi.

Diversi anni fa mi è capitato fra le mani un libro che considero ancora molto
istruttivo (peraltro uno dei pochi tradotti in italiano). Se già non lo conosci,
vorrei consigliartelo: si tratta di "Aritmetica Superiore" di H. Davenport, edito
da Zanichelli.

Bruno

Grazie!Un'altra domanda che mi é sorta:si può coprire il quadrato gigante(di lato 70) completamente e senza tagli con quadratini di lato 1,2,3,...,24?
Se sì,come?Se no,perché?
Bye bye
0-§[/i]

un esempio

panurgo ha scritto:

Dalla sezione "Dissezioni del quadrato"

4. Dividere un quadrato in 7 quadrati uguali

5. Per quali n è possibile dividere un quadrato in n quadrati uguali?

Il sezionamento di un quadrato di lato $l$ è possibile per qualunque valore di $n$ (almeno in linea di principio).

Le immagini sono andate perdute! Invece di cercare di ricostruirle mi limiterò a sezionare un quadrato in $21$ quadratini.

Dato il quadrato ${\text ABCD}$



tracciamo la retta ${\text AB}$, la semiretta ${\text BC}$ e dividiamo il lato ${\text BC}$ (per bisezione) in $8$ parti



Segnamo il punto $\text E$ e lo congiungiamo con il punto a $3/4$ sul lato ${\text BC}$; quindi tracciamo la parallela al segmento passante per il punto a $1/4$ individuando così il punto $\text F$: per il teorema di Talete ${\text BE}\/:\/{\text BF}\/=\/3\/:\/1$.
Abbiamo misurato ${\text BE}$



Riportata la nostra unità di misura simmetricamente a $\text B$ individuiamo, sempre con Talete, il punto $\text G$ per cui ${\text BG}\/:\/{\text BF}\/=\/7\/:\/1$ (suona giusto, $3\/\times\/7\/=\/21$).



E abbiamo dunque ${\text BG}\/:\/{\text BE}\/=\/7\/:\/3$; tracciamo la semicirconferenza da $\text G$ a $\text E$ e individuiamo il punto $\text H$: per il secondo teorema di Euclide sui triangoli rettangoli ${\text BH}$ è medio proporzionale tra ${\text BG}$ e ${\text BE}$ ed è quindi il lato del quadrato equivalente al rettangolo di lati ${\text BG}$ e ${\text BE}$ (ecco perché si chiama media geometrica)



Tracciamo per ${\text C}$ le parallele a ${\text EH}$ e ${\text GH}$ e individuiamo i punti ${\text I}$ e ${\text J}$, estremi dei segmenti ${\text BI}$ e ${\text BJ}$ che sono i segmenti di cui il lato del nostro quadrato è medio proporzionale (Talete? Euclide 2?)



Puliamo il nostro disegno e osserviamo che abbiamo, ${\text BJ}\/:\/{\text BI}\/=\/7\/:\/3$, i lati del rettangolo equivalente al nostro quadrato e formato da $21$ quadratini.



Approfittiamo di questa pulizia per dividere il segmento ${\text BJ}$ in $7$ parti: ci servirà dopo



L’intersezione della semicirconferenza da ${\text B}$ a ${\text C}$ con la circonferenza di centro ${\text B}$ e raggio ${\text BI}$ individua il punto ${\text K}$ e l’intersezione della perpendicolare a ${\text BK}$ con la circonferenza di centro ${\text B}$ e raggio ${\text BJ}$ il punto ${\text M}$



La ragione di questa costruzione e che in questo modo un lato del rettangolo passa per il punto ${\text C}$ (l’angolo al centro è il doppio dell’angolo alla circonferenza) e ciò è utile per il sezionamento



Tracciando la parallela a ${\text BM}$ passante per il punto ${\text L}'$, simmetrico di ${\text L}$ rispetto a ${\text M}$ tagliamo un triangolo che trasportiamo come indicato il figura



La perpendicolare dal vertice del triangolo a ${\text BM}$ taglia un trapezio



e un quadrilatero mentre il triangolo comune tra quadrato e rettangolo rimane al suo posto



Tutto ciò si dimostra perché tagli sono paralleli ai lati del rettangolo e si ottengono dei parallelogrammi.

Ora non resta che misurare il nostro rettangolo



e tagliarlo in $21$ quadratini



Questo ci dice come deve essere ritagliato il quadrato per ottenere i quadratini desiderati.

Due considerazioni: la prima è che conviene suddividere $n$ in due fattori quanto più possibile uguali; la seconda è che resta da dimostrare che il sezionamento di un quadrato in un rettangolo qualsiasi è sempre possibile (ma questo è un altro topic).

P.S.: tutte queste figure si ridurrebbero ad un solo foglio di lavoro dinamico di GeoGebra che è ciò che ho usato per generarle!

Ciao Pan,
ce l'hai salvato il foglio di lavoro dinamico?
potresti inviarmelo come allegato?
volevo fare delle prove al fine di permetterne l'inserimento in un post.

Ho provato a generarne qualcuno di test con GeoGebra, ma non ho ancora capito come realizzare animazioni...

Grazie.

Saluti
Admin

Come promesso ecco la dimostrazione del

Sezionamento di un quadrato in 21 quadratini

Questa è un'Applet Java creata con GeoGebra da www.geogebra.org - Java non risulta installato sul computer in uso - fare riferimento a www.java.com