Dalla sezione "Dissezioni del quadrato"
4. Dividere un quadrato in 7 quadrati uguali
5. Per quali n è possibile dividere un quadrato in n quadrati uguali?
Il sezionamento di un quadrato di lato $l$ è possibile per qualunque valore di $n$ (almeno in linea di principio).
Infatti, poiché è possibile sezionare un quadrato per ottenere un qualsiasi rettangolo di base $a$ e altezza $b$ date (vedi https://www.base5forum.it/viewtopic.php?p=476#476), basta prendere $a = \sqrt {n} l$ e $b = \frac{l}{\sqrt {n}}$ dove $\frac{l}{\sqrt {n}}$ è il "latino" (memento: "latino × latino = area del quadratino").
Dato che il sezionamento è tanto più facile quanto più il rapporto $r = \frac a b$ tende all’unità, se $n$ non è primo conviene scomporlo in due fattori $p$ e $q$ e prendere $a = p \frac{l}{\sqrt {n}}$ e $b = q \frac{l}{\sqrt {n}}$ (per $p = n$ e $q = 1$ si riottengono le espressioni precedenti).
A questo punto bisogna determinare la lunghezza del "latino", $\frac{l}{\sqrt {n}}$.
A tale scopo (vedi figura) è sufficiente tracciare la parabola con il vertice in ${\rm A}$ e passante per ${\rm C}$ e l’iperbole equilatera, ruotata di 45°, con il vertice in ${\rm C}$ e centro di simmetria in ${\rm A}$.
La prima conica ci consente di ottenere la radice quadrata e la seconda, l’inverso di $n$.
Prendendo ad esempio $n = 2$, si traccia sul prolungamento del segmento $\overline {\rm AB}$ il punto ${\rm P}$ distante $2l$ da ${\rm A}$
si traccia la parallela a $\overline {\rm BC}$ per ${\rm P}$ e si trova il punto ${\rm Q}$: si ha $\overline {\rm PQ} = \frac l n$.
si traccia ora la parallela a $\overline {\rm AB}$ per ${\rm Q}$ e si trovano i punti ${\rm R}$ e ${\rm S}$: si ha $\overline {\rm RS} = \frac l {\sqrt n}$.
A questo punto si costruisce il rettangolo $ab$ come specificato sopra (vedi link)
e si procede al sezionamento.
Come altro esempio, prendo il sezionamento del quadrato in sette
Et voilà!
Bruno
un esempio
