panurgo ha scritto:Dalla sezione "Dissezioni del quadrato"
4. Dividere un quadrato in 7 quadrati uguali
5. Per quali n è possibile dividere un quadrato in n quadrati uguali?
Il sezionamento di un quadrato di lato

è possibile per qualunque valore di

(almeno in linea di principio).
Le immagini sono andate perdute! Invece di cercare di ricostruirle mi limiterò a sezionare un quadrato in

quadratini.
Dato il quadrato
tracciamo la retta

, la semiretta

e dividiamo il lato

(per bisezione) in

parti
Segnamo il punto

e lo congiungiamo con il punto a

sul lato

; quindi tracciamo la parallela al segmento passante per il punto a

individuando così il punto

: per il teorema di Talete

.
Abbiamo misurato
Riportata la nostra unità di misura simmetricamente a

individuiamo, sempre con Talete, il punto

per cui

(suona giusto,

).
E abbiamo dunque

; tracciamo la semicirconferenza da

a

e individuiamo il punto

: per il secondo teorema di Euclide sui triangoli rettangoli

è medio proporzionale tra

e

ed è quindi il lato del quadrato equivalente al rettangolo di lati

e

(ecco perché si chiama media
geometrica)
Tracciamo per

le parallele a

e

e individuiamo i punti

e

, estremi dei segmenti

e

che sono i segmenti di cui il lato del nostro quadrato è medio proporzionale (Talete? Euclide 2?)
Puliamo il nostro disegno e osserviamo che abbiamo,

, i lati del rettangolo equivalente al nostro quadrato e formato da

quadratini.
Approfittiamo di questa pulizia per dividere il segmento

in

parti: ci servirà dopo
L’intersezione della semicirconferenza da

a

con la circonferenza di centro

e raggio

individua il punto

e l’intersezione della perpendicolare a

con la circonferenza di centro

e raggio

il punto
La ragione di questa costruzione e che in questo modo un lato del rettangolo passa per il punto

(l’angolo al centro è il doppio dell’angolo alla circonferenza) e ciò è utile per il sezionamento
Tracciando la parallela a

passante per il punto

, simmetrico di

rispetto a

tagliamo un triangolo che trasportiamo come indicato il figura
La perpendicolare dal vertice del triangolo a

taglia un trapezio
e un quadrilatero mentre il triangolo comune tra quadrato e rettangolo rimane al suo posto
Tutto ciò si dimostra perché tagli sono paralleli ai lati del rettangolo e si ottengono dei parallelogrammi.
Ora non resta che misurare il nostro rettangolo
e tagliarlo in

quadratini
Questo ci dice come deve essere ritagliato il quadrato per ottenere i quadratini desiderati.
Due considerazioni: la prima è che conviene suddividere

in due fattori quanto più possibile uguali; la seconda è che resta da dimostrare che il sezionamento di un quadrato in un rettangolo qualsiasi è sempre possibile (ma questo è un altro topic).
P.S.: tutte queste figure si ridurrebbero ad un solo foglio di lavoro dinamico di GeoGebra che è ciò che ho usato per generarle!