R: Numeri buoni

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Quelo
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R: Numeri buoni

Messaggio da Quelo »

Dalla sezione "Aritmetica russa"

Numeri buoni

Chiamiamo "buono" un numero di 2n cifre se è un quadrato perfetto e i numeri formati dalle sue prime n cifre e dalle sue ultime n cifre sono anche quadrati perfetti.
a) Trovare tutti i numeri "buoni" di 2 e di 4 cifre.
b) Esiste un numero "buono" di 6 cifre?
c) Dimostrare che esiste un numero "buono" di 20 cifre.
d) Dimostrare che esistono almeno 10 numeri "buoni" di 100 cifre.
e) Dimostrare che esistono numeri "buoni" di 30 cifre.

_____________________

a) 49 e 1681

b) Sì ne esistono 3: 144400, 225625 e 324900

c) E' possibile dimostrare che, dato n intero, se prendiamo un numero di 4n cifre così composto:

prima parte: (\frac{10^n}{2}-1)^2

seconda parte: (10^n-1)^2

esso è il quadrato di un numero intero:

((\frac{10^n}{2}-1)^2)10^{2n}+(10^n-1)^2

((\frac{10^{2n}}{4}-10^n+1))10^{2n}+(10^{2n}-2*10^n+1)

\frac{10^{4n}}{4}-10^{3n}+10^{2n}+10^{2n}-2*10^n+1

\frac{10^{4n}}{4}-10^{3n}+2*10^{2n}-2*10^n+1=(\frac{10^{2n}}{2}-10^n+1)^2

di conseguenza esiste almeno un numero buono per ogni numero di cifre multiplo di 4 (e quindi sia 20 che 100)

Questo è il mio limite "matematico", per la d) e la e) faccio una previsione empirica

Questi sono i primi 30 numeri buoni

49; (7) - [2/3]
1681; (41) - [4/9]
144400; (380) - [12/20]
225625; (475) - [15/25]
324900; (570) - [18/30]
24019801; (4901) - [49/99]
1587624025; (39845) - [126/155]
2371690000; (48700) - [154/300]
2528178961; (50281) - [159/281]
3132976729; (55973) - [177/277]
5198410000; (72100) - [228/100]
6350496100; (79690) - [252/310]
8122515625; (90125) - [285/125]
249001998001; (499001) - [499/999]
10547295475600; (3247660) - [1027/2340]
12232366350400; (3497480) - [1106/2520]
14042257290000; (3747300) - [1185/2700]
15976968294400; (3997120) - [1264/2880]
18036499363600; (4246940) - [1343/3060]
23073612250000; (4803500) - [1519/1500]
25027247420176; (5002724) - [1582/2724]
36633966760000; (6052600) - [1914/2600]
48092491265625; (6934875) - [2193/1125]
58660847767369; (7659037) - [2422/2787]
61009002802276; (7810826) - [2470/1674]
81054099030025; (9003005) - [2847/3005]
85497762250000; (9246500) - [2924/1500]
92294449000000; (9607000) - [3038/3000]
1466124176580001; (38290001) - [3829/8751]
2499000199980001; (49990001) - [4999/9999]

Sembrerebbe che il numero di buoni aumenti con il numero delle cifre, quindi dovrebbe essercene almeno 1 di 30 cifre e 10 di 100.

In particolare abbiamo, per numeri buoni di 2n cifre:

n = 1,2 -> buoni = 2 (rapporto 1/1)
n = 3,4 -> buoni = 4 (rapporto 3/1)
n = 5,6 -> buoni = 8 (rapporto 7/1)
n = 7,8 -> buoni = 16 (rapporto 14/2)

Quantomeno curioso, peccato che di numeri buoni di 18 cifre ne ho trovati 38 (invece dei 28 attesi).

Tuttavia mi sento di formulare due congetture:

Prima Congettura di Quelo sui numeri buoni:
"Dato n intero positivo, l'insieme dei numeri buoni di 4n e 2(2n-1) cifre contiene almeno 2n elementi"

Seconda Congettura di Quelo sui numeri buoni:
"Dato n intero positivo, esiste almeno un gruppo di due o più numeri buoni di 2^{n+1} cifre che hanno lo stesso rapporto tra la radice quadrata della prima parte e la radice quadrata della seconda parte"
Ultima modifica di Quelo il mer set 15, 2021 12:02 pm, modificato 1 volta in totale.
[Sergio]

Quelo
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Re: R: Numeri buoni

Messaggio da Quelo »

Riprendo questo argomento (non recentissimo) in quanto sono emersi nuovi elementi

Mi sono reso conto di aver commesso un errore di interpretazione, dando per scontato che la seconda metà del numero buono dovesse essere un numero di n cifre.
Pertanto i precedenti risultati sono parziali, ecco quelli completi

I numeri buoni di 18 cifre sono 47 e quelli di 20 cifre sono 2, mentre per 24, 28 e 32 cifre solo 1, per cui abbiamo:

n = 1 --> buoni = 1
n = 2 --> buoni = 1
n = 3 --> buoni = 5
n = 4 --> buoni = 1
n = 5 --> buoni = 12
n = 6 --> buoni = 1
n = 7 --> buoni = 24
n = 8 --> buoni = 2
n = 9 --> buoni = 47
n = 10 --> buoni = 2
n = 11 --> buoni = ???
n = 12 --> buoni = 1 (*)
n = 13 --> buoni = ???
n = 14 --> buoni = 1 (*)
n = 15 --> buoni = ???
n = 16 --> buoni = 1 (*)
(*) testati solo i numeri nella forma indicata sotto

n = 1,2 -> buoni = 2
n = 3,4 -> buoni = 6
n = 5,6 -> buoni = 13
n = 7,8 -> buoni = 26
n = 9,10 --> buoni = 49
n = 11,12 --> buoni = ???+1
n = 13,14 --> buoni = ???+1
n = 15,16 --> buoni = ???+1

Non riesco a vedere uno schema

Inoltre i numeri buoni di 4n cifre sembrano avere le seguenti proprietà:

- la radice della prima parte è compresa tra $\displaystyle \lceil{\sqrt{10^{2n-1}}}\rceil$ e $\displaystyle \frac{10^n}{2}-1$ cioè tra 3 e 4, tra 32 e 49, tra 317 e 499, ecc...
- sono nella forma $\displaystyle (\underbrace{\text{radice}\;1^a\;\text{parte}}_{n\;cifre} \cdot 10^n +1)^2$

Verificato per tutti quelli nella forma $\displaystyle (\frac{10^n}{2}-1)^2 \cdot 10^{2n}+(10^n-1)^2$ e per i seguenti, che al momento sono gli unici due noti:

1466124176580001; (38290001) - [3829/8751]
10894620496601400001; (3300700001) - [33007/81249}

E' praticamente certo che ci sia più numeri buoni di 30 cifre, ma sono meno confidente che ce ne siano 10 di 100 cifre

Questi sono i primi 47 numeri buoni:

49 ; ( 7 ) - [ 2 / 3 ]
1681 ; ( 41 ) - [ 4 / 9 ]
144400 ; ( 380 ) - [ 12 / 20 ]
225625 ; ( 475 ) - [ 15 / 25 ]
256036 ; ( 506 ) - [ 16 / 6 ]
324900 ; ( 570 ) - [ 18 / 30 ]
576081 ; ( 759 ) - [ 24 / 9 ]
24019801 ; ( 4901 ) - [ 49 / 99 ]
1299602500 ; ( 36050 ) - [ 114 / 50 ]
1587624025 ; ( 39845 ) - [ 126 / 155 ]
2371690000 ; ( 48700 ) - [ 154 / 300 ]
2496401296 ; ( 49964 ) - [ 158 / 36 ]
2528178961 ; ( 50281 ) - [ 159 / 281 ]
2924105625 ; ( 54075 ) - [ 171 / 75 ]
3132976729 ; ( 55973 ) - [ 177 / 277 ]
5198410000 ; ( 72100 ) - [ 228 / 100 ]
5616902916 ; ( 74946 ) - [ 237 / 54 ]
6350496100 ; ( 79690 ) - [ 252 / 310 ]
8122515625 ; ( 90125 ) - [ 285 / 125 ]
9985605184 ; ( 99928 ) - [ 316 / 72 ]
249001998001 ; ( 499001 ) - [ 499 / 999 ]
10241440050625 ; ( 3200225 ) - [ 1012 / 225 ]
10547295475600 ; ( 3247660 ) - [ 1027 / 2340 ]
12232366350400 ; ( 3497480 ) - [ 1106 / 2520 ]
14042257290000 ; ( 3747300 ) - [ 1185 / 2700 ]
15252250700569 ; ( 3905413 ) - [ 1235 / 837 ]
15976968294400 ; ( 3997120 ) - [ 1264 / 2880 ]
18036499363600 ; ( 4246940 ) - [ 1343 / 3060 ]
21374440562500 ; ( 4623250 ) - [ 1462 / 750 ]
23073612250000 ; ( 4803500 ) - [ 1519 / 1500 ]
24995610192721 ; ( 4999561 ) - [ 1581 / 439 ]
25027247420176 ; ( 5002724 ) - [ 1582 / 2724 ]
30380490422500 ; ( 5511850 ) - [ 1743 / 650 ]
31648410478864 ; ( 5625692 ) - [ 1779 / 692 ]
36633966760000 ; ( 6052600 ) - [ 1914 / 2600 ]
40965760202500 ; ( 6400450 ) - [ 2024 / 450 ]
48092491265625 ; ( 6934875 ) - [ 2193 / 1125 ]
58660847767369 ; ( 7659037 ) - [ 2422 / 2787 ]
61009002802276 ; ( 7810826 ) - [ 2470 / 1674 ]
81054099030025 ; ( 9003005 ) - [ 2847 / 3005 ]
81567360046225 ; ( 9031465 ) - [ 2856 / 215 ]
85497762250000 ; ( 9246500 ) - [ 2924 / 1500 ]
92172960455625 ; ( 9600675 ) - [ 3036 / 675 ]
92294449000000 ; ( 9607000 ) - [ 3038 / 3000 ]
99982440770884 ; ( 9999122 ) - [ 3162 / 878 ]
1466124176580001 ; ( 38290001 ) - [ 3829 / 8751 ]
2499000199980001 ; ( 49990001 ) - [ 4999 / 9999 ]
[Sergio]

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