Funzione inversa di equazione di 2^ grado

[floppydisco]

Salve a tutti,
ho un piccolo problemino da risolvere (beh se scrivo qui, per me così piccolo non è).
Vorrei sapere come dal titolo la funzione inversa di una equazione di 2^ grado:
dato

y = ax^2+bx+c

noto y, a b e c, quanto vale x?

Grazie in anticipo a tutti coloro che proveranno a rispondermi.

[franco]

Salve a tutti,
ho un piccolo problemino da risolvere (beh se scrivo qui, per me così piccolo non è).
Vorrei sapere come dal titolo la funzione inversa di una equazione di 2^ grado:
dato

y = ax^2+bx+c

noto y, a b e c, quanto vale x?

Grazie in anticipo a tutti coloro che proveranno a rispondermi.

Ciao e benvenuto,

forse se metti la tua equazione nella forma

ax^2+bx+(c-y)=0

il problemino diventa nuovamente piccolo

ciao

[floppydisco]

Franco,
grazie per la dritta.
Proverò a procedere in questo senso.
Ma non escludo di dover chiedere di nuovo aiuto.

Grazie,

[franco]

Chiedi pure quando vuoi,

ciao

[Info]

Quello che chiedi è davvero molto semplice, si comincia facendo la derivata prima dell'equazione per trovare la x del vertice:
$2ax+b=0\Rightarrow x=-\frac{b}{2a}$

riprendendo l'equazione originaria serve portare ad 1 il coefficiente di $x^2$ dividendo tutto per a
$ax^2+bx+(c-y)=0\Rightarrow x^2+\frac{b}{a}x+\frac{c-y}{a}=0$

si prosegue togliendo ad x l'ascissa del vertice (trovata con la derivata prima)
$t=x-\left(-\frac{b}{2a}\right)=x+\frac{b}{2a}\Rightarrow x=t-\frac{b}{2a}$

Bene, nella sostituzione ti accorgerai che il termine in t si azzera, quindi puoi trovare t in funzione di y, a questo punto ricordati che $x=t-\frac{b}{2a}$ e hai risolto il problema

[franco]

Io pensavo di applicare semplicemente la formuletta di risoluzione delle equazioni di secondo grado:



noti a, b, c e y si ricavano i 2 valori di x (reali distinti, coincidenti o complessi).


Info,
tu sicuramente hai pensato qualcos'altro ma sinceramente non sono riuscito a seguirti.

ciao

[Info]

Bhe, Franco, proprio quella volevo farti ricavare... non dice niente una formula buttata li senza che si sappia perchè tale formula è valida...

torno dunque alle mie conclusioni

$\left\{\left(t-\frac{b}{2a}\right)^2+\frac{b}{a}\left(t-\frac{b}{2a}\right)+\frac{c-y}{a}=0\\x=t-\frac{b}{2a}\right.$

lasciamo perdere la seconda condizione e proseguiamo con la prima

$\left(t-\frac{b}{2a}\right)^2+\frac{b}{a}\left(t-\frac{b}{2a}\right)+\frac{c-y}{a}=0 \Rightarrow ...\Rightarrow t=\pm\sqrt{\frac{b^2}{4a^2}-\frac{c-y}{a}}=\pm\sqrt{\frac{b^2-4a(c-y)}{4a^2}}}$

da cui $x=-\frac{b}{2a}+t=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4a(c-y)}}{2a}$
Ecco come si ricava la nota formuletta.

[0-§]

Nella remota ipotesi che qualcuno non conosca il classico metodo del completamento del quadrato...
$\displaystyle ax^2+bx+c$
Sarebbe piacevole avere il quadrato di una funzione lineare in x. Basta aggiungere un termine (opportunamente scelto) a ambo i membri:
$\displaystyle ax^2+bx+\frac {b^2}{4a}+c=\frac {b^2}{4a}$
e quindi
$\displaystyle (\sqrt a x+\frac{b}{2\sqrt a})^2+c=\frac {b^2}{4a}$
Da qui si porta c a secondo membro e si porta a fattor comune, dopodiché si effettua l'estrazione di radice
$\displaystyle \sqrt a x+\frac{b}{2\sqrt a}=\pm\sqrt {\frac{b^2-4ac}{4a}}$
Si porta il termine noto a primo membro al secondo membro (finalmente una equazione di primo grado, in forma normale!) e si semplifica, per poi dividere per il coefficiente del termine in x.
E il gioco è fatto.

Salumi
Zerinf

[Info]

Nella remota ipotesi che qualcuno non conosca il classico metodo del completamento del quadrato...

Bhe, zerinf, devo ammettere che io non lo conoscevo questo metodo...