Filari di somme

[giobimbo]

Una variante del rettangolo di somme. Dati n punti numerati da 1 a n disporli nel piano, in file da 3, in modo da avere il massimo numero di file, rispettando le due condizioni:
1) il punto centrale deve essere la somma dei due numeri agli estremi;
2) data una qualsiasi retta nel piano, non più di tre degli n punti possono giacere su di essa.
Nella figura sotto un esempio con n = 6.

Trovare una disposizione ottimale per n = 11.

[franco]

Questa figura mi sempra rispetti le condizioni date ma non è tanto bella (e ci sono tanti incroci "inutilizzati").



ciao

[giobimbo]

Bene Franco, la soluzione è corretta anche se la fila 4-9-11 non lo è, ma sicuramente si intendeva disegnare la fila 4-7-11. Ci sono 10 filari e si può fare di meglio .

Teoricamente le file possibili sono 22, ma di file rettilinee possibili è stato dimostrato che sono 16 al massimo; questo massimo riguarda però punti anonimi, senza numero, quindi non è detto che siano 16 anche quelle che rispettano la condizione 1 del problema in esame.

[Sancho Panza]

Una soluzione con 11 file
(e racchiusa in un triangolo)

[giobimbo]

Bravo Sancho Panza, siamo arrivati a 11 filari, ma si può fare di meglio .

Una correzione a quanto ho scritto precedentemente. Partendo con 11 pedine col numero uno ottengo sì 66 pedine in tutto, ovvero un rettangolo di 22*3 somme, ma 11 pedine non sono scomponibili in coppie. Considerando gli elementi spaiati risulta allora che teoricamente le file possibili sono solo 20, non 22.

[franco]

Intanto rimetto a posto la prima immagine (come giustamente ha notato Giobimbo avevo fatto un errore trasferendo sul PC lo schizzo fatto a mano):


Ho anche trovato una soluzione con 12 filari:


Immagino che la risposta sarà: "si può fare di meglio".

ciao

[franco]

Mi correggo per primo io:
Ho notato solo ora di aver messo 2 volte il pallino numero 8 (ed infatti i pallini sono 12 anziche 11).

Pazienza, restano 11 filari però stavolta è almeno un bel disegno simmetrico.


ciao

[Sancho Panza]

Guardate come mio figlio ha colorato con Paint la mia soluzione e quella di Franco!

[Gianfranco]

Ciao Sancho,

complimenti a tuo figlio per le colorazioni!
Mi piace l'idea della bandiera italiana.
Se qualcuno gli copia l'idea per il simbolo del 172° partito politico (quello dei Matematici Italiani), mi raccomando di chiedere i diritti d'autore!

Gianfranco

[Sancho Panza]

Grazie Gianfranco (anche a nome di mio figlio),
visto che ti piacciono le colorazioni, la soluzione a 12 file la faccio colorata,
cosi è anche più facile contare le file.

3 blu per il triangolo
5 gialle che formano la stella
4 arancione per completare

3 + 5 + 4 = 12

Nota:
Questa soluzione l'ho trovata ispirandomi alla soluzione di Franco (quindi: grazie Franco)

Hasta la vista,
Sancho Panza

[giobimbo]

Ottima soluzione , ma come diceva Franco, "si può fare di meglio"...