CATALAN
è una sequenza abbastanza nota e che spunta fuori in molti problemi combinatori.
Tra gli esempi citati dal Cresci, quello che mi piace di più è:
in un piano cartesiano, identificare sull'asse x i punti corrispondenti ai numeri pari
Partendo dall'origine, congiungere lo zero ai numeri individuati con un segmento spezzato fatto di trattini diagonali unitari, restando sempre "a nord" dell'asse orizzontale.
In quanti modi differenti è possibile raggiungere 4,6,8,...?
(omettiamo il 2 perchè di sì)
la risposta sta nei numeri di C.
1-2-5-14-42-132-...
probabilità e quadrilateri
Moderatori: Gianfranco, Bruno
Questo forum è una sezione del PORTALE DI BASE CINQUE
Per Enrico:
Io ho fatto simulazioni analoghe a quelle di Franco con queste caratteristiche:
Precisione utilizzata: 9 cifre decimali
Numero di ripetizioni: 50.000
Risultati sperimentali per 10 serie:
1: 49,60%
2: 50,08%
3: 49,85%
4: 50,18%
5: 50,07%
6: 50,14%
7: 49,55%
8: 50,32%
9: 49,93%
10: 49,77%
media di 10 serie: 49,95 %
minimo: 49,55%
massimo: 50,32%
Cose successe mentre giocavo con Excel: nessuna
Per Peppe
Dei numeri di Harshad se ne è già parlato qui: https://www.base5forum.it/viewtopic.php? ... c&&start=5
Io ho fatto simulazioni analoghe a quelle di Franco con queste caratteristiche:
Precisione utilizzata: 9 cifre decimali
Numero di ripetizioni: 50.000
Risultati sperimentali per 10 serie:
1: 49,60%
2: 50,08%
3: 49,85%
4: 50,18%
5: 50,07%
6: 50,14%
7: 49,55%
8: 50,32%
9: 49,93%
10: 49,77%
media di 10 serie: 49,95 %
minimo: 49,55%
massimo: 50,32%
Cose successe mentre giocavo con Excel: nessuna
Per Peppe
Dei numeri di Harshad se ne è già parlato qui: https://www.base5forum.it/viewtopic.php? ... c&&start=5
I numeri di Harshad sono i numeri divisibili per la somma delle loro cifre. Vennero definiti dal matematico indiano, Shri Dattathreya Ramachandra Kaprekar e il loro nome, in Sanscrito, significa “grande gioia”.
Ad esempio, 1729 è un numero di Harshad poiché 1 + 7 + 2 + 9 = 19 e 1729 è divisibile per 19.
[Sergio] / $17$
Kaprekar ha dato il nome anche ad una curiosa procedura che consiste nel disporre le cifre di un numero in ordine ascendente e discendente, e calcolare la differenza dei due numeri ottenuti
ripetere la procedura con il risultato e proseguire fino a che....
Con numeri di quattro cifre si trova sempre un numero, che per puro caso è un numero di Harshad !
(ovviamente escludiamo i numeri monocifra, con i quali il gioco è poco divertente...)
ripetere la procedura con il risultato e proseguire fino a che....
Con numeri di quattro cifre si trova sempre un numero, che per puro caso è un numero di Harshad !
(ovviamente escludiamo i numeri monocifra, con i quali il gioco è poco divertente...)
Enrico
42
- È un numero abbondante, cioè minore della somma dei suoi divisori: 1 + 2 + 3 + 6 + 7 + 14 + 21 = 54 > 42
- È un numero sfenico, cioè è dato dal prodotto di tre fattori primi distinti: 2 · 3 · 7 = 42
- È un numero di Catalan, cioè può essere espresso come $\large \frac{1}{n+1}\left(\begin{array}{c}2n\\n\end{array}\right)$con n intero che in questo caso vale 5
Questi numeri rappresentano un sacco di cose, tra cui:
- il numero di possibili percorsi lungo le linee di una griglia con n × n celle quadrate che non passano sopra alla diagonale (che è quello che ha detto Enrico), esempio con n=4:
- il numero di modi diversi in cui un poligono convesso con n + 2 lati può essere tagliato in triangoli connettendo i vertici con linee diritte, esempio con n = 4:
- il numero di modi per formare una scala di n gradini con n rettangoli, esempio per n = 4:
- È un numero pentadecagonale, cioè può essere espresso come $\large \frac{(s-2)n^2-(s-4)n}{2}$ con s=15 e n=3 (cioè è il terzo numero 15-gonale)
Supponiamo di formare un poligono con dei pallini ed ogni volta aumentare la lunghezza del lato aggiungendo altri pallini. All'inizio (n=1) avremo solo un pallino, al secondo passaggio (n=2) aggiungiamo s-1 pallini ed avremo un totale di s pallini (dove s è il numero di lati del poligono). Al terzo passaggio il numero di pallini aumenta secondo la formula descritta. Esempi per 3, 4, 5 e 6 lati:
- È un numero di Harshad, cioè è divisibile per la somma delle sue cifre: 42 / (4+2) = 7
- È un numero colombiano, cioè non può essere espresso come la somma di un numero naturale e delle sue cifre, in base 10.
Nel caso specifico deve risultare $(10a+b)+a+b \neq 42$ con $a$ e $b$ interi e minori di 10.
Se fosse $11a+2b=42$ sarebbe $a = \frac{42-2b}{11}$ che è intero solo per $b=10\pm11n$
[Sergio] / $17$
-Quanti sono gli alberi (grafi non orientati, connessi e privi di cicli) binari (da ogni nodo si diramano tre spigoli, tranne che per le foglie e per la radice da cui si dirama uno spigolo solo) piani (un albero A è diverso dalla sua immagine speculare A') con n nodi interni (nodi da cui parte più di uno spigolo)?Quelo ha scritto:[*]È un numero di Catalan
-Quanti modi diversi ci sono di valutare la torre di potenze $\displaystyle a_0^{a_1^{a_2^{...^{a_n}}}}$ (a seconda di dove si mettono le parentesi)?
-Date 2n persone sedute a tavola, quanti modi ci sono per far sì che ognuna di loro stringa la mano a una e una sola altra persona, senza che nessuna stretta di mano "intersechi" un'altra (cioè, senza che nessuna coppia di stringitori debba darsi la mano sopra le braccia di un'altra coppia)?
-Quali numeri compaiono al centro del triangolo di Pascal, partendo dall'uno in cima e scendendo in verticale? Ora, cosa succede se dividiamo l'ennesimo numero di tale successione per n?
Et coetera...
Buonanotte a tutti
Zerinf
Lo scopo principale di una dichiarazione DATA è quello di dare dei nomi alle costanti; anziché inserire ogni volta 3.141592653589793 come valore di $\pi$, con una dichiarazione DATA si può assegnare tale valore alla variabile PI che può essere poi usata per indicare la costante. Ciò rende anche più semplice modificare il programma, qualora il valore di $\pi$ dovesse cambiare.
-Da un vecchio manuale FORTRAN della Xerox
-Da un vecchio manuale FORTRAN della Xerox
Ecco la mia soluzione (senza metafisica).
Abbiamo un segmento di lunghezza unitaria diviso in quattro parti: la condizione sufficiente perché non sia possibile chiudere un quadrilatero è che almeno una delle parti sia piu lunga di $1/2$.
Poiché la somma di queste quattro parti vale $1$, nota la lunghezza di tre di esse anche la quarta è determinata: $t\ =\/1\/-\/\left(x\/+\/y\/+\/z\right)$.
Ci concentreremo quindi sulle prime tre (e già i nomi che ho scelto dovrebbere far suonare un campanello).
Rappresentiamo le lunghezze delle tre parti in uno spazio cartesiano $\mathbb{R}^{\script 3}$: ciascuna parte può andare da $0$ a $1$ ma non in modo indipendente: infatti da
$\left\{x\/+\/y\/+\/z\/=\/1\/-\/t\\t\/\in\/\left\[0,1\right]\right.$
segue che
$x\/+\/y\/+\/z\/\in\/\left\[0,1\right]$
Nello spazio cartesiano il punto che identifica la suddivisione può giacere solo nel tetraedro formato dai piani coordinati e dal piano $x\/+\/y\/+\/z\/=\/1$
Inoltre, da $x\/+\/y\/+\/z\/\/1/2$ quindi il piano $x\/+\/y\/+\/z\/=\/1/2$ è il limite inferiore per poter chiudere un quadrilatero
Il quadrilatero non si chiude neanche quando $x\/>\/1/2$: disegnamo il piano $x\/=\/1/2$.
Lo stesso dicasi per le parti $y$ e $z$
Di conseguenza i punti che rappresentano divisioni del segmento che permettono di formare un quadrilatero giacciono all'interno dell'ottaedro formato dall'intersezione dei piani coordinati, del piano $x\/+\/y\/+\/z\/=\/1$ e dei piani $x\/=\/1/2$, $y\/=\/1/2$, $z\/=\/1/2$ e $x\/+\/y\/+\/z\/=\/1/2$
Il rapporto che c'è tra il volume del tetraedro piccolo e del tetraedro grande è uguale a quello che c'è tra il volume del cubo piccolo e del cubo grande: $1/8$. Infatti (vedi figura)
$\frac{t}{c}\/=\/\frac{T}{C}\qquad\Longrightarrow\qquad\frac{t}{T}\/=\/\frac{c}{C}$
Abbiamo quattro tetraedri "sfavorevoli" su otto totali per cui assegnamo la probabilità $p\/\left({\text quad}\/\middle|\/I\right)\/=\/1/2$
Riguardando questa figura
mi sono reso conto che abbiamo un piano parallelo a quelli segnati per ogni valore di $t$, e quindi abbiamo rappresentato anche la quarta parte: dal tetraedro grande dobbiamo togliere un tetraedro piccolo per ogni parte in cui il segmento è suddiviso!
Vediamo che cosa succede con $n\/=\/3$
In questo caso il "tetraedro" è un triangolo al quale va tolto un triangolo piccolo per ognuna delle tre parti ( $x\/+\/y\/\/1/2$).
Il rapporto tra l'area del triangolo piccolo e quella del triangolo grande è uguale a quello tra l'area del quadrato grande e del quadrato piccolo: $1/4$
Assegnamo come probabilità di chiudere il triangolo $p\/\left({\text trian}\/\middle|\/I\right)\/=\/1/4$
Sono partito da questa dimostrazione del problema originale (una dimostrazione incomparabilmente più elementare della mia analisi i quel problema) e la ho estrapolata a tre dimensioni: osservando ancora una volta la figura con i due piani paralleli ho avuto l'illuminazione che la regola vale per tutti gli $n$. Se passiamo a valori di $n\/>\/4$ non facciamo altro che aggiungere dimensioni.
Il numero di ipertetraedri da togliere cresce linearmente mentre il numero di ipercubi di lato $1/2$ necessari per formare un ipercubo di lato $1$ cresce di un fattore $2$ per ogni dimensione aggiunta: il quadrato piccolo si ottiene con due tagli dal quadrato grande
il cubo piccolo si ottiene con tre tagli dal cubo grande
ecc.
Quindi la probabilità di chiudere un $n$-gono spezzando un segmento in $n$ pezzi vale
$p\left(n\text{-gono}\middle|I\right)\/=\/1\/-\/\frac{n}{2^{\script n-1}}$
È istruttivo considerare che cose succede se rappresentiamo il nostro problema in uno spazio $\mathbb{R}^{\script n}$: anziché $\mathbb{R}^{\script n-1}$ (lo possiamo fare agevolmente solo per $n\/=\/3$)
Ora, gli spigoli del cubo unitario che giacciono sugli assi cartesiani rappresentano le tre parti di un segmento diviso in tre
Il vincolo $x\/+\/y\/+\/z\/=\/1$ impone di considerare solo il piano corrispondente
Ora vediamo l'intersezione di tale piano con il piano $x\/=\/1/2$
con il piano $y\/=\/1/2$
con il piano $z\/=\/1/2$
Le tre intersezioni defniscono la parte di piano "favorevole" per la chiusura del triangolo
A voi immaginare un tetraedro come intersezione dei quattro iperpiani $x_{\script i}\/=\/1/2$ con l'iperpiano $\sum{x_{\script i}}\/ = \/ 1$.
Abbiamo un segmento di lunghezza unitaria diviso in quattro parti: la condizione sufficiente perché non sia possibile chiudere un quadrilatero è che almeno una delle parti sia piu lunga di $1/2$.
Poiché la somma di queste quattro parti vale $1$, nota la lunghezza di tre di esse anche la quarta è determinata: $t\ =\/1\/-\/\left(x\/+\/y\/+\/z\right)$.
Ci concentreremo quindi sulle prime tre (e già i nomi che ho scelto dovrebbere far suonare un campanello).
Rappresentiamo le lunghezze delle tre parti in uno spazio cartesiano $\mathbb{R}^{\script 3}$: ciascuna parte può andare da $0$ a $1$ ma non in modo indipendente: infatti da
$\left\{x\/+\/y\/+\/z\/=\/1\/-\/t\\t\/\in\/\left\[0,1\right]\right.$
segue che
$x\/+\/y\/+\/z\/\in\/\left\[0,1\right]$
Nello spazio cartesiano il punto che identifica la suddivisione può giacere solo nel tetraedro formato dai piani coordinati e dal piano $x\/+\/y\/+\/z\/=\/1$
Inoltre, da $x\/+\/y\/+\/z\/\/1/2$ quindi il piano $x\/+\/y\/+\/z\/=\/1/2$ è il limite inferiore per poter chiudere un quadrilatero
Il quadrilatero non si chiude neanche quando $x\/>\/1/2$: disegnamo il piano $x\/=\/1/2$.
Lo stesso dicasi per le parti $y$ e $z$
Di conseguenza i punti che rappresentano divisioni del segmento che permettono di formare un quadrilatero giacciono all'interno dell'ottaedro formato dall'intersezione dei piani coordinati, del piano $x\/+\/y\/+\/z\/=\/1$ e dei piani $x\/=\/1/2$, $y\/=\/1/2$, $z\/=\/1/2$ e $x\/+\/y\/+\/z\/=\/1/2$
Il rapporto che c'è tra il volume del tetraedro piccolo e del tetraedro grande è uguale a quello che c'è tra il volume del cubo piccolo e del cubo grande: $1/8$. Infatti (vedi figura)
$\frac{t}{c}\/=\/\frac{T}{C}\qquad\Longrightarrow\qquad\frac{t}{T}\/=\/\frac{c}{C}$
Abbiamo quattro tetraedri "sfavorevoli" su otto totali per cui assegnamo la probabilità $p\/\left({\text quad}\/\middle|\/I\right)\/=\/1/2$
Riguardando questa figura
mi sono reso conto che abbiamo un piano parallelo a quelli segnati per ogni valore di $t$, e quindi abbiamo rappresentato anche la quarta parte: dal tetraedro grande dobbiamo togliere un tetraedro piccolo per ogni parte in cui il segmento è suddiviso!
Vediamo che cosa succede con $n\/=\/3$
In questo caso il "tetraedro" è un triangolo al quale va tolto un triangolo piccolo per ognuna delle tre parti ( $x\/+\/y\/\/1/2$).
Il rapporto tra l'area del triangolo piccolo e quella del triangolo grande è uguale a quello tra l'area del quadrato grande e del quadrato piccolo: $1/4$
Assegnamo come probabilità di chiudere il triangolo $p\/\left({\text trian}\/\middle|\/I\right)\/=\/1/4$
Sono partito da questa dimostrazione del problema originale (una dimostrazione incomparabilmente più elementare della mia analisi i quel problema) e la ho estrapolata a tre dimensioni: osservando ancora una volta la figura con i due piani paralleli ho avuto l'illuminazione che la regola vale per tutti gli $n$. Se passiamo a valori di $n\/>\/4$ non facciamo altro che aggiungere dimensioni.
Il numero di ipertetraedri da togliere cresce linearmente mentre il numero di ipercubi di lato $1/2$ necessari per formare un ipercubo di lato $1$ cresce di un fattore $2$ per ogni dimensione aggiunta: il quadrato piccolo si ottiene con due tagli dal quadrato grande
il cubo piccolo si ottiene con tre tagli dal cubo grande
ecc.
Quindi la probabilità di chiudere un $n$-gono spezzando un segmento in $n$ pezzi vale
$p\left(n\text{-gono}\middle|I\right)\/=\/1\/-\/\frac{n}{2^{\script n-1}}$
È istruttivo considerare che cose succede se rappresentiamo il nostro problema in uno spazio $\mathbb{R}^{\script n}$: anziché $\mathbb{R}^{\script n-1}$ (lo possiamo fare agevolmente solo per $n\/=\/3$)
Ora, gli spigoli del cubo unitario che giacciono sugli assi cartesiani rappresentano le tre parti di un segmento diviso in tre
Il vincolo $x\/+\/y\/+\/z\/=\/1$ impone di considerare solo il piano corrispondente
Ora vediamo l'intersezione di tale piano con il piano $x\/=\/1/2$
con il piano $y\/=\/1/2$
con il piano $z\/=\/1/2$
Le tre intersezioni defniscono la parte di piano "favorevole" per la chiusura del triangolo
A voi immaginare un tetraedro come intersezione dei quattro iperpiani $x_{\script i}\/=\/1/2$ con l'iperpiano $\sum{x_{\script i}}\/ = \/ 1$.
il panurgo
Principio di Relatività: $\mathbb{m} \not \to \mathbb{M} \, \Longleftrightarrow \, \mathbb{M} \not \to \mathbb{m}$
"Se la montagna non va a Maometto, Maometto NON va alla montagna"
Principio di Relatività: $\mathbb{m} \not \to \mathbb{M} \, \Longleftrightarrow \, \mathbb{M} \not \to \mathbb{m}$
"Se la montagna non va a Maometto, Maometto NON va alla montagna"
-
Admin
- Amministratore del sito
- Messaggi: 870
- Iscritto il: mer apr 20, 2005 3:47 pm
- Località: Benevento
Ciao Pan,
il topic è davvero interessante;
mi spiace non aver avuto tempo per interagire.
Ad ogni modo appena trovo un pò di tempo mi leggo la tua soluzione, e vedo se riesco a postare qualcosa.
Ciao
Admin
il topic è davvero interessante;
mi spiace non aver avuto tempo per interagire.
Ad ogni modo appena trovo un pò di tempo mi leggo la tua soluzione, e vedo se riesco a postare qualcosa.
Ciao
Admin
Pietro Vitelli (Amministratore del Forum)
"Un matematico è una macchina che converte caffè in teoremi" Paul Erdös
www.pvitelli.net
"Un matematico è una macchina che converte caffè in teoremi" Paul Erdös
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Un problema strettamente legato a questo è:
Sono dati $n$ punti su una circonferenza: qual è la probabilità che giacciano sullo stessa semicirconferenza?
Sono dati $n$ punti su una circonferenza: qual è la probabilità che giacciano sullo stessa semicirconferenza?
il panurgo
Principio di Relatività: $\mathbb{m} \not \to \mathbb{M} \, \Longleftrightarrow \, \mathbb{M} \not \to \mathbb{m}$
"Se la montagna non va a Maometto, Maometto NON va alla montagna"
Principio di Relatività: $\mathbb{m} \not \to \mathbb{M} \, \Longleftrightarrow \, \mathbb{M} \not \to \mathbb{m}$
"Se la montagna non va a Maometto, Maometto NON va alla montagna"