Si vuole ricoprire il fondo di una piscina con piastrelle quadrate di 50 cm di lato. le piastrelle sono di due colori , alcune bianche altre blu ma non in numero uguale .
La piscina è rettangolare , non quadrata.
Tutte le piastrelle di uno stesso colore formano un rettangolo centrale; le piastrelle dell'altro colore formano, invece , una bordura di larghezza costante intorno a questo rettangolo .
Tutte le piastrelle sono interne e il fondo della piscina deve essere completamente coperto.
utilizzando lo stesso numero di piastrelle si possono mettere quelle blu al centro e quelle bianche intorno , o viceversa!
Qual'è l'area minima del fondo di questa piscina espressa in decimetri quadrati?
CIAO
Il fondo della piscina
Moderatori: Gianfranco, Bruno
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Il fondo della piscina
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Indichiamo con $b$ e $h$ (interi) le dimensioni della piscina in piastrelle; assumendo che la piscina più piccola possibile abbia la fascia esterna spessa $1$ piastrella abbiamo
$b h \/ = \/ 2 \left (b \/ - \/ 2 \right)\/ \left ( h \/ - \/ 2 \right)$
Risolvendo rispetto a $b$ si ricava
$b \/ = \/ 4 \frac {h - 2} {h - 4}$
per cui $h \/ > \/ 4$; abbiamo
$h \/ = \/ 5 \qquad \Rightarrow \qquad b \/ = \/ 12 \qquad \Rightarrow \qquad A \/ = \/ 15 \, \text{m}^{\script 2}$
e
$h \/ = \/ 6 \qquad \Rightarrow \qquad b \/ = \/ 8 \qquad \Rightarrow \qquad A \/ = \/ 12 \, \text{m}^{\script 2}$
Invece
$h \/ = \/ 7 \qquad \Rightarrow \qquad b \/ = \/ \frac {20} 3 \/ < \/ 7$
e abbiamo finito
$b h \/ = \/ 2 \left (b \/ - \/ 2 \right)\/ \left ( h \/ - \/ 2 \right)$
Risolvendo rispetto a $b$ si ricava
$b \/ = \/ 4 \frac {h - 2} {h - 4}$
per cui $h \/ > \/ 4$; abbiamo
$h \/ = \/ 5 \qquad \Rightarrow \qquad b \/ = \/ 12 \qquad \Rightarrow \qquad A \/ = \/ 15 \, \text{m}^{\script 2}$
e
$h \/ = \/ 6 \qquad \Rightarrow \qquad b \/ = \/ 8 \qquad \Rightarrow \qquad A \/ = \/ 12 \, \text{m}^{\script 2}$
Invece
$h \/ = \/ 7 \qquad \Rightarrow \qquad b \/ = \/ \frac {20} 3 \/ < \/ 7$
e abbiamo finito
il panurgo
Principio di Relatività: $\mathbb{m} \not \to \mathbb{M} \, \Longleftrightarrow \, \mathbb{M} \not \to \mathbb{m}$
"Se la montagna non va a Maometto, Maometto NON va alla montagna"
Principio di Relatività: $\mathbb{m} \not \to \mathbb{M} \, \Longleftrightarrow \, \mathbb{M} \not \to \mathbb{m}$
"Se la montagna non va a Maometto, Maometto NON va alla montagna"
$xy = a_1b_1+2s_1(a_1+b_1+2s_1) = a_2b_2+2s_2(a_2+b_2+2s_2) = a_1b_1+a_2b_2$
$\{x = a_1+2s_1 = a_2+2s_2 \\ y=b_1+2s_1 = b_2+2s_2 \. \/ \to \/ \{a_1=a_2+2s_2-2s_1 \\ b_1=b_2+2s_2-2s_1$
$\{ a_1b_1=(a_2+2s_2-2s_1)(b_2+2s_2-2s_1) \\ a_1b_1=xy-a_2b_2$
$a_2b_2+2a_2s_2-2a_2s_1+2b_2s_2-2b_2s_1+4{s_2}^2-8s_2s_1+4{s_1}^2 = 2a_2s_2+2b_2s_2+4{s_2}^2$
$a_2b_2-2a_2s_1-2b_2s_1-8s_2s_1+4{s_1}^2 = 0$
$a_2 = \large \frac{2b_2s_1-8s_2s_1+4{s_1}^2 }{b_2-2s_1}$
Poniamo $s_1 = 1$ e $s_2 = 2$ (per $s_1 = s_2 = 1$ si ha il caso particolare già illustrato da panurgo, nel quale però le piastrelle blu e bianche sono in numero uguale)
Abbiamo i seguenti casi:
$\{a_2 = 18 \\ b_2 = 3 \. \/ \{a_1 = 20 \\ b_1 = 5 \. \/ \{x = 22 \\ y = 7 \. \/ \to \/ xy = 154$
$\{a_2 = 10 \\ b_2 = 4 \. \/ \{a_1 = 12 \\ b_1 = 6 \. \/ \{x = 14 \\ y = 8 \. \/ \to \/ xy = 112$ che risulta essere il caso minimo
$\{a_2 = \frac{22}{3} \\ b_2 = 5$
$\{a_2 = 6 \\ b_2 = 6 \. \/ \{a_1 = 8 \\ b_1 = 8 \. \/ \{x = 10 \\ y = 10 \. \/ \to \/ xy = 100$ in questo caso però la piscina è quadrata
$\{a_2 = \frac{26}{5} \\ b_2 = 7$
ecc...
L'area minima è 112 x 25 = 2800 dm²
SE&O
[Sergio] / $17$