Un orologio ha 3 lancette: ore, minuti, secondi.
L'orologio ha una precisione di 1/10 di secondo (cioè la lancetta dei secondi compie 10 movimenti in un secondo)
Escludendo mezzogiorno (e mezzanotte), qual è l'arco minimo in cui sono contenute le 3 lancette nel resto della giornata ?
Che ore sono in quel momento ?
L'orologio a 3 lancette
Moderatori: Gianfranco, Bruno
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L'orologio a 3 lancette
[Sergio] / $17$
Concordo con Delfo: l'arco è 3' 21"
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Rettifico, mi è sfuggito uno zero: sono 2157" = 35' 57"
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Rettifico, mi è sfuggito uno zero: sono 2157" = 35' 57"
Ultima modifica di Pasquale il sab feb 09, 2008 3:00 am, modificato 2 volte in totale.
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$\text { }$ciao
ciao
E' la somma che fa il totale (Totò)
$\text { }$ciao
E' la somma che fa il totale (Totò)
Allora, ho ragionato così, immaginando un orologio ideale con 3 ruote dentate:
la prima, con 10 dentini, fa segnare un secondo alla lancetta dei secondi al completamento di un giro, ma la lancetta compie 10 spostamenti; in particolare, ad ogni dente, la lancetta descrive un angolo di 6°/10 = 2160”
la seconda, con 600 dentini, fa segnare un minuto alla lancetta dei minuti dopo un giro, ma allo spostamento di un dentino, equivalente ad 1/10 di secondo, la lancetta descrive un angolo di 6°/600 = 36”
la terza, con 36000 dentini, fa segnare un'ora alla lancetta delle ore dopo un giro, ma allo spostamento di ogni dentino, la lancetta descrive un angolo di 30°/36000=3”
Dopo 1/10 di secondo, tra la lancetta delle ore e quella dei secondi abbiamo un angolo di 2160” – 3” = 2157” con la lancetta dei minuti compresa all'interno.
Ora, dal momento che la lancetta dei secondi è più veloce delle altre due, mentre quella dei minuti è più veloce di quella delle ore, si tratta di vedere se nello scorrere del tempo non venga a determinarsi una situazione con un angolo minore:
in effetti, ad ogni minuto e ad ogni ora, o poco più, le lancette dei secondi e dei minuti effettuano dei sorpassi.
.......alla prossima puntata, su questo schermo.
^^^^^^^^^
Dunque, mi risulterebbe un angolo più piccolo del precedente, esattamente di 1821", che si verificherebbe alle $3^h 16^m 16^s,032$ circa e nuovamente dopo 12 ore, o più precisamente 117763 decimi di secondo dopo le 24, o dopo le 12.
Calcolo effettuato con piccolo programma al p.c. in riferimento al ragionamento fatto sopra.
Sul quadrante dell'orologio, procedendo in senso orario, si vedrebbero in sequenza la lancetta dei minuti, poi quella dei secondi e quindi quella delle ore, con le seguenti angolazioni rispetto alle 12:
97° 37' 48"
97° 48"
98° 8' 9"
la prima, con 10 dentini, fa segnare un secondo alla lancetta dei secondi al completamento di un giro, ma la lancetta compie 10 spostamenti; in particolare, ad ogni dente, la lancetta descrive un angolo di 6°/10 = 2160”
la seconda, con 600 dentini, fa segnare un minuto alla lancetta dei minuti dopo un giro, ma allo spostamento di un dentino, equivalente ad 1/10 di secondo, la lancetta descrive un angolo di 6°/600 = 36”
la terza, con 36000 dentini, fa segnare un'ora alla lancetta delle ore dopo un giro, ma allo spostamento di ogni dentino, la lancetta descrive un angolo di 30°/36000=3”
Dopo 1/10 di secondo, tra la lancetta delle ore e quella dei secondi abbiamo un angolo di 2160” – 3” = 2157” con la lancetta dei minuti compresa all'interno.
Ora, dal momento che la lancetta dei secondi è più veloce delle altre due, mentre quella dei minuti è più veloce di quella delle ore, si tratta di vedere se nello scorrere del tempo non venga a determinarsi una situazione con un angolo minore:
in effetti, ad ogni minuto e ad ogni ora, o poco più, le lancette dei secondi e dei minuti effettuano dei sorpassi.
.......alla prossima puntata, su questo schermo.
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Dunque, mi risulterebbe un angolo più piccolo del precedente, esattamente di 1821", che si verificherebbe alle $3^h 16^m 16^s,032$ circa e nuovamente dopo 12 ore, o più precisamente 117763 decimi di secondo dopo le 24, o dopo le 12.
Calcolo effettuato con piccolo programma al p.c. in riferimento al ragionamento fatto sopra.
Sul quadrante dell'orologio, procedendo in senso orario, si vedrebbero in sequenza la lancetta dei minuti, poi quella dei secondi e quindi quella delle ore, con le seguenti angolazioni rispetto alle 12:
97° 37' 48"
97° 48"
98° 8' 9"
Ultima modifica di Pasquale il sab feb 09, 2008 2:56 pm, modificato 1 volta in totale.
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$\text { }$ciao ciao
E' la somma che fa il totale (Totò)
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E' la somma che fa il totale (Totò)
Arrivo in ritardo, ma visto che ci ho lavorato ieri sera (senza potermi connettere in rete), posto comunque il mio ragionamento che arriva alla stessa soluzione di Pasquale (ed alla sua simmetrica: 8:43:43,7).
......................
Innanzitutto premetto che ho interpretato il quesito nel senso che tutte le lancette fanno un passo avanti ogni decimo di secondo:
la lancetta dei secondi avanza a passi di 360/600=0,6° ed alle H:M:S,D forma un angolo:
σ=(10S+D)*360/600=6S+3D/5
la lancetta dei minuti avanza di 360/36000=0,01° ed alle ore H:M:S,D forma un angolo:
μ=(M+S/60+D/600)*360/60=6M+S/10+D/100
la lancetta delle ore di 360/432000=0,00083333…° ed alle ore H:M:S,D forma un angolo:
ξ=(H+M/60+S/3600+D/36000)*360/12=30H+M/2+*S/120+D/1200
Tutto ciò premesso, parto col considerare un orologio con le sole lancette delle ore e dei minuti e con movimento “continuo”.
μ=6M ξ=30H+M/2
μ=ξ= → 6M=30H+M/2 → M=60H/11
Le lancette su sovrappongono quando sono le ore:
0:00 esatte (ma questo caso è esplicitamente escluso)
1:05 circa
2:11 circa
3:16 circa
4:21 circa
5:27 circa … e così via (gli altri orari sono “simmetrici”)
Adesso ragioniamo sulle sole lancette dei minuti e dei secondi: è intuitivo notare che si sovrappongono approssimativamente quanto il numero dei minuti è uguale a quello dei secondi: ad esempio le due lancette sono sovrapposte alle HH:19’:19” virgola qualcosa.
Unendo le due considerazioni precedenti, sempre con l’ipotesi che avevo fatto di lancette che non si muovono a scatti ma in continuo, le tre lancette saranno più o meno sovrapposte alle:
1:05:05,x
2:11:11,x
3:16:16,x
4:21:21,x
5:27:27,x (tralascio sempre gli altri orari simmetrici)
Per finire mi metto quindi nella condizione delle lancette che avanzano a scatti ogni decimo di secondo.
Mi basta calcolare (con excel) gli angoli σ, μ e ξ nelle posizioni sopraindicate per x=D compreso fra 0 e 9 e vedere in corrispondenza di quali valori di D i tre valori sono più raggruppati:
1:05:05,4 (2,005°)
2:11:11,0 (1,508°)
3:16:16,3 (0,506°)
4:21:21,7 (2,511°)
5:27:27,3 (1,003°)
L’angolo più “stretto” in assoluto si ha alle 3:16:16,3 (e, simmetricamente, alle 8:43:43,7).
Per curiosità ho calcolato anche l’angolo fra le lancette un decimo di secondo dopo (o prima) della mezzanotte (la soluzione proposta da Enrico):
0:00:00,1 (0,599°)
E’ più ampio di quello corrispondente alle soluzioni trovate in precedenza!
......................
ciao
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Innanzitutto premetto che ho interpretato il quesito nel senso che tutte le lancette fanno un passo avanti ogni decimo di secondo:
la lancetta dei secondi avanza a passi di 360/600=0,6° ed alle H:M:S,D forma un angolo:
σ=(10S+D)*360/600=6S+3D/5
la lancetta dei minuti avanza di 360/36000=0,01° ed alle ore H:M:S,D forma un angolo:
μ=(M+S/60+D/600)*360/60=6M+S/10+D/100
la lancetta delle ore di 360/432000=0,00083333…° ed alle ore H:M:S,D forma un angolo:
ξ=(H+M/60+S/3600+D/36000)*360/12=30H+M/2+*S/120+D/1200
Tutto ciò premesso, parto col considerare un orologio con le sole lancette delle ore e dei minuti e con movimento “continuo”.
μ=6M ξ=30H+M/2
μ=ξ= → 6M=30H+M/2 → M=60H/11
Le lancette su sovrappongono quando sono le ore:
0:00 esatte (ma questo caso è esplicitamente escluso)
1:05 circa
2:11 circa
3:16 circa
4:21 circa
5:27 circa … e così via (gli altri orari sono “simmetrici”)
Adesso ragioniamo sulle sole lancette dei minuti e dei secondi: è intuitivo notare che si sovrappongono approssimativamente quanto il numero dei minuti è uguale a quello dei secondi: ad esempio le due lancette sono sovrapposte alle HH:19’:19” virgola qualcosa.
Unendo le due considerazioni precedenti, sempre con l’ipotesi che avevo fatto di lancette che non si muovono a scatti ma in continuo, le tre lancette saranno più o meno sovrapposte alle:
1:05:05,x
2:11:11,x
3:16:16,x
4:21:21,x
5:27:27,x (tralascio sempre gli altri orari simmetrici)
Per finire mi metto quindi nella condizione delle lancette che avanzano a scatti ogni decimo di secondo.
Mi basta calcolare (con excel) gli angoli σ, μ e ξ nelle posizioni sopraindicate per x=D compreso fra 0 e 9 e vedere in corrispondenza di quali valori di D i tre valori sono più raggruppati:
1:05:05,4 (2,005°)
2:11:11,0 (1,508°)
3:16:16,3 (0,506°)
4:21:21,7 (2,511°)
5:27:27,3 (1,003°)
L’angolo più “stretto” in assoluto si ha alle 3:16:16,3 (e, simmetricamente, alle 8:43:43,7).
Per curiosità ho calcolato anche l’angolo fra le lancette un decimo di secondo dopo (o prima) della mezzanotte (la soluzione proposta da Enrico):
0:00:00,1 (0,599°)
E’ più ampio di quello corrispondente alle soluzioni trovate in precedenza!
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ciao
Franco
ENGINEER
noun. (en-juh-neer)
someone who does precision guesswork based on unreliable data provided by those of questionable knowledge.
See also wizard, magician
ENGINEER
noun. (en-juh-neer)
someone who does precision guesswork based on unreliable data provided by those of questionable knowledge.
See also wizard, magician
se andate a rileggere quello che go scritto, avrete la prova della mia....lungimiranza.
La mia non era una "proposta" ma una ipotesi "possibile"
Ricordo di aver volutamente usato la forma dubitativa, per "correttezza logica", anche se magari ero intimamente propenso a considerare poco probabile
La mia non era una "proposta" ma una ipotesi "possibile"
Ricordo di aver volutamente usato la forma dubitativa, per "correttezza logica", anche se magari ero intimamente propenso a considerare poco probabile
Enrico