A colpo d'occhio

[Br1]

Sapete che $\,$ 78502725751 $\,$ è una quinta potenza perfetta.

Avete a disposizione SOLO carta e penna e poca voglia di far
divisioni o moltiplicazioni: come cerchereste la base di questa
potenza, magari in due e due quattro ?


Buon fine settimana a tutti

[Venom88]

io per trovarla ho notato che la cifra delle unità è 1 e nessun numero dispari elevato alla quinta da come cifra delle unità 1 almeno che non sia un numero dispari che abbia gia come cifra delle unità 1, poi ho notato che la cifra delle decine della quinta potenza è 5, a questo punto ho scoperto che se noi vogliamo sapere qual è la cifra delle decine di un numero dispari che ha come cifra delle unità 1 elevato ad una qualsiasi potenza si fa così:
chiamiamo x la cifra delle decine del numero dispari che conosciamo e a quelle che vogliamo sapere ed n la potenza
$a_0=x$
$a_n=x + a_{n-1} -10$
da questo risulta che solo 5 o 7 potrebbero essere dei candidati
quindi ho provato a modificare la mia formula con questa
$a_0=x$
$a_n=2a_{n-1}$
sono sicuro che la cifra delle centinaia e delle decine si può ottenere facendo la differenza tra il risultato che otteniamo e quello che abbiamo ottenuto prima facendolo si vede che il numero che da 75 è 5, sicuramente ci sarà una relazione che lega la cifra delle centinaia del numero da elevare con quella della potenza ma siccome so che le potenze di 101 sono 10201, 1030301, 104060401, 10510100501 e questo numero è più piccolo di 78502725751 e quest'ultimo è più piccolo di 320000000000 che sarebbe 200 alla quinta implica che la
cifra delle centinai che ci manca è 1 quindi
$151^5=78502725751$

[franco]

Simpatico!

Anche senza carta e penna (stavo guidando) avevo potuto rendermi conto che qualsiasi numero elevato alla quinta potenza mantiene invariata l'ultima cifra ma poi ho aspettato di essere a casa per riguardare il "numeraccio" ed ho trovato la risposta di Venom88.

Questa storia però potrebbe continuare.
Come dicevo ho trovato (facendo le moltiplicazioni a mente) che:
xxx0^5=yyy0
xxx1^5=yyy1
xxx2^5=yyy2
...
xxx9^5=yyy9
Naturalmente questo è valido con numeri in base 10.
Sarà possibile generalizzare per numeri in base qualunque?

ciao

[Br1]

Carissimi, non ho capito

Ammetto che sto leggendo un po' di corsa, ma se mi sono perso
quasi subito c'è forse qualche ragione.

Sono sicuro, Venom88, che tu abbia le idee ben chiare su ciò
che hai fatto usando solo carta e penna, però non sono riuscito
a cogliere interamente il significato delle tue argomentazioni e
quindi ti chiedo se sei disposto a spiegarmi (spiegarci) il tuo
metodo con qualche altra parola.

Per quanto riguarda il tuo intervento, Franco, non ho capito
se:
1) hai prima fatto la constatazione mentale sull'ultima cifra
(formidabile!) e poi hai elaborato (sempre senza carta e penna?)
la stessa spiegazione di Venom88;
2) ti sei fermato a quella constatazione e non sei più andato
avanti, avendo trovato il post di Venom (?).

Non brillo, pare, per perspicacia

Il problema, comunque, ammette anche altre esplorazioni.

Buonanotte!


..........
Piesse - Ricordo che lo stesso Gianfranco s'interrogò sulla
questione non facile cui accenna Franco, e lo fece in questo
topic del 2006.

[delfo52]

io che ho poca dimestichezza con i modi più o meno convenzionali; ho visto il post iniziale, e ho visto che c'erano già molte risposte.
prima di leggerle, ho provato a fare un paio di conti, ma ho scoperto di aver ragionato in modo inverso a Venom.
Invece di partire dalle unità, con calcoli "precisi", mi sono incamminato nell'approssimazione.
- un numero di 11 cifre può essere quinta potenza solo di un numero di tre cifre
Se la cifra delle centinaia fosse 2. le undici cifre sarebbero poche, quindi il numero cercato è del tipo 1xx.
Per cercare la seconda cifra, vado per approssimazione, cominciando con 150 e limitandomi alle cifre più significative
15-225-333(circa)-500-750
(ho approssimato la terza potenza per facilitarmi i passi successivi)
il numero cercato pertanto è 15x.
A questo punto mi sono stancato e ho letto Venom: se fossimo stati insieme, avremmo fatto prestissimo (uno da destra, uno da sinistra...)

[franco]

Carissimi, non ho capito
........
Per quanto riguarda il tuo intervento, Franco, non ho capito
se:
1) hai prima fatto la constatazione mentale sull'ultima cifra
(formidabile!) e poi hai elaborato (sempre senza carta e penna?)
la stessa spiegazione di Venom88;
2) ti sei fermato a quella constatazione e non sei più andato
avanti, avendo trovato il post di Venom (?).
..........

Per quanto mi riguarda è la seconda che hai detto, ho visto le soluzione ed a quel punto non sono andato oltre.
Anch'io però, come te, ho qualche difficoltà a capire il ragionamento che Venom ha scritto.

La constatazione mentale non è poi così difficile da fare.
Io ho considerato che x^5=x^2*x^2*x focalizzandomi sull'ultima cifra;
ad esempio, per 7 e per 8 viene:
7^5=49*49*7=81*7=7
8^5=64*64*8=16*8=48

ciao

[Venom88]

prima di tutto vorrei dire che quando ho provato a trovare il numero che elevato alla quinta dava 78502725751 non avevo a mia disposizione ne carta e ne penna, ho fatto tutto a mente, appena sono arrivato alla conclusione che quel numero non poteva che essere 151 ho controllato con la calcolatrice ed ho visto che avevo ragione.ho provato a spiegare il modo in cui ho ragionato ed ho scritto quelle formule...ritornando a casa mi sono accorto che quelle formule sono sbagliatissime...ora mi trovo nel bel mezzo di una crisi perchè non so quale siano le formule che mi hanno portato a trovare la soluzione ma sono sicuro che sono molto simili a quelle e che possono essere generalizzate a qualsiasi potenza...cercherò di trovarle e non appena ci sarò riuscito le posterò...chiedo scusa per le cavolate che ho scritto prima.

[Pasquale]

Si vede subito a mente che trattasi di un numero a 3 cifre che inizia e termina con 1; infatti:

il più grande numero di 2 cifre è 99, quasi 100, e $100^5$ è formato da un 1 e dieci zeri, per un totale di 11 cifre, per cui $99^5$ ha meno di 11 cifre;

il più piccolo numero di 4 cifre è 1000 e la sua quinta potenza genera un numero da 16 cifre;

abbiamo visto che 100 genera un numero di 11 cifre ed osserviamo che il più piccolo numero di 3 cifre iniziante per 2 (200), poiché 2^5=32, genererebbe un numero di 12 cifre, per cui il nostro numero può iniziare solo con 1;

si trova subito che anche l'ultima cifra deve essere 1; infatti, esaminando solo i numeri dispari, escluso ovviamente il 5, notiamo che $1^n$ genera come ultima cifra sempre 1, mentre 3,7,9 generano 1 alla potenza 4k e se stessi alla quinta; questo si trova facilmente sempre a mente, lavorando solo sulle ultime cifre:

3*3=9; 9*3=7; 7*3=1; 1*3=3
7*7=9; 9*7=3; 3*7=1; 1*7=7
9*9=1; 1*9=9; 9*9=1; 1*9=9

Dunque la nostra potenza sarà del tipo $1x1^5$, o meglio $(1x0+1)^5$ e ponendo 1x0=a, andremo a calcolare $(a+1)^5$, che sappiamo essere:


$\displaystyle {5\choose 0}a^5 + {5\choose 1}a^4 + {5\choose 2}a^3 + {5\choose 3}a^2 + {5\choose 4}a^1 + {5\choose 5}a^0$ , cioè una somma del tipo

b00000 +
_c0000
__d000
___e00
.____f0
_____1

in cui f dovrà giocoforza terminare per 5, quale penultima cifra del nostro numerone.

Notiamo che f0=5a e che, se nella somma in colonna poniamo 5a al posto di f0, essendo a=1x0, non facciamo altro che sostituire f0 con un numero che termina per 50, a patto che sia x dispari.

A questo punto so che il mio numero può essere 111, 131, 151, 171 o 191:

non è difficile calcolare a mente, aiutandosi magari con le dita di una mano, la loro quinta potenza in modulo 9 e vediamo che solo quella del 151 è uguale al modulo 9 del numerone (4).

^^^^^^^^^^^^^^^
Vorrei aggiungere, a piccola modifica e precisazione, che senza ricorrere al calcolo binomiale, anche se semplice e praticabile a mente, avrei potuto estendere la ricerca, con il modulo 9 e senza carta e penna, a tutti i numeri di 3 cifre inizianti e terminanti con 1 (101, 111, ...., 191).
Una volta visto che il nostro N(umerone) = 4 (mod 9), vediamo le corrispondenze in modulo 9 di tutti i numeri del tipo 1x1 da 101 a 191, che corrispondono a:

$\text 101^5 = 2^5 = 5\\ 111^5 = 3^5 = 0\\ 121^5 = 4^5 = 7\\ 131^5 = 5^5 = 2\\ 141^5 = 6^5 = 0\\ 151^5 = 7^5 = 4\\ 161^5 = 8^5 = 8\\ 171^5 = 0^5 = 0\\ 181^5 = 1^5 = 1\\ 191^5 = 2^5 = 5$

vediamo che solo la potenza di 151 è uguale al Numerone (sempre in modulo 9).

A titolo di esempio, il calcolo a mente lo faccio così:

7*7=49=4; 4*7=28=1; 1*7=7; 7*7=49=4

[delfo52]

bellissimo !
abbiamo almeno tre percorsi !

[Sancho Panza]

Dopo aver stabilito che il numero termina sicuramente con la cifra 1, proseguo cosi:

$[tex]$141^2 141^4 141^510^6
(Quindi 16^5 è formato da almeno 7 cifre, per cui 160^5 è formato da almeno 12 cifre)

Quindi 160^5 essendo formato da almeno 12 cifre è maggiore di 78502725751




L'unico numero X che termini con la cifra 1 nell'intervallo: 141<X<160 è il numero 151

Hasta luego,
Sancho Panza

[Br1]

Bravissimi

Domani, se trovo qualche minuto, vi scrivo
la mia idea

[Br1]

prima di tutto vorrei dire che quando ho provato a trovare il numero che elevato alla quinta dava 78502725751 non avevo a mia disposizione ne carta e ne penna, ho fatto tutto a mente, appena sono arrivato alla conclusione che quel numero non poteva che essere 151 ho controllato con la calcolatrice ed ho visto che avevo ragione.ho provato a spiegare il modo in cui ho ragionato ed ho scritto quelle formule...ritornando a casa mi sono accorto che quelle formule sono sbagliatissime...ora mi trovo nel bel mezzo di una crisi perchè non so quale siano le formule che mi hanno portato a trovare la soluzione ma sono sicuro che sono molto simili a quelle e che possono essere generalizzate a qualsiasi potenza...cercherò di trovarle e non appena ci sarò riuscito le posterò...chiedo scusa per le cavolate che ho scritto prima.

Nessun problema, Venom, non preoccuparti. Appena sei
pronto, scrivi pure il tuo percorso, noi ti aspettiamo

La constatazione mentale non è poi così difficile da fare.
Io ho considerato che x^5=x^2*x^2*x focalizzandomi sull'ultima cifra;
ad esempio, per 7 e per 8 viene:
7^5=49*49*7=81*7=7
8^5=64*64*8=16*8=48

Sì, certo, non è difficile, ma resto dell'idea che sia formidabile
riuscire a mentenere la concentrazione nella guida e a fare
quel genere di constatazioni numeriche.
Io rischio anche in autobus, da passeggero... nel senso che
non mi accorgo della fermata a cui devo scendere e così mi
tocca correre per tornare indietro!
Mi sarebbe piaciuto, però, vedere una tua risoluzione completa



La mia idea tocca alcuni punti già descritti da voi.

Provo a riassumerla (faccio per dire, perché di solito le
mie spiegazioni ingigantiscono la sostanza!).

Innanzitutto, ho cercato di limitare il numero e ho trovato
che:

$160^5 \,>\, 10^{11} \,>\, 78502725751$

con un ragionamento molto simile a quello di Sancho e
utilizzando il fatto che:

$2^7 \,=\, 128 \,>\, 5^3 \,= \,125$

Partendo da qui e con pochissimi passaggi, si può stabilire
la disuguaglianza fra la potenza di 160 e quella di 10.

D'altra parte, vediamo subito che:

$78502725751 \,>\, 100^5\,=\, 10^{10}$.

Se 78502725751 è la quinta potenza di un numero intero,
pertanto, la base è compresa fra 160 e 100. Un risultato
molto meno accurato di quello (ottimo) di Sancho, ma mi
basta per trarre le mie conclusioni.

Che la cifra terminante della base possa essere soltanto 1,
naturalmente, lo sapevo già, avendo trattato in passato
questa proprietà in varie salse (una delle quali indicata nel
post di Gianfranco che ho richiamato più sopra, ma ci sono
anche arrivato con le constatazioni di Franco).

Quindi ho scritto, come ha fatto Pasquale, lo sviluppo della
quinta potenza di $\small \,(10h+1)^5\,$ e ho messo in evidenza che
senz'altro:

$(10h+1)^5 \,\equiv\, 50h+1 \;\pmod{1000}$.

Nel nostro caso, sappiamo che $\small \,50h+1 \,<\, 1000$, dal momento
che $\small \,10h+1 \,<\, 160$.

Ultimo passo.

A me basta solo riconoscere che 750 (ossia la parte terminale
della nostra potenza meno l'unità) è 15 volte 50, per poter
dire che 15·10+1 = 151 è l'unico intero che, elevato a 5, possa
restituire il numero proposto.

[delfo52]

vedo che il ventaglio di approcci è davvero vario.
Trovo molto brillante l'escamotage di usare 1,4142...x 100 come termine intermedio.
Come ho accennato, io sono andato molto più su termini grossolani (100-150-200), usando l'approssimazione.
A nessuno di voi è venuto in mente di "provare" a mente (o a occhio) 150 ?
moltiplicare per 1,5 non è molto complesso.