Una clessidra è formata da due coni circolari retti uguali e, per semplicità , diciamo l'altezza è 1 e il diametro 2.
I due coni sono posti verticalmente uno sull'altro con i vertici che si toccano e consideriamo nullo il pertugio da cui un fluido può passare dal cilindro superiore a quello inferiore.
Il tempo di travaso del fluido dal cilindro superiore a quello inferiore è di 10 minuti
Se il cilindro superiore è riempito completamente di fluido a che altezza dovrò mettere una tacca sul cilindro inferiore per sapere quando sono trascorsi 5 minuti?
CIAO
La clessidra
Moderatori: Gianfranco, Bruno
Questo forum è una sezione del PORTALE DI BASE CINQUE
in altre parole,
dato un triangolo rettangolo isoscele con cateti 1 (se lo metti verticale appoggiato su un cateto e lo facciamo ruotare attorno al cateto verticale, otteniamo mezza clessidra), dobbiamo dividerlo in due con un segmento orizzontale; se guardiamo la parte trapezoidale piena d'acqua il lavoro è piuttosto complesso, ma se guardiamo il triangolo rettangolo isoscele più piccolo che rimane sopra, le cose vano via lisce...(o liscie?)
dato un triangolo rettangolo isoscele con cateti 1 (se lo metti verticale appoggiato su un cateto e lo facciamo ruotare attorno al cateto verticale, otteniamo mezza clessidra), dobbiamo dividerlo in due con un segmento orizzontale; se guardiamo la parte trapezoidale piena d'acqua il lavoro è piuttosto complesso, ma se guardiamo il triangolo rettangolo isoscele più piccolo che rimane sopra, le cose vano via lisce...(o liscie?)
Enrico
Con riferimento alla figura
il volume di fluido nel comparto superiore al tempo zero vale
$V \/ \left ( 0 \right ) \/ = \/ \frac \pi 3 \/ \left ( \frac b 2 \right)^{\script 2} \/ h$
Ovvero, dato che
$\frac b h \/ = \/ \frac B H \/ = \/ 2 \/ \tan \vartheta$
dove $\vartheta$ è l'angolo di apertura del cono, il volume vale
$V \/ \left ( 0 \right ) \/ = \/ \frac \pi 3 \/ \left ( \frac B {2H} \right)^{\script 2} \/ h^{\script 3}$
Assumendo un flusso costante metà tempo corrisponde a metà volume: il volume del tronco di cono a metà tempo vale
$V \/ \left ( \frac t 2 \right ) \/ = \/ \frac \pi 3 \/ \left ( \frac B 2 \right)^{\script 2} \/ H \/ - \/ \frac \pi 3 \/ \left ( \frac x 2 \right)^{\script 2} \/ y$
Cioè, sempre tenendo conto delle proporzionalità tra le dimensioni dei coni
$V \/ \left ( \frac t 2 \right ) \/ = \/ \frac \pi 3 \/ \left ( \frac B {2H} \right)^{\script 2} \/ \left (H^{\script 3} \/ - \/ y^{\script 3} \right ) \/ = \/ \frac 1 2 \/ V \/ \left ( 0 \right ) \/ = \/ \frac \pi 3 \/ \left ( \frac B {2H} \right)^{\script 2} \/ \frac {h^{\script 3}} 2$
Semplificando ed esplicitando la $y$ si ottiene
$y^{\script 3} \/ = \/ H^{\script 3} \/ - \/ \frac {h^{\script 3}} 2 \qquad \rightarrow \qquad y \/ = \/ \sqr[\script 3]{ H^{\script 3} \/ - \/ \frac {h^{\script 3}} 2 }$
La quantità di interesse è
$H \/ - \/ y \/ = \/ H \/ - \/ \sqr[\script 3]{ H^{\script 3} \/ - \/ \frac {h^{\script 3}} 2 }$
È interessante notare che tale quantità non dipende dall'angolo di apertura del cono: esprimendola in proporzione ad $H$ si ha
$\frac {H - y} H \/ = \/ 1 \/ - \/ \sqr[\script 3]{ 1 \/ - \/ \frac {h^{\script 3}} {2 H^{\script 3}} }$
e, nel caso in cui $h \/ = \/ H$, si ha
$\frac {H - y} H \/ = \/ 1 \/ - \/ \frac 1 {\sqr[\script 3]{2}}$
il volume di fluido nel comparto superiore al tempo zero vale
$V \/ \left ( 0 \right ) \/ = \/ \frac \pi 3 \/ \left ( \frac b 2 \right)^{\script 2} \/ h$
Ovvero, dato che
$\frac b h \/ = \/ \frac B H \/ = \/ 2 \/ \tan \vartheta$
dove $\vartheta$ è l'angolo di apertura del cono, il volume vale
$V \/ \left ( 0 \right ) \/ = \/ \frac \pi 3 \/ \left ( \frac B {2H} \right)^{\script 2} \/ h^{\script 3}$
Assumendo un flusso costante metà tempo corrisponde a metà volume: il volume del tronco di cono a metà tempo vale
$V \/ \left ( \frac t 2 \right ) \/ = \/ \frac \pi 3 \/ \left ( \frac B 2 \right)^{\script 2} \/ H \/ - \/ \frac \pi 3 \/ \left ( \frac x 2 \right)^{\script 2} \/ y$
Cioè, sempre tenendo conto delle proporzionalità tra le dimensioni dei coni
$V \/ \left ( \frac t 2 \right ) \/ = \/ \frac \pi 3 \/ \left ( \frac B {2H} \right)^{\script 2} \/ \left (H^{\script 3} \/ - \/ y^{\script 3} \right ) \/ = \/ \frac 1 2 \/ V \/ \left ( 0 \right ) \/ = \/ \frac \pi 3 \/ \left ( \frac B {2H} \right)^{\script 2} \/ \frac {h^{\script 3}} 2$
Semplificando ed esplicitando la $y$ si ottiene
$y^{\script 3} \/ = \/ H^{\script 3} \/ - \/ \frac {h^{\script 3}} 2 \qquad \rightarrow \qquad y \/ = \/ \sqr[\script 3]{ H^{\script 3} \/ - \/ \frac {h^{\script 3}} 2 }$
La quantità di interesse è
$H \/ - \/ y \/ = \/ H \/ - \/ \sqr[\script 3]{ H^{\script 3} \/ - \/ \frac {h^{\script 3}} 2 }$
È interessante notare che tale quantità non dipende dall'angolo di apertura del cono: esprimendola in proporzione ad $H$ si ha
$\frac {H - y} H \/ = \/ 1 \/ - \/ \sqr[\script 3]{ 1 \/ - \/ \frac {h^{\script 3}} {2 H^{\script 3}} }$
e, nel caso in cui $h \/ = \/ H$, si ha
$\frac {H - y} H \/ = \/ 1 \/ - \/ \frac 1 {\sqr[\script 3]{2}}$
il panurgo
Principio di Relatività: $\mathbb{m} \not \to \mathbb{M} \, \Longleftrightarrow \, \mathbb{M} \not \to \mathbb{m}$
"Se la montagna non va a Maometto, Maometto NON va alla montagna"
Principio di Relatività: $\mathbb{m} \not \to \mathbb{M} \, \Longleftrightarrow \, \mathbb{M} \not \to \mathbb{m}$
"Se la montagna non va a Maometto, Maometto NON va alla montagna"
Sembra così anche a me.
Prendendo il volume del cono superiore formato
dal fluido rimasto dopo 5 minuti ed eguagliandolo al
volume del tronco di cono inferiore formato dal fluido
già passato (scritto rispetto ai raggi delle due basi
mediante una formula nota), si ricava l'altezza del
cono e quindi l'altezza della tacca rispetto alla base
della clessidra.
Se H è l'altezza totale di ciascuno dei due coni, h
è quella che raggiunge il fluido nel cono superiore
dopo 5 minuti, r ed R sono i raggi in corrispondenza
di h e H, da:
⅓ п (H-h)[(hR/H)²+R²+(hR/H)R] = ⅓ п R² (H³-h³) / H²
e
⅓ п (hR/H)² h
si ottiene $\,$ h³ = ½H³ $\,$ e poi $\,$ H-h (l'altezza della tacca
rispetto alla base della clessidra).
Ora, se 1 è l'altezza totale della clessidra, allora H = ½
e $\;H-h \,=\, \frac12 - \frac 12 \cdot \frac{1}{\sqr[3]{2}}$.
Se invece 1 è l'altezza di ciascun cono, si trova:
$H-h \,=\, 1 - \frac{1}{\sqr[3]{2}}$.
(Salvo strafalcioni.)
Prendendo il volume del cono superiore formato
dal fluido rimasto dopo 5 minuti ed eguagliandolo al
volume del tronco di cono inferiore formato dal fluido
già passato (scritto rispetto ai raggi delle due basi
mediante una formula nota), si ricava l'altezza del
cono e quindi l'altezza della tacca rispetto alla base
della clessidra.
Se H è l'altezza totale di ciascuno dei due coni, h
è quella che raggiunge il fluido nel cono superiore
dopo 5 minuti, r ed R sono i raggi in corrispondenza
di h e H, da:
⅓ п (H-h)[(hR/H)²+R²+(hR/H)R] = ⅓ п R² (H³-h³) / H²
e
⅓ п (hR/H)² h
si ottiene $\,$ h³ = ½H³ $\,$ e poi $\,$ H-h (l'altezza della tacca
rispetto alla base della clessidra).
Ora, se 1 è l'altezza totale della clessidra, allora H = ½
e $\;H-h \,=\, \frac12 - \frac 12 \cdot \frac{1}{\sqr[3]{2}}$.
Se invece 1 è l'altezza di ciascun cono, si trova:
$H-h \,=\, 1 - \frac{1}{\sqr[3]{2}}$.
(Salvo strafalcioni.)
Bruno
non sono riuscito a seguire.
A parte che rileggendo meglio il testo non ho capito neanche a quali cilindri si fa riferimento. e non ho nemmeno capito se l'angolo di inclinazione dei bordi e l'altezza residua nel contenitore superiore sono grandezze da prendere in considerazione.
Se non ci addentriamo in problemi di fisica e dinamica dei fluidi, e restiamo in geometria, io ho ragionato così, come ho cercato di spiegare anche prima.
Invece del cono prendo in esame il triangolo rettangolo generatore del cono stesso (cateti 1 e 1; ipotenusa 1,4142...).
il volume del cono nel suo complesso e della parte di esso riempita ai vari livelli sono direttamente correlati all'area del triangolo e delle parti in cui esso viene diviso da un segmento orizzontale, corrispondente al livello raggiunto dal liquido.
Quando tale segmento è pari a 0,707... cioè a metà di radicedi2, il triangolo risulta diviso in un triangolo più piccolo in alto con cateti pari a radicedi2/2 e un trapezio sotto. Le due figure hanno area congruente e pari a metà del triangolo totale.
Dove ho sbagliato ?
A parte che rileggendo meglio il testo non ho capito neanche a quali cilindri si fa riferimento. e non ho nemmeno capito se l'angolo di inclinazione dei bordi e l'altezza residua nel contenitore superiore sono grandezze da prendere in considerazione.
Se non ci addentriamo in problemi di fisica e dinamica dei fluidi, e restiamo in geometria, io ho ragionato così, come ho cercato di spiegare anche prima.
Invece del cono prendo in esame il triangolo rettangolo generatore del cono stesso (cateti 1 e 1; ipotenusa 1,4142...).
il volume del cono nel suo complesso e della parte di esso riempita ai vari livelli sono direttamente correlati all'area del triangolo e delle parti in cui esso viene diviso da un segmento orizzontale, corrispondente al livello raggiunto dal liquido.
Quando tale segmento è pari a 0,707... cioè a metà di radicedi2, il triangolo risulta diviso in un triangolo più piccolo in alto con cateti pari a radicedi2/2 e un trapezio sotto. Le due figure hanno area congruente e pari a metà del triangolo totale.
Dove ho sbagliato ?
Enrico
scusate l'ignoranza !
stando così le cose, mi sembra che l'altezza cercata per il cono libero che resta sopra il trapezioide debba essere radiceterza di 0,5.
magari ciò è equivalente alla formula proposta da voi...
oppure sono di nuovo su una cattiva strada
(ho un bel coraggio a parlare di cose che non conosco...)
stando così le cose, mi sembra che l'altezza cercata per il cono libero che resta sopra il trapezioide debba essere radiceterza di 0,5.
magari ciò è equivalente alla formula proposta da voi...
oppure sono di nuovo su una cattiva strada
(ho un bel coraggio a parlare di cose che non conosco...)
Enrico
Credo che la risposta di Panurgo (e Bruno) sarebbe corretta se si potesse considerare il flusso d'acqua costante nel tempo; ho però qualche ricordo di meccanica dei fluidi che mi porterebbe ad considerare invece il flusso proporzionale al battente...
Le cose si complicano!
Le cose si complicano!
Franco
ENGINEER
noun. (en-juh-neer)
someone who does precision guesswork based on unreliable data provided by those of questionable knowledge.
See also wizard, magician
ENGINEER
noun. (en-juh-neer)
someone who does precision guesswork based on unreliable data provided by those of questionable knowledge.
See also wizard, magician
In effetti, Franco, sul presupposto della costanza
del flusso si basano le risposte di Guido e mia.
Però mi fai venire un dubbio... peraltro i miei ricordi
di meccanica dei fluidi risalgono a moltimolti anni fa
e sono rimasti pressoché intonsi nel tempo!
Caro mio, passo la palla: è meglio che mi dedichi a
qualche questione aritmetica o geometrica o magari
a una delle mie visioni grafiche
Piesse per Enrico - Mi sembra che il riferimento ai cilindri
sia una svista, data la descrizione fornita della clessidra.
Ma anche in questo caso potrei aver preso l'otto per
il diciotto...
del flusso si basano le risposte di Guido e mia.
Però mi fai venire un dubbio... peraltro i miei ricordi
di meccanica dei fluidi risalgono a moltimolti anni fa
e sono rimasti pressoché intonsi nel tempo!
Caro mio, passo la palla: è meglio che mi dedichi a
qualche questione aritmetica o geometrica o magari
a una delle mie visioni grafiche
Piesse per Enrico - Mi sembra che il riferimento ai cilindri
sia una svista, data la descrizione fornita della clessidra.
Ma anche in questo caso potrei aver preso l'otto per
il diciotto...
Bruno
Non per niente le clessidre si fanno con la sabbia! Avrai notato che ho esplicitato l'ipotesi che rende il problema trattabile in modo elementare: a questo proposito è interessante considerare gli orologi ad acqua (di origine egizia) che consistevano in un serbatoio con un foro: venivano utilizzati per esempio per stabilire il tempo dato a ciascun oratore nei dibattiti e non erano tarati per tempi inferiori così come non sono tarate le clessidre che vengono fornite con alcuni giochi di società.franco ha scritto:Credo che la risposta di Panurgo (e Bruno) sarebbe corretta se si potesse considerare il flusso d'acqua costante nel tempo; ho però qualche ricordo di meccanica dei fluidi che mi porterebbe ad considerare invece il flusso proporzionale al battente...
Le cose si complicano!
Comunque, la diminuzione di quota è circa il 20% dell'altezza totale della colonna per cui la pressione non diminuisce molto e l'attrito del fluido nella strozzatura dovrebbe essere sufficiente a mantenere costante il flusso (con buona approssimazione)
il panurgo
Principio di Relatività: $\mathbb{m} \not \to \mathbb{M} \, \Longleftrightarrow \, \mathbb{M} \not \to \mathbb{m}$
"Se la montagna non va a Maometto, Maometto NON va alla montagna"
Principio di Relatività: $\mathbb{m} \not \to \mathbb{M} \, \Longleftrightarrow \, \mathbb{M} \not \to \mathbb{m}$
"Se la montagna non va a Maometto, Maometto NON va alla montagna"
A naso avevo una mezza idea della soluzione ma non sono riuscito a sviluppare un procedimento per metterla in chiaro. (non ho molto tempo in questo periodo e neppure molta dimestichezza con gli integrali 
)
Allora ho provato a vedere se i conti tornavano utilizzando Excel:
Ho diviso la il cono superiore della clessidra in 200 cilindretti di diametro decrescente, rapportato il flusso in uscita all'altezza del battente imponendo il tempo totale = 10 min, verificato a che altezza corrispondeva un tempo progressivo di 5 min.
Morale della favola, dopo 5 minuti l'altezza nel cono inferiore risulta pari a:
$h = 1 - {1 \over {\sqrt 2 }}$
Era appunto dove volevo arrivare: alla soluzione proposta da Enrico!
ciao
)Allora ho provato a vedere se i conti tornavano utilizzando Excel:
Ho diviso la il cono superiore della clessidra in 200 cilindretti di diametro decrescente, rapportato il flusso in uscita all'altezza del battente imponendo il tempo totale = 10 min, verificato a che altezza corrispondeva un tempo progressivo di 5 min.
Morale della favola, dopo 5 minuti l'altezza nel cono inferiore risulta pari a:
$h = 1 - {1 \over {\sqrt 2 }}$
Era appunto dove volevo arrivare: alla soluzione proposta da Enrico!
ciao
Franco
ENGINEER
noun. (en-juh-neer)
someone who does precision guesswork based on unreliable data provided by those of questionable knowledge.
See also wizard, magician
ENGINEER
noun. (en-juh-neer)
someone who does precision guesswork based on unreliable data provided by those of questionable knowledge.
See also wizard, magician
Una volta "forzata" la cassaforte (ed Excel è sempre un buon apriscatole) anche la traduzione in espressioni matematiche risulta più semplice.
Il tempo T necessario per svuotare il cono superiore è:
$T = \int_0^H {{{{\pi \over 3}r^2 dh} \over {Kh}}}$
Il numeratore rappresenta il volume ed il denominatore la portata (proporzionale al battente)
I dati forniti da Ronfo sono r = h, H = 1 e T=10 quindi
$T = \int_0^1 {{{\pi h} \over {3K}}} dh = {\pi \over {6K}}$
$K = {{60} \over \pi }$
Il tempo t generico per arrivare ad un dato battente y vale:
$t = \int_0^y {{\pi \over {3K}}hdh} = \int_0^y {20hdh} = 10y^2$
$t = 5 \to y = {1 \over {\sqrt 2 }}$
Ed infine l'altezza nel cono inferiore sarà:
$x = 1 - y = 1 - {1 \over {\sqrt 2 }}$
(il tutto se non ho sbagliato!)
ciao
Il tempo T necessario per svuotare il cono superiore è:
$T = \int_0^H {{{{\pi \over 3}r^2 dh} \over {Kh}}}$
Il numeratore rappresenta il volume ed il denominatore la portata (proporzionale al battente)
I dati forniti da Ronfo sono r = h, H = 1 e T=10 quindi
$T = \int_0^1 {{{\pi h} \over {3K}}} dh = {\pi \over {6K}}$
$K = {{60} \over \pi }$
Il tempo t generico per arrivare ad un dato battente y vale:
$t = \int_0^y {{\pi \over {3K}}hdh} = \int_0^y {20hdh} = 10y^2$
$t = 5 \to y = {1 \over {\sqrt 2 }}$
Ed infine l'altezza nel cono inferiore sarà:
$x = 1 - y = 1 - {1 \over {\sqrt 2 }}$
(il tutto se non ho sbagliato!)
ciao
Franco
ENGINEER
noun. (en-juh-neer)
someone who does precision guesswork based on unreliable data provided by those of questionable knowledge.
See also wizard, magician
ENGINEER
noun. (en-juh-neer)
someone who does precision guesswork based on unreliable data provided by those of questionable knowledge.
See also wizard, magician