Venerquiz

[Br1]

Uno

Fra i quadrati perfetti di quattro cifre, individuare quelli
in cui le prime due cifre siano uguali fra loro e siano fra
loro uguali anche le rimanenti.


Due

Una lepre è inseguita da un cane. Ha un vantaggio di 90
salti e fa 5 salti nel tempo in cui il cane ne fa 4.
Sappiamo che 7 salti della lepre equivalgono a 5 salti del
cane.
Quanti salti deve fare il cane per raggiungere la lepre?


Tre

Quali sono le radici non nulle di $\,\tan\,x\,+\,\tan\,5x \,=\, 0\,$?


Quattro

Due poligoni non intrecciati hanno complessivamente 20
lati e 74 diagonali.
Quanti lati ha ciascuno di essi?


Cinque

Il quadrato di ogni termine della seguente successione:

$\small 24,\,26,\, 56,\, 186,\, 536,\, 1274,\, 2616,\, 4826,\, 8216,\, 13146,\, 20024,\, 29306,\, 41496,\, 57146,\, ...$

può essere rappresentato mediante la somma di 5 quadrati.
Naturalmente, si può fare a meno di utilizzare dei quadrati
costanti nelle rappresentazioni.



A presto

[elgiovo]

Problema 3: si ha che

$\displaystyle \tan (nx) = \frac{\tan [(n-1)x] + \tan x}{1-\tan [(n-1)x] \tan x}$

quindi, ad esempio,

$\displaystyle \tan (5x) = \frac{\tan (4x) + \tan x}{1-\tan (4x) \tan x}$.

Sostituendo $\tan x = t$ e iterando il procedimento, si ottiene l'equazione in $t$:

$t + \frac{t(t^4-10t^2+5)}{5t^4-10t^2+1}= \frac{2t(t^2-3)(3t^2-1)}{5t^4-10t^2+1}=0$

Le soluzioni si ottengono allora da $2\tan x(\tan^2 x -3)(3\tan ^2 x-1)=0$,

e sono $\left( \frac{ \pi }{6} +k \pi , \frac{ \pi }{3} +k \pi, \frac{2 }{3} \pi +k \pi, \frac{5}{6} \pi +k \pi, \pi +k \pi \right)$, $k \in \mathbb{Z}$.

[elgiovo]

Problema 4: il numero di diagonali di un poligono con $n$ lati è ${n \choose 2} -n$ (si toglie infatti il numero di lati).
Quindi si deve risolvere il sistema

$\left\{ \begin{array}{c} {n \choose 2} -n + {m \choose 2} -m= 74\\ m+n=20 \end{array} \right.$

che restituisce facilmente la coppia $(8,12)$.

[elgiovo]

Problema 2: possiamo rappresentare la legge oraria di preda e predatore attraverso due "rette", la cui pendenza è la velocità di ciascuno.
Dai dati del problema si desume che, se la velocità della lepre $v_l$ è 5 salti di lepre per unità di tempo, ovvero $5l$ allora la velocità del cane è $4c=4 \cdot \frac{7}{5} l=\frac{28}{5} l$.

Dunque si deve risolvere il sistema

$\left\{ \begin{array}{c} d=5 l t + 90 l\\ d=\frac{28}{5}l t \end{array}\right.$

da cui il cane raggiungerà la lepre dopo $840$ salti di lepre, che equivalgono a $600$ salti di cane.

[delfo52]

per 1)
iniziamo a sfoltire il campo: sia il campo di partenza che quello di arrivo.
I numeri da elevare al quadrato possono stare tra 32 e 99; e possiamo subito escludere i due estremi (32 al quadrato è noto e 99 al quadrato non può iniziare nè con 99 nè con 88).
I quadrati finiscono solo in 1-4-5-6 o 9, per cui possiamo limitarci ai numeri di quattro cifre terminanti in -11 -44 -55 -66 -99
quelli in -55 possiamo escluderli. infatti solo i quadrati di numeri terminanti in -5 finiscono in 5, ma sono obbligati a finire in -25
ciò ci fa escludere dai numeri di partenza anche 35-45-55-65-75-85-95

per ora basta

[Pasquale]

Notiamo che un quadrato di 4 cifre $k^2$ può essere generato nell’intervallo 31<k<100 e che inoltre deve essere:

$1000a + 100a + 10b + b = k^2$

$b = \frac{k^2}{11} - 100a$

Dunque, il nostro $k^2$ di 4 cifre deve essere divisibile per 11, ma anche k deve esserlo e dovendosi trovare nell’intervallo 31<k<100, abbiamo che:

k=33, 44, 55, 66, 77, 88, 99

da cui:

$k^2 = 1089, 1936, 3025, 4356, 5929, 7744, 9801$

fra cui uno solo è il quadrato con le caratteristiche richieste.

[Sancho Panza]

Dopo Enrico e Pasquale, vi propongo anch'io un metodo risolutivo per il problema 1

Lemma del Problema 1

Un numero di quattro cifre in cui le prime due cifre siano uguali fra loro e siano fra
loro uguali anche le rimanenti è sicuramente divisibile per 11, in quanto la somma delle cifre in posizione pari risulta uguale alla somma delle cifre in posizione dispari.
Per poter essere un quadrato perfetto deve quindi essere divisibile per 121

Soluzione

Dividendo il numero iniziale per 11 ottengo un numero avente la forma: 100*a+b
dove a e b sono cifre (cioè numeri interi compresi tra 0 e 9)
Siccome il risultato deve essere ancora divisibile per 11 (in quanto il numero iniziale era divisibile per 121), si ha che deve essere (a + b) = 11

Dividendo per 11, si troverà un numero avente somma delle cifre uguale a:$\frac{{11}}{{11}}$=1
Cioè, un numero che diviso per 9 da un resto uguale a 1

Questo numero dovrà essere un quadrato perfetto, per fare in modo che il numero iniziale di quattro cifre sia un quadrato perfetto
Inoltre deve essere compreso tra 9 e 82, per fare in modo che moltiplicato per 121 formi un numero di 4 cifre

L'unico quadrato perfetto compreso tra 9 e 82 che diviso per 9 da un resto uguale a 1 è il numero 64,.
Quindi la soluzione è 64*121=7744

Hasta luego,

Sancho Panza

[delfo52]

da cui si deduce che i due numeri richiesti, oltre alla dote richiesta da Br1, hanno un'altra interessantissima proprietà:
se scritti con "font" appropriato, cioè con le due pance dll'8 uguali, con il 7 scritto così (cioè senza la sbarretta di taglio orizzontale) e con il 4 scritto invece in modo un po' scarso e scarno...; se scritti così, rendono l'operazione leggibile anche a testa sotto, o se preferite dai due lati di un tavolo senza dover girare il foglio !!!
88x88=7744

(qualcuno magari è in grado di farlo apparire con il 4 acconciamente trasformato)

[Br1]

Bravissimi!


L'ultimo quiz è certamente un po' più difficile
ma (secondo me) molto molto carino


Per Enrico - Senz'altro ti riferivi a qualcosa
del genere:

[Br1]

Cinque

Il quadrato di ogni termine della seguente successione:

$\small 24,\,26,\, 56,\, 186,\, 536,\, 1274,\, 2616,\, 4826,\, 8216,\, 13146,\, 20024,\, 29306,\, 41496,\, 57146,\, ...$

può essere rappresentato mediante la somma di 5 quadrati.
Naturalmente, si può fare a meno di utilizzare dei quadrati
costanti nelle rappresentazioni.

Up

[Pasquale]

Vedo che fremi e allora diamo una spintarella.

Il problema si potrebbe ridurre alla ricerca dei 4 quadrati in cui ogni numero può essere espresso, se ho capito bene quanto ho letto circa la congettura di Bachet dimostrata nel 1770 da Lagrange.

Se così fosse, per qualsiasi n della successione avremmo:

$n^2 = (a+b)^2 = a^2 + (2ab + b^2)$

e si tratterebbe di cercare i 4 quadrati in cui è possibile suddividere il termine in parentesi (mi pare che il teorema prevede anche la possibilità di utilizzare 0^2)

Ad ogni modo, nel caso di 24, fa niente se i quadrati sono sei?

$24^2 = 16^2 + 8^2 + 8^2 + 8^2 + 8^2 + 8 ^2$

altrimenti mi fermo a 5:

$24^2 = 21^2 + 11^2 + 3^2 + 2^2 + 1^2$

$26^2 = 23^2 + 11^2 + 4^2 + 3^2 + 1^2$

$56^2 = 53^2 + 10^2 + 3^2 + 1^2 + 1^2$



per somma di 5 quadrati, si intende quella aritmetica, o anche quella algebrica?

[Br1]

Sì, Pasquale, la somma va intesa in senso aritmetico e i
quadrati da cercare sono proprio cinque e direi non nulli
o costanti.

Ok: nelle tre rappresentazioni che hai trovato si può
cogliere una regola? o possono essere trovate altre somme
accomunate da una stessa regola? Qualcosa che sia
ampliabile anche a tutti gli altri infiniti numeri della sequenza
che ho abbozzato?

[Pasquale]

No Bruno, avevo appena iniziato ad esaminare il caso e poi mi sono fermato, proprio perché se non vai alla ricerca di una regola generale da applicare alla successione, è inutile andare avanti, se non per passatempo.

[Quelo]

Giusto per passatempo...

$24^2=21^2+11^2+3^2+2^2+1^2$

$26^2=23^2+12^2+1^2+1^2+1^2$

$56^2=53^2+18^2+1^2+1^2+1^2$

$186^2=183^2+33^2+4^2+1^2+1^2$

$536^2=533^2+55^2+13^2+3^2+2^2$

$1274^2=1271^2+87^2+8^2+1^2+1^2$

$2616^2=2613^2+125^2+7^2+3^2+2^2$

$4826^2=4823^2+169^2+19^2+4^2+3^2$

$8216^2=8213^2+222^2+1^2+1^2+1^2$

$13146^2=13143^2+280^2+19^2+9^2+5^2$

$20024^2=20021^2+346^2+19^2+7^2+3^2$

$29306^2=29303^2+419^2+16^2+3^2+1^2$

$41496^2=41493^2+498^2+29^2+11^2+1^2$

$57146^2=57143^2+585^2+25^2+4^2+1^2$

Per il momento l'unico schema che ho trovato è che il primo addendo è il quadrato di n-3, mentre il secondo è il piu' grande quadrato minore di $n^2-(n-3)^2$ (ad eccezione di 536 e 4826)

[Pasquale]

Direi che la questione è leggermente tosta, se non viene un'idea fulminante.
Il problema è che, a parte i quadrati di 4,5,6, per i quali esiste una sola possibilità di suddivisione in 5 quadrati, al crescere dei numeri, le possibilità crescono a dismisura e diventa difficile rigirarvisi.
In sostanza, il problema non è quello di trovare i 5 quadrati, perché dato un numero se ne trovano a bizzeffe, ma piuttosto di capire innanzitutto la regola della successione di numeri data da Bruno, o quella dei loro quadrati.
Spero che la successione non sia stata costruita partendo dalle somme dei 5 quadrati, perché sarebbe veramente difficile venirne a capo, considerato che già il 24 ha una bella quantità di diverse somme di quadrati.

Non mi è chiaro peraltro quanto dice Bruno in chiusura:

Naturalmente, si può fare a meno di utilizzare dei quadrati costanti nelle rappresentazioni.

Comunque, sempre a titolo di passatempo: