Due cilindri circolari si intersecano ad angolo retto (vedi figura allegata).
Se ogni cilindro ha raggio unitario , qual'è il volume dell'intersezione dei due cilindri( figura ombreggiata).
Chi vuole può cimentarsi a trovare il volume di tre cilindri che si intersecano ortogonalmente sempre con raggio unitario.
CIAO
I cilindri che si intersecano
Moderatori: Gianfranco, Bruno
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I cilindri che si intersecano
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Mi risulta, approssimativamente:
per 2 cilindri: 5,33
per 3 cilindri: 4,68
(dopo vari ripensamenti, dal momento che ho lavorato su concetti approssimativi, come piace ad Enrico, con strumenti che piacciano a Gianfranco e pure a me, propendo più per questa soluzione...forse apporterò qualche piccola correzione, aumentando le cifre decimali)
Ecco:
2 cilindri: 5,3333
3 cilindri: 4,6864
Se non ho preso un abbaglio, penso che il calcolo, fino a 3 o 4 cifre decimali, dovrebbe essere abbastanza preciso (staremo a vedere).
per 2 cilindri: 5,33
per 3 cilindri: 4,68
(dopo vari ripensamenti, dal momento che ho lavorato su concetti approssimativi, come piace ad Enrico, con strumenti che piacciano a Gianfranco e pure a me, propendo più per questa soluzione...forse apporterò qualche piccola correzione, aumentando le cifre decimali)
Ecco:
2 cilindri: 5,3333
3 cilindri: 4,6864
Se non ho preso un abbaglio, penso che il calcolo, fino a 3 o 4 cifre decimali, dovrebbe essere abbastanza preciso (staremo a vedere).
Ultima modifica di Pasquale il dom gen 06, 2008 7:16 pm, modificato 2 volte in totale.
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$\text { }$ciao
ciao
E' la somma che fa il totale (Totò)
$\text { }$ciao
E' la somma che fa il totale (Totò)
[...]Due cilindri circolari si intersecano ad angolo retto [...]
Noto con piacere che io e ronfo abbiamo qualcosa che ci accomuna...
I cilindri che si intersecano.
[...]Una delle maggiori scoperte di Archimede fu l'anticipazione di alcune idee fondamentali del calcolo superiore. [...]
Non continuo per lasciare agli altri il piacere di scoprire cosa ci accomuna (oltre Base5) ...senza fare il... guastafeste!
Peppe
Assolutamente no, PasqualePasquale ha scritto: Se non ho preso un abbaglio...
Non so come tu abbia fatto, ma i valoriinoltre ha scritto:dopo vari ripensamenti, dal momento che ho lavorato su concetti approssimativi, come piace ad Enrico, con strumenti che piacciano a Gianfranco e pure a me, propendo più per questa soluzione...
approssimati sono proprio quelli - giusto
una lievissimissima differenza sul secondo.
Certo, come dicevo più sopra, con un po' di
analisi si trovano entrambi i risultati, però
quello che hai scritto mi fa pensare che la
tua strada non sia questa.
Non so se avrò modo di tornare nei prossimi
giorni; comunque, quando capiterà, leggerei
con piacere il tuo procedimento
Per quel che ricordo, i tuoi approcci hanno
sempre qualcosa di originale e istruttivo.
A presto!
Bruno
Non credo, si tratta solo di calcolo, considerati i miei striminziti mezzi cognitivi:
in pratica ho calcolato il rapporto fra i volumi delle intersezioni di cui trattiamo ed il volume del cubo circoscritto (naturalmente con l'ausilio di Decimal Basic); insomma ho messo su un piccolissimo e semplicissimo programmino che mi ha sfornato i risultati.
in pratica ho calcolato il rapporto fra i volumi delle intersezioni di cui trattiamo ed il volume del cubo circoscritto (naturalmente con l'ausilio di Decimal Basic); insomma ho messo su un piccolissimo e semplicissimo programmino che mi ha sfornato i risultati.
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$\text { }$ciao ciao
E' la somma che fa il totale (Totò)
$\text { }$ciao
E' la somma che fa il totale (Totò)
Si Peppe abbiamo qualcosa in comune infatti la fonte da cui ho ricavato il problema è la stessa.
Pasquale ha dato la risposta esatta; vorrei però far notare che ciò che mi appassiona della matematica non è tanto il risultato in se quanto la strategia utilizzata per raggiungerlo , anche perchè questa non sempre è univoca .
Riporto qui sotto la soluzione ( che ritengo di una semplicità disarmante) che ho trovato nel volume 4 di enigmi e giochi matematici di Martin Gardner.
"" Immaginiamo una sfera di raggio unitario interna al volume comune ai due cilindri e avente il centro nel punto in cui si intersecano gli assi dei due cilindri.
Immaginiamo di tagliare la sfera e i cilindri con un piano passante per il centro della sfera e per entrambe gli assi dei cilindri ( figura a sinistra); la sezione trasversale del volume comune ai cilindri sarà un quadrato mentre la sezione trasversale della sfera sarà un cerchioi inscritto al quadrato.
Supponiamo ora che i cilindri e la sfera siano divisi da un piano parallelo al precedente ma che tagli solo una piccola porzione di ciascun cilindro ( figura a destra). Cio produrra su ciascun cilindro delle tracce parallele , che si intersecano come prima, in modo da formare una sezione quadrata del volume comune a entrambe i cilindri . Come prima , la sezione della sfera sarà un cerchio inscritto nel quadrato.
Non è difficile vedere che qualsiasi sezione piana parallela agli assi dei cilindri avrà sempre lo stesso risultato.
Pensiamo tutte queste sezioni piane riunite insieme come le pagine di un libro .
E' chiaro che il volume della sfera sarà la somma di tutte le sezioni circolari e il volume del solido comune ad entrambe i cilindri sarà la somma di tutte le sezioni quadrate .
Se ne conclude perciò che il rapporto del volume della sfera a volume del solido comune ai cilindri è lo stesso che il rapporto dell'area del cerchio all'area del quadrato circoscritto.
Chiamando con x il volume del solido avremo
( 4Pir^3/3)/x= pi/4
ove con pi intendo pi greco e con r il raggio( di valore unitario )
quindi passando ai numeri si ottiene per x un valore di 16/3
proprio come quello di Pasquale.
CIAO
Pasquale ha dato la risposta esatta; vorrei però far notare che ciò che mi appassiona della matematica non è tanto il risultato in se quanto la strategia utilizzata per raggiungerlo , anche perchè questa non sempre è univoca .
Riporto qui sotto la soluzione ( che ritengo di una semplicità disarmante) che ho trovato nel volume 4 di enigmi e giochi matematici di Martin Gardner.
"" Immaginiamo una sfera di raggio unitario interna al volume comune ai due cilindri e avente il centro nel punto in cui si intersecano gli assi dei due cilindri.
Immaginiamo di tagliare la sfera e i cilindri con un piano passante per il centro della sfera e per entrambe gli assi dei cilindri ( figura a sinistra); la sezione trasversale del volume comune ai cilindri sarà un quadrato mentre la sezione trasversale della sfera sarà un cerchioi inscritto al quadrato.
Supponiamo ora che i cilindri e la sfera siano divisi da un piano parallelo al precedente ma che tagli solo una piccola porzione di ciascun cilindro ( figura a destra). Cio produrra su ciascun cilindro delle tracce parallele , che si intersecano come prima, in modo da formare una sezione quadrata del volume comune a entrambe i cilindri . Come prima , la sezione della sfera sarà un cerchio inscritto nel quadrato.
Non è difficile vedere che qualsiasi sezione piana parallela agli assi dei cilindri avrà sempre lo stesso risultato.
Pensiamo tutte queste sezioni piane riunite insieme come le pagine di un libro .
E' chiaro che il volume della sfera sarà la somma di tutte le sezioni circolari e il volume del solido comune ad entrambe i cilindri sarà la somma di tutte le sezioni quadrate .
Se ne conclude perciò che il rapporto del volume della sfera a volume del solido comune ai cilindri è lo stesso che il rapporto dell'area del cerchio all'area del quadrato circoscritto.
Chiamando con x il volume del solido avremo
( 4Pir^3/3)/x= pi/4
ove con pi intendo pi greco e con r il raggio( di valore unitario )
quindi passando ai numeri si ottiene per x un valore di 16/3
proprio come quello di Pasquale.
CIAO
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Effettivamente per risolvere questo problema si può fare a meno degli integrali (prima di scoprire una soluzione più intelligente mi ritrovavo a integrare cose non simpatiche) e lasciare spazio al principio di Cavalieri, proprio come fa Martin Gardner. Sulla stessa scia, si potrebbe calcolare il volume dell'intersezione di tre cilindri ortogonali...
Io le cose le ho viste in modo simile fino ad un certo punto, dopo aver notato che le intersezioni di due e tre cilindri erano inscrivibili in un cubo di lato 2:
Nel disegno sotto, il centro del cubo da 2x2x2 coincide con l'origine degli assi x,y,z ed il disegno riporta solo mezzo cubo diviso in 4 parti; l'altro mezzo cubo bisogna immaginarlo proiettato verso l'osservatore;
il piano x,y, oltre il cubo, seziona il cilindro la cui altezza giace su z e di cui vediamo la sezione circolare di raggio 1;
sulle altre due facce visibili del cubo, possiamo notare le sezioni semicircolari degli altri due cilindri ortogonali, anch'esse di raggio 1;
in alto a destra, a tratti continui, vediamo un ottavo di cubo recante su tre facce un quarto di cerchio, ciascuno parte della sezione di un cilindro.
Dunque, ho pensato di calcolare contemporaneamente il volume dell'intersezione di 2 cilindri ed il volume dell'intersezione di 3 cilindri, attraverso il calcolo del rapporto esistente fra ciascuno di essi ed il volume noto del cubo ( 8 ).
Per semplicità e per una maggiore precisione, ho effettuato il calcolo su un ottavo di cubo, in quanto in termini di rapporto, il risultato non cambia rispetto all'intero cubo, considerate le simmetricità, ma per spiegarmi meglio, parlerò del procedimento come applicato all'intero cubo.
Allora, ho generato una moltitudine di punti nello spazio racchiuso dal cubo, in modo casuale, come a volerlo riempire: ho pensato che tali punti, se in quantità considerevole, sarebbero andati a posizionarsi in modo uniforme, ottenendo un cubo omogeneo di maggiore o minore densità, secondo la quantità di punti distribuiti al suo interno-
E' evidente che tali punti sono andati a posizionarsi (nell'ambito del cubo) parte all'interno delle intersezioni dei cilindri e parte all'esterno; quindi non ho dovuto fare altro che contare la quantità di punti posizionati all'interno delle intersezioni e calcolarne il rapporto rispetto alla totalità dei punti generati; ho pensato che tale rapporto dovesse essere lo stesso fra i volumi delle intersezioni ed il volume del cubo, che poiché noto, risolve il problema.
Da tali ragionamenti scaturisce il seguente programma in Decimal Basic:
LET i2=0 !punti interni all'intersezione fra 2 cilindri
LET i3=0 !punti interni all'intersezione fra 3 cilindri
LET n=10^9
RANDOMIZE
FOR m= 1 TO n
LET x=RND
LET y=RND
LET z=RND
LET a=SQR(x^2+y^2)
LET b=SQR(z^2+y^2)
LET c=SQR(x^2+z^2)
IF a<=1 AND b<=1 THEN LET i2=i2+1
IF a<=1 AND b<=1 AND c<=1 THEN LET i3=i3+1
NEXT M
PRINT "v2=";8*i2/n
PRINT "v3=";8*i3/n
Per vederlo lavorare, porre n=10^6 (si otterrà una precisione alla seconda cifra decimale); per una maggiore precisione, ma aspettando parecchio, lasciare 10^9
Nel disegno sotto, il centro del cubo da 2x2x2 coincide con l'origine degli assi x,y,z ed il disegno riporta solo mezzo cubo diviso in 4 parti; l'altro mezzo cubo bisogna immaginarlo proiettato verso l'osservatore;
il piano x,y, oltre il cubo, seziona il cilindro la cui altezza giace su z e di cui vediamo la sezione circolare di raggio 1;
sulle altre due facce visibili del cubo, possiamo notare le sezioni semicircolari degli altri due cilindri ortogonali, anch'esse di raggio 1;
in alto a destra, a tratti continui, vediamo un ottavo di cubo recante su tre facce un quarto di cerchio, ciascuno parte della sezione di un cilindro.
Dunque, ho pensato di calcolare contemporaneamente il volume dell'intersezione di 2 cilindri ed il volume dell'intersezione di 3 cilindri, attraverso il calcolo del rapporto esistente fra ciascuno di essi ed il volume noto del cubo ( 8 ).
Per semplicità e per una maggiore precisione, ho effettuato il calcolo su un ottavo di cubo, in quanto in termini di rapporto, il risultato non cambia rispetto all'intero cubo, considerate le simmetricità, ma per spiegarmi meglio, parlerò del procedimento come applicato all'intero cubo.
Allora, ho generato una moltitudine di punti nello spazio racchiuso dal cubo, in modo casuale, come a volerlo riempire: ho pensato che tali punti, se in quantità considerevole, sarebbero andati a posizionarsi in modo uniforme, ottenendo un cubo omogeneo di maggiore o minore densità, secondo la quantità di punti distribuiti al suo interno-
E' evidente che tali punti sono andati a posizionarsi (nell'ambito del cubo) parte all'interno delle intersezioni dei cilindri e parte all'esterno; quindi non ho dovuto fare altro che contare la quantità di punti posizionati all'interno delle intersezioni e calcolarne il rapporto rispetto alla totalità dei punti generati; ho pensato che tale rapporto dovesse essere lo stesso fra i volumi delle intersezioni ed il volume del cubo, che poiché noto, risolve il problema.
Da tali ragionamenti scaturisce il seguente programma in Decimal Basic:
LET i2=0 !punti interni all'intersezione fra 2 cilindri
LET i3=0 !punti interni all'intersezione fra 3 cilindri
LET n=10^9
RANDOMIZE
FOR m= 1 TO n
LET x=RND
LET y=RND
LET z=RND
LET a=SQR(x^2+y^2)
LET b=SQR(z^2+y^2)
LET c=SQR(x^2+z^2)
IF a<=1 AND b<=1 THEN LET i2=i2+1
IF a<=1 AND b<=1 AND c<=1 THEN LET i3=i3+1
NEXT M
PRINT "v2=";8*i2/n
PRINT "v3=";8*i3/n
Per vederlo lavorare, porre n=10^6 (si otterrà una precisione alla seconda cifra decimale); per una maggiore precisione, ma aspettando parecchio, lasciare 10^9
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$\text { }$ciao ciao
E' la somma che fa il totale (Totò)
$\text { }$ciao
E' la somma che fa il totale (Totò)
Bello, era proprio quello che mi aspettavo di vedere
Grazie, Pasquale!
Da sempre sono molto più interessato ai procedimenti
che ai risultati, ormai si sa, ed ero certo che la tua idea
sarebbe stata interessante. In effetti, per me lo è.
Penso, inoltre, che la limitatezza degli strumenti (come
dici tu, l'avere striminziti mezzi cognitivi... ma nel tuo
caso non è vero!) stimoli invece la fantasia, aguzzi
l'ingegno
Non conoscevo la soluzione di Gardner e ringrazio Ronfo
per averla riportata!
Sono d'accordo con Giovanni (Elgiovo - lo preciso per
Enrico, a scanso di enigmi...) sul fatto che in questo
caso siano forse preferibili e più stimolanti strategie
alternative ai metodi dell'analisi. Nel sito di Maddalena
Falanga e Luciano Battaia (Batmath), comunque, si può
trovare una bella sezione dedicata al primo problema di
Ronfo risolto proprio con tali metodi. Giusto per curiosità.
Ciao a tutti, torno a lavorare
Grazie, Pasquale!
Da sempre sono molto più interessato ai procedimenti
che ai risultati, ormai si sa, ed ero certo che la tua idea
sarebbe stata interessante. In effetti, per me lo è.
Penso, inoltre, che la limitatezza degli strumenti (come
dici tu, l'avere striminziti mezzi cognitivi... ma nel tuo
caso non è vero!) stimoli invece la fantasia, aguzzi
l'ingegno
Non conoscevo la soluzione di Gardner e ringrazio Ronfo
per averla riportata!
Sono d'accordo con Giovanni (Elgiovo - lo preciso per
Enrico, a scanso di enigmi...) sul fatto che in questo
caso siano forse preferibili e più stimolanti strategie
alternative ai metodi dell'analisi. Nel sito di Maddalena
Falanga e Luciano Battaia (Batmath), comunque, si può
trovare una bella sezione dedicata al primo problema di
Ronfo risolto proprio con tali metodi. Giusto per curiosità.
Ciao a tutti, torno a lavorare
Bruno
Grazie a te Bruno; non avrei mai creduto che potesse piacerti così tanto, anche se, come fedele discepolo di Totò, avrei potuto comunque esclamare: "(l'idea) a me piace! " (dalla famosa scena del wagon-lit con l'Onorevole Trombetta, quando si tratta di stabilire come trascorrere la notte con due cuccette, in tre persone: al primo turno, Totò si sarebbe arrangiato con la signora al piano di sopra, mentre al secondo turno, pazienza, si sarebbe arrangiato al piano di sotto......sempre con la signora).
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$\text { }$ciao ciao
E' la somma che fa il totale (Totò)
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Re: I cilindri che si intersecano
Io ne approfitto ... siccome devo saldare tra loro due cilindri di diverso diametro che si intersecano perpendicolarmente e devo tagliare preventivamente quello più grande (devo proiettare la circonferenza esterna del tubo più piccolo) e quello più piccolo (credo che questo problema sia chiamato Pipe Cutting) come posso calcolare una formula matematica per disegnare quella pseudo sinusoide che, chiusa a cerchio, mi darebbe il contorno da tagliare ?
ciao e grazie
EK
ciao e grazie
EK