Quale è giusto

[ronfo]

Mi sono imbattuto in un post che mi ha lasciato un po' perplesso
Quale di questi due procedimenti è corretto (naturalmente nel campo dei numeri immaginari)?

caso1
$\sqrt{-3}*\sqrt{-3}$
$\sqrt{-3*-3}$ =$\sqrt{9}$
$\sqrt{9}$= +3
oppure

caso2
$\sqrt{-3}*\sqrt{-3}$ = $\sqrt{-1*3}*\sqrt{-1*3}$
$\sqrt{-1*3}*\sqrt{-1*3}$ = $\sqrt{-1}*\sqrt{3}*\sqrt{-1}*\sqrt{3}$
ma
$\sqrt{-1} = i$
quindi
$\sqrt{-1}*\sqrt{3}*\sqrt{-1}*\sqrt{3}$ = $i*\sqrt{3}*i\sqrt{3}$
$i*\sqrt{3}*i\sqrt{3}$ = $ i^2*\sqrt{9}$
ma
$ i^2$=-1
quindi
-1*$\sqrt{9}$= -3
oppure sono validi entrambi i casi? (quindi -3=+3)

[Gianfranco]

Ciao Ronfo, provo a dare una risposta elementare senza approfondire la struttura dei numeri complessi.

Risposta veloce: la seconda che hai detto è giusta, la prima è sbagliata.

Risposta con esempi di errori analoghi che nessuno farebbe:
cos(x)*cos(x)=cos(x*x) (errore)
log(x)*log(x)=log(x*x) (errore)
Chi fa questi errori applica morfismi intuitivi che non esistono.

In generale, il prodotto di due funzioni NON è uguale alla funzione del prodotto.
f(x)*f(x)<>f(x*x)
Questo è proprio quello che si vede nel caso 1.

La procedura corretta è invece.
PRIMA si calcolano i valori della funzione,
POI si calcola il valore del loro prodotto.

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Però, in certi casi SEMBRA funzionare:
sqrt(x)*sqrt(x)=sqrt(x*x)
sqrt(3)*sqrt(3)=sqrt(3*3)=3

QUINDI potremmo usare questa equivalenza per creare una REGOLA di TRASFORMAZIONE sui simboli ???

Per creare una regola automatica, bisogna DIMOSTRARE che vale per TUTTI i valori delle variabili in un dato insieme.

Per dimostrare invece che una regola NON VALE, basta trovare un solo un CONTROESEMPIO.
Il tuo caso 1 è il controesempio che limita l'insieme di applicazione della regola di trasformazione.
Infatti:
1) Calcolo corretto rispettando le "precedenze" tra funzioni:
sqrt(-3)*sqrt(-3)=
=i*sqrt(3)*i*sqrt(3)=
=i*i*sqrt(3)*sqrt(3)=
=-3

2) Calcolo con regola di trasformazione:
sqrt(-3)*sqrt(-3)=sqrt(-3*-3)=sqrt(9)=3

Il risultato (2) è diverso da quello corretto, perciò in questo caso la regola di trasformazione non è applicabile, quindi non ha validità generale sui numeri complessi.
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In genere, se abbiamo due funzioni:
r(x) e p(x,y)
p(r(x),r(y)) va calcolata nell'ordine: PRIMA r e poi p

Se l'equivalenza
p(r(x),r(y))=r(p(x,y))
ha un solo controesempio, allora non ha validità generale.

[ronfo]

Grazie Gianfranco.
Ogni tanto mi capita di "sbattere il muso" in casi che si danno per scontati ma scontati non sono.
La tua spiegazione è stata esauriente e puntuale.
Alla prossima e grazie ancora