La battaglia dei segni

[franco]

Sia $k$ un intero compreso fra $2$ e $6$.
Scriviamo sulla stessa riga i numeri $1, 2, 3, ..., 10k+1$ lasciando uno spazio vuoto fra i numeri scritti.
Alessandro e Beatrice, a turno, inseriscono il segno $+$ o il segno $-$ in uno dei $10k$ spazi vuoti ottenendo infine un'espressione nella forma $N = 1 ± 2 ± 3 ± ... ± (10k + 1)$.
Ognuno di loro, essendo $10k$ un numero pari, inserirà esattamente $5k$ segni.

- modalità 1
Alessandro gioca per primo e vince se $N$ è divisibile per $3$ (in caso contrario vince Beatrice)

- modalità 2
Beatrice gioca per prima e vince se $N$ è divisibile per $5$ (in caso contrario vince Alessandro)

Determinare, per entrambe le modalità di gioco, chi vincerà la partita a seconda del valore di $k$.

ciao

Franco

www.diophante.fr
E5940

Soit k un entier parmi 2, 3, 4, 5 et 6. On écrit sur une même ligne les entiers 1, 2, 3, ..., 10k + 1.
Il y a donc 10k emplacements entre deux entiers consécutifs. À tour de rôle, les deux joueurs choisissent un emplacement encore libre et y inscrivent le signe + ou le signe −.
À la fin, on obtient une expression de la forme N = 1 ± 2 ± 3 ± ... ± (10k + 1), où le signe de 1 est fixé et vaut +. Comme 10k est pair, chaque joueur inscrit exactement 5k signes.
Premier tournoi : Zig joue le premier. Si N est divisible par 3, Zig gagne ; sinon Puce gagne.
Deuxième tournoi : Puce joue le premier. Si N est divisible par 5, Puce gagne ; sinon Zig gagne.
Dans chacun des deux tournois, selon les valeurs de k, qui gagne la partie.

[Gianfranco]

Non so se ho capito bene perché mi sembra troppo semplice.
Perciò scrivo la mia proposta senza entrare nei dettagli del ragionamento.
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Caso 1) Prima mossa Ale, vince se la somma algebrica è un multiplo di 3.
Bea ha una strategia vincente per qualunque k (basta che il numero di mosse sia pari).

a) Ragiono in MOD 3.
Quindi vedo la sequenza così (e anche le somme algebriche):
+1 2 0 1 2 0 1 2 0 1 2 0 1 2 0 1 2 ...

b) Interpreto "inserire un segno in uno spazio vuoto" come "attribuire un segno + o - al numero immediatamente a destra".

c) Nelle prime mosse, Bea fa in modo che tutti gli 0 abbiano un segno + oppure -, indipendentemente dalle mosse di Ale.

d) Nelle mosse successive, tranne l'ultima, Bea mette un segno a caso a numeri a caso, indipendentemente dalle mosse di Ale.

e) Nell'ultima mossa, Bea deve scegliere un segno + o - da mettere a un numero che può essere solo 1 oppure 2, perché tutti gli 0 sono stati occupati.

f) Qualunque sia la SOMMA (0,1,2) e qualunque sia l'ultimo numero (0,1), al massimo, SOLO UNO DEI DUE SEGNI PUO' far raggiungere SOMMA = 0.
Bea sceglie l'altro segno.
E vince.
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Caso 2) Prima mossa Bea, vince se la somma algebrica è un multiplo di 5.
Non ho esaminato i dettagli ma mi sembra che la strategia precedente (con i debiti adattamenti) sia vincente per Ale.

Salvo errori, sviste, omissioni.