Garo

[Snark]

Buongiorno a tutti!

Avrei un problemino matematico da sottoporvi. Qualche settimana fa guardavo Garo, un telefilm giapponese che va in onda su Mtv. In quella puntata il protagonista si ritrovava in uno strano bosco, e a una biforcazione della strada incontrava due gemelle. Ovviamente una strada era quella corretta, mentre l'altra portava a morte certa. Una delle due gemelle diceva la verita' al 70%, mentre l'altra all'1%. L'eroe poteva fare un'unica domanda, quindi con aria astuta chiedeva la strada a quella dell'1% e andava dall'altra parte.

E fin qui, andrebbe tutto bene.

Piccolo problemino: nel telefilm avevano fatto spiegare la cosa dalle due gemelle stesse. Quindi la situazione che si presentava era qualcosa del genere:

Gemella di destra: "Io dico la verita' all'1%".
Gemella di sinistra: "Io dico la verita' al 70%"
Insieme: "A quale di noi due chiederai la strada?"

L'Eroe, con aria scaltra, rivolgendosi alla gemella di destra:"La chiedero' a te, e andro' dalla parte opposta, cosi' avro' il 99% che sia quella corretta! Ebbene, qual e' la strada?"
La gemella di destra indica all'eroe che deve proseguire per il sentiero a destra.
L'Eroe prosegue verso sinistra, e arriva dove le sue imprese eroiche dovevano condurlo. *Happy ending*

Ora: mi sembra proprio che la scena cosi' non funzioni. Oppure sono io che mi sono sbagliata?

Problema 1 (e questo l'ho risolto): supponiamo che il nostro eroe sappia da altre fonti che delle due gemelle una dice la verita' all'1% e una al 70%. Poi parla con loro, e la scena avviene come descritta. A quale delle due avrebbe dovuto chiedere, e che probabilita' aveva di salvarsi?

Problema 2 (e questo invece non sono riuscita a risolverlo): se il nostro eroe non sa nulla delle due gemelle se non quello dichiarato dalle due, che probabilita' ha di salvarsi?

[delfo52]

per non indurre i lettori e gli spettatori all'abbrutimento logico e mentale, occorre precisare prima che
LE PERSONE , SE INTERPELLATE, RISPONDONO LA VERITA' NEL...percento delle occasioni
facendo intendere che quello che dicono spontaneamente è sempre corretto.
Così il problema è chiaro, semplice, e........noioso!
il problema si complica se consideriamo che , mentre la proposizione vera è UNA, di proposizioni false ce ne sono infinite (o infinite meno una?!!!???)
Una possibilità sarebbe di ascoltare, tornare indietro, ascoltare di nuovo, fino ad avere una campione di una decina di osservazioni; se le percentuali sono note in anticipo, ciò permette di avere un quadro soddisfacentemente valido

[Snark]

Così il problema è chiaro, semplice, e........noioso!

Sì, sono d'accordo. Ma quello che chiedevo io è diverso. Riformulo il problema, così è più chiaro.

Il guardiano del bosco (che è sincero) ci dice che ad un bivio incontreremo due gemelle. Una dice la verità il 70% delle volte, l'altra l'1%. Una strada porta al nostro obiettivo, l'altra alla morte.

Arrivati al bivio, la gemella di destra ci dice: "Io sono quella che dice la verità all'1%", mentre quella di sinistra ci dice "Io sono quella che dice la verità al 70%". Anche queste affermazioni possono essere vere o false.

A quale delle due mi conviene chiedere la strada, e che probabilità ho di salvarmi?

[delfo52]

dopo le aggiunte esplicative, vediamo un po' la situazione:
chiamiamo bugiarda la gemella che mente al 99% e sincera quella che mente solo nel 30%
Chi può dire "io dico la verità nell'1%" ?
é una risposta "rara" perchè la bugiarda la pronuncerà solo 1 volta su cento, mentra la sincera la potrebbe dire 30 volte su cento (potrebbe dire anche altre cose, come 17% o Filippo, o radice-di-34...)
E chi dice "io dico il vero nel 70%" ?
la sincera dirà così 7 volte su 10, la bugiarda....?
Qui ritorna il problema: questa volta è la bugiarda ad avere a disposizione infinite risposte false... !!!!
Occorrono altri dati: chi mente ha fantasia? o è obbligato a dare una delle due risposte?
Limtando così le opzioni, arriveremmo a dire che
- chi dice 1% è (30/31 volte) la sincera
-chi dice 70% è (99/169 volte) la bugiarda

[panurgo]

Riformulo il problema, così è più chiaro.

Il guardiano del bosco (che è sincero) ci dice che ad un bivio incontreremo due gemelle. Una dice la verità il 70% delle volte, l'altra l'1%. Una strada porta al nostro obiettivo, l'altra alla morte.

Arrivati al bivio, la gemella di destra ci dice: "Io sono quella che dice la verità all'1%", mentre quella di sinistra ci dice "Io sono quella che dice la verità al 70%". Anche queste affermazioni possono essere vere o false.

A quale delle due mi conviene chiedere la strada, e che probabilità ho di salvarmi?

Chiedi la strada a quella di sinistra e vai dalla parte opposta a quella indicata: ti salvi con una probabilità pari a $\frac {29613} {30400}$.

Nell'altra formulazione del problema, quella senza guardiano del bosco, chiedi la strada alla gemella di destra e vai dalla parte opposta a quella indicata: ti salvi con una probabilità pari a $\frac {149} {200}$.

[delfo52]

imposto il ragionamento in modo differente
Abbiamo due gemelle, che sappiamo essere una B e una S
Possono rispondere solo 1 o 70
Le possibili coppie di risposte sono
B S
1 70 70/10000
1 1 30/10000
70 1 2970/10000
70 70 6930/10000

Di fronte a due risposte differenti, abbiamo da considerare solo la prima e la terza riga, da cui si evincerebbe che a dire 1 è 2970 volte su 3040 la gemella Sincera

SE&O

[panurgo]

$\frac {297} {304}$ è un buon numero

[Snark]

Nell'altra formulazione del problema, quella senza guardiano del bosco, chiedi la strada alla gemella di destra e vai dalla parte opposta a quella indicata: ti salvi con una probabilità pari a $\frac {149} {200}$.

Interessante!!!! Posso chiederti come lo hai calcolato?

[panurgo]

Lo sto mettendo in bella...

[panurgo]

Lo sto mettendo in bella...

Nel primo caso, il guardiano del bosco ci ha detto: “incontrerai due gemelle, Dora e Sara; Dora mente con una frequenza del 99%, Sara del 30%”. Quando incontriamo le due gemelle, quella di destra dichiara: “io sono Dora”. Quella di sinistra, “io sono Sara”.

Queste due dichiarazioni sono equivalenti alla proposizione

$\left( \mathcal{S,D} \right) \/ \equiv \/ {\text la gemella di sinistra dichiara di essere Sara, quella di destra, Dora}$

In base alle informazioni ricevute dal guardiano del bosco è evidente che o entrambe mentono o entrambe dicono la verità; e, assumendo che le gemelle mentano in modo indipendente (non abbiamo nulla che indichi il contrario) assegnamo la probabilità

$p \left( \left( \mathcal{S,D} \right) \/ \middle| \/ \left( \mathbb{S,D} \right) \/ I \right) \/ = \/ p \left( \mathcal{D} \/ \middle| \/ \mathbb{D} \/ I \right) \/ \times \/ p \left( \mathcal{S} \/ \middle| \/ \mathbb{S} \/ I \right) \/ = \/ \frac 1{100} \times \frac {70} {100} \/ = \/ \frac {7} {1000}$

con

$\left( \mathbb{S,D} \right) \/ \equiv \/ {\text la gemella di sinistra \grave{e} Sara, quella di destra, Dora}$

Si legga “probabilità che le due gemelle dichiarino di essere Dora e Sara (da destra a sinistra) quando esse sono Dora e Sara (da destra a sinistra) $=$ probabilità che la gemella di destra dichiari di essere Dora quando è Dora $\times$ probabilità che la gemella di sinistra dichiari di essere Sara quando è Sara”

Analogamente

$\displaystyle p \left( \left( \mathcal{S,D} \right) \/ \middle| \/ \left( \mathbb{D,S} \right) \/ I \right) \/ = \/ p \left( \mathcal{D} \/ \middle| \/ \mathbb{S} \/ I \right) \/ \times \/ p \left( \mathcal{S} \/ \middle| \/ \mathbb{D} \/ I \right) \/ = \/ \frac {30} {100} \times \frac {99} {100} \/ = \/ \frac {297} {1000}$

con

$\left( \mathbb{D,S} \right) \/ \equiv \/ {\text la gemella di sinistra \grave{e} Dora, quella di destra, Sara}$

è “probabilità che le due gemelle dichiarino di essere Dora e Sara (da destra a sinistra) quando esse sono Sara e Dora (da destra a sinistra) $=$ probabilità che la gemella di destra dichiari di essere Dora quando è Sara $\times$ probabilità che la gemella di sinistra dichiari di essere Sara quando è Dora”.

Nelle informazioni generali ($I$) non vi è nulla che aiuti a distinguere $\left( \mathbb{S,D} \right)$ da $\left( \mathbb{D,S} \right)$: non ci resta che affidarci al principio di indifferenza e assegnare uguale probabilità ad entrambe le proposizioni

$p \left ( \left ( \mathbb {S,D}\right )\/ \middle | \/ I\right ) \/ = \/ p \left ( \left ( \mathbb {D,S}\right )\/ \middle | \/ I\right ) \/ = \/ \frac 12$

La probabilità aggiornata alla luce della nuova informazione $\left( \mathcal{S,D} \right)$ si calcola mediante il teorema di Bayes

$p \left ( \left ( \mathbb{S,D} \right ) \/ \middle | \/ \left ( \mathcal{S,D} \right ) \/ I \right ) \/ = \/ \frac { p \left ( \left ( \mathbb{S,D} \right ) \/ \middle | \/ I \right ) \/ p \left ( \left ( \mathcal{S,D} \right ) \/ \middle | \/ \left ( \mathbb{S,D} \right ) \/ I \right ) } { p \left ( \left ( \mathcal{S,D} \right ) \/ \middle | \/ I \right ) }$

con

$p \left ( \left ( \mathcal{S,D} \right ) \/ \middle | \/ I \right ) \/ = \/ p \left ( \left ( \mathbb{S,D} \right ) \/ \middle | \/ I \right ) \/ p \left ( \left ( \mathcal{S,D} \right ) \/ \middle | \/ \left ( \mathbb{S,D} \right ) \/ I \right ) + p \left ( \left ( \mathbb{D,S} \right ) \/ \middle | \/ I \right ) \/ p \left ( \left ( \mathcal{S,D} \right ) \/ \middle | \/ \left ( \mathbb{D,S} \right ) \/ I \right ) \/ = \/ \frac 12 \times \frac 7 {1000} \/ + \/ \frac 12 \times \frac {297} {1000} \/ = \/ \frac 12 \times \frac {304} {1000}$

Sostituendo i valori si ottiene

$p \left ( \left ( \mathbb{S,D} \right ) \/ \middle | \/ \left ( \mathcal{S,D} \right ) \/ I \right ) \/ = \/ \frac {\frac 12 \times \frac 7 {1000}} {\frac 12 \times \frac {304} {1000}} \/ = \/ \frac 7 {304}$

per il caso in cui entrambe le gemelle dicono la verità.

Si assegna la probabilità complementare

$p \left ( \left ( \mathbb{D,S} \right ) \/ \middle | \/ \left ( \mathcal{S,D} \right ) \/ I \right ) \/ = \/ \frac {297} {304}$

per il caso in cui mentono entrambe.

A questo punto abbiamo due possibilità: chiedere l’informazione alla gemella di destra oppure a quella di sinistra. Vediamo cosa implica questo per la veridicità dell’informazione che otterremmo.

Per la gemella di destra

$p \left ( V_{\script \text D} \/ \middle | \/ \left ( \mathcal{S,D} \right ) \/ I \right ) \/ = \/ p \left ( \left ( \mathbb{D,S} \right ) \/ \middle | \left ( \mathcal{S,D} \right ) \/ I \right ) \/ p \left ( V_{\script \text D} \/ \middle | \/ \left ( \mathbb{D,S} \right ) \/ \left ( \mathcal{S,D} \right ) \/ I \right ) \/ + \/ p \left ( \left ( \mathbb{S,D} \right ) \/ \middle | \left ( \mathcal{S,D} \right ) \/ I \right ) \/ p \left ( V_{\script \text D} \/ \middle | \/ \left ( \mathbb{S,D} \right ) \/ \left ( \mathcal{S,D} \right ) \/ I \right ) \/ = \\ \qquad = \/ \frac {297} {304} \times \frac {70} {100} \/ + \/ \frac 7 {304} \times \frac 1 {100} \/ = \/ \frac {20797} {30400}$

e, ovviamente, per la probabilità che l'informazione ottenuta sia falsa

$p \left ( F_{\script \text D} \/ \middle | \/ \left ( \mathcal{S,D} \right ) \/ I \right ) \/ = \/ 1 \/ - \/ p \left ( V_{\script \text D} \/ \middle | \/ \left ( \mathcal{S,D} \right ) \/ I \right ) \/ = \/ \frac {9603} {30400}$

Per la gemella di sinistra

$p \left ( V_{\script \text S} \/ \middle | \/ \left ( \mathcal{S,D} \right ) \/ I \right ) \/ = \/ p \left ( \left ( \mathbb{D,S} \right ) \/ \middle | \left ( \mathcal{S,D} \right ) \/ I \right ) \/ p \left ( V_{\script \text S} \/ \middle | \/ \left ( \mathbb{D,S} \right ) \/ \left ( \mathcal{S,D} \right ) \/ I \right ) \/ + p \left ( \left ( \mathbb{S,D} \right ) \/ \middle | \left ( \mathcal{S,D} \right ) \/ I \right ) \/ p \left ( V_{\script \text S} \/ \middle | \/ \left ( \mathbb{S,D} \right ) \/ \left ( \mathcal{S,D} \right ) \/ I \right ) \/ = \\ \qquad = \/ \frac {297} {304} \times \frac 1 {100} \/ + \/ \frac 7 {304} \times \frac {70} {100} \/ = \/ \frac {787} {30400}$
e

$p \left ( F_{\script \text S} \/ \middle | \/ \left ( \mathcal{S,D} \right ) \/ I \right ) \/ = \/ 1 \/ - \/ p \left ( V_{\script \text S} \/ \middle | \/ \left ( \mathcal{S,D} \right ) \/ I \right ) \/ = \/ \frac {29613} {30400}$

Quindi conviene chiedere alla gemella di sinistra e fare il contrario di ciò che dice.

Nel secondo caso, il guardiano del bosco dorme sul fondo di un tino svuotato. Poco dopo, incontriamo due gemelle, quella di destra dichiara: “io sono Dora e mento con una frequenza del 99%”. Quella di sinistra, “io sono Sara e mento con una frequenza del 30%”.

In assenza di ulteriori informazioni non vi è alcun nesso logico tra le due dichiarazioni che vanno quindi considerate separatamente: consideriamo Dora (cioè quella di destra, che si chiami Dora o Riparia non ci interessa)

$\mathcal{D} \/ \equiv \/ {\text sono Dora, 99%}$

Se crediamo a Dora per quel che riguarda questa affermazione (cioè a condizione che questa informazione sia vera) dobbiamo considerare con grande scetticismo le indicazioni che possiamo ottenere da lei

$p \left ( V_{\script \text D} \/ \middle| \/ \mathcal{D} \/ I \right ) \/ = \/ \frac 1{100}$

Viceversa, se non le crediamo, possiamo essere un po’ più benevoli: in mancanza di informazioni riguardo la sua franchezza ci atterremo al principio di indifferenza

$p \left ( V_{\script \text D} \/ \middle| \/ \overline {\mathcal{D}} \/ I \right ) \/ = \/ p \left ( F_{\script \text D} \/ \middle| \/ \overline {\mathcal{D}} \/ I \right ) \/ = \/ \frac 12$

con

$\overline {\mathcal{D}} \/ \equiv \/ {\text sono Dora (o Riparia), nulla sapete sulla mia franchezza}$

Come ci insegna la teoria della probabilità, la probabilità che l’indicazione della strada data da Dora sia vera è

$p \left ( V_{\script \text D} \/ \middle| \/ I \right ) \/ = \/ p \left ( \mathcal{D} \/ \middle| \/ I \right ) \/ p \left ( V_{\script \text D} \/ \middle| \/ \mathcal{D} \/ I \right ) \/ + \/ p \left ( \overline {\mathcal{D}} \/ \middle| \/ I \right ) \/ p \left ( V_{\script \text D} \/ \middle| \/ \overline {\mathcal{D}} \/ I \right )$

Ci manca di stabilire qunato crediamo in $\mathcal{D}$: abbiamo già deciso di essere benevoli con Dora e avere in tanta fiducia quanta sfiducia nel caso in cui $\mathcal{D}$ è falsa... tanto vale avere la stessa fiducia per quel che riguarda $\mathcal{D}$!

$p \left ( \mathcal{D} \/ \middle| \/ I \right ) = p \left ( \overline {\mathcal{D}} \/ \middle| \/ I \right ) \/ = \/ \frac 12$

per cui

$p \left ( V_{\script \text D} \/ \middle| \/ I \right ) \/ = \/ \frac 12 \times \frac 1 {100} \/ + \/ \frac 12 \times \frac 12 \/ = \/ \frac {51} {200}$

e, ovviamente

$p \left ( F_{\script \text D} \/ \middle| \/ I \right ) \/ = \/ \frac {149} {200}$

Per Sara il discorso è uguale fatto salvo il diverso tasso di menzogna se $\mathcal{S}$ è vera.

$p \left ( V_{\script \text S} \/ \middle| \/ I \right ) \/ = \/ \frac 12 \times \frac {70} {100} \/ + \/ \frac 12 \times \frac 12 \/ = \/ \frac {120} {200} \/ = \/ \frac 35$

e, ovviamente

$p \left ( F_{\script \text S} \/ \middle| \/ I \right ) \/ = \/ \frac 25$

In questo caso è evidente che conviene chiedere l’informazione alla gemella di destra (sempre facendo il contrario di quello che dice).

Ovviamente va notato che questo procedimento contiene evidenti elementi di arbitrarietà: in particolare, ognuno potrebbe avere un suo personale giudizio per quel che riguarda la franchezza degli sconosciuti e decidere di non credere loro. Questi elementi di soggettività sono assolutamente ineliminabili nel ragionamento induttivo e ciascuno di noi deve assumersi la responsabilità di attribuire le probabilità che ritiene più corrette. Il principio di indifferenza è il più semplice esempio dell’uso della simmetria in assenza di informazioni.

Una volta assegnate le probabilità alle varie proposizioni entra in gioco la teoria della probabilità che ci dice solo e soltanto come manipolarle: regola della somma, regola del prodotto e teorema di Bayes.

[delfo52]

bel lavoro.
Ma siamo certi che le risposte delle gemelle, quando mentono, siano così poco fantasiose?
E se ipotizzassimo che esiste una terza sorella che mente al 50%; ma che al bivio ce ne sono soltanto due, senza sapere quale coppia?....