Niu Iorc Niuu Iooorc!

[ronfo]

Ciao a tutti , non è che sono tornato dal letargo , ma è che sono diventato vecchio e pigro (soprattutto di cervello).
E dopo il mio immancabile incipit Vi voglio proporre un simpatico quesito che ho trovato nel mio girovagare in internet; ve lo propongo pari pari a come l'ho trovato.

L’elezione di un sindaco di religione islamica a New York ha scatenato una serie di meme
in rete (che potete andarvi a cercare da soli, se ne avete voglia: attenzione che alcuni sono
NSFW), ma uno in particolare ci è rimasto impresso:
Vedi, cosa succede a eleggere un sindaco islamico? Costringe le scuole a usare le cifre
arabe!
Bene, restiamo in questa ambientazione. Una scuola aveva una graziosa decorazione
consistente in nove piastrelle che formavano un quadrato magico di ordine tre (il solito,
quello che i cinesi chiamano Luoshu) con i numeri in cifre romane (quindi, da I a IX). Sotto
la pressione del sindaco, si è deciso di sostituire i numeri romani con le cifre arabe. Cosa
mai potrà andare storto?
Ad esempio, il fatto che per errore il II (il due) è stato scritto 11 (undici). Tutte le altre sono
tradotte correttamente, ma il quadrato evidentemente non è più magico, e la vernice è
asciugata. Riuscite a risistemare le piastrelle in modo tale da ottenere un nuovo quadrato magico?
Buon divertimento

[panurgo]

Senza scrivere un programmino altrimenti non vale...

[Gianfranco]

Ciao Ronfo, anch'io sento gli effetti dell'età e il gioco che hai proposto è proprio adatto per fare un po' di matematica rilassata.
Ciao Panurgo, ho obbedito fedelmente. Niente computer.
---
Dunque, prima di tutto ho calcolato la costante del nuovo quadrato magico che è 18.
Ogni riga, colonna, diagonale deve avere somma 18.
Detto questo, seduto al tavolo della cucina, ho ritagliato 9 quadratini di carta e ci ho scritto i numeri.
Poi ho provato, per tentativi, lasciando che la mente guidasse le mani, a creare un quadrato in cui righe e colonne avevano somma 18.
Riuscito. Ma le diagonali non funzionavano.
Allora ho usato la commutatività: se si scambiano due righe o due colonne, la somma costante nelle righe e nelle colonne si conserva.
Metto qui la figura dell'ultimo passaggio.

q2.png (55.66 KiB) Visto 8239 volte

E qui c'è il risultato finale.

q1.png (54.14 KiB) Visto 8239 volte

Naturalmente, altri risultati si dovrebbero ottenere con simmetrie e rotazioni del quadrato.
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Scherzo...
In questo caso, però, la rotazione di 180° non funziona perché scambia il 6 con il 9.

q3.png (53.77 KiB) Visto 8239 volte

Quindi sorge la domanda: se permettiamo di usare liberamente i foglietti con numeri 6 e 9 (capovolgendoli), si possono ottenere altri quadrati magici?

[Gianfranco]

Post scriptum.
Ronfo, nel titolo del tuo post, sento la voce di Liza Minnelli che canta New York, New York.
Per me, è la versione migliore, meglio di Frank Sinatra e di tutto il resto a seguire.

[panurgo]

Come giustamente dice Gianfranco la costante magica è $18$.

Le partizioni di $18$ che si possono fare con i numeri $1,\,11,\,3,\,4,\,5,\,6,\,7,\,8,\,9$ sono otto (ottimo, sono quelle che ci servono)

$\begin{array}{cccC}
11 & 6 & 1 \\
11 & 4 & 3 \\
9 & 8 & 1 \\
9 & 6 & 3 \\
9 & 5 & 4 \\
8 & 7 & 3 \\
8 & 6 & 4 \\
7 & 6 & 5
\end{array}$

La griglia tre per tre ha tre tipi distinti di caselle: angolo, lato, centro

$\begin{array}{|c|c|c|C}
\hline
\mathbf{3} & \mathbf{2} & \phantom{\mathbf{3}}\\
\hline
& \mathbf{4} & \\
\hline
& & \\
\hline
\end{array}$

nell'angolo concorrono tre somme magiche, nel lato due e nel centro quattro.

I numeri ricorrono più volte nelle varie partizioni

$\begin{array}{c|c|lC}
n & \mathrm{ricorr.} & \mathrm{casella} \\
\hline
1 & 2 & \mathrm{lato} \\
11 & 2 & \mathrm{lato} \\
3 & 3 & \mathrm{angolo} \\
4 & 3 & \mathrm{angolo} \\
5 & 2 & \mathrm{lato} \\
6 & 4 & \mathrm{centro} \\
7 & 2 & \mathrm{lato} \\
8 & 3 & \mathrm{angolo} \\
9 & 3 & \mathrm{angolo}
\end{array}$

Cominciamo mettendo il $6$ al centro

$\begin{array}{|c|c|c|C}
\hline
\phantom{\,9\,} & \phantom{\,5\,} & \phantom{\,4\,} \\
\hline
\phantom{1} & 6 & \phantom{11} \\
\hline
\phantom{8} & \phantom{7} & \phantom{3} \\
\hline
\end{array}$

aggiungiamo $1,\,11,\,5$ e $7$ nei lati

$\begin{array}{|c|c|c|C}
\hline
\phantom{\,9\,} & \,5\, & \phantom{\,4\,} \\
\hline
1 & 6 & 11 \\
\hline
\phantom{8} & 7 & \phantom{3} \\
\hline
\end{array}$

ed infine gli altri quattro numeri negli angoli appropriati

$\begin{array}{|c|c|c|C}
\hline
\,9\, & \,5\, & \,4\, \\
\hline
1 & 6 & 11 \\
\hline
8 & 7 & 3 \\
\hline
\end{array}$

Eccovi gloria!

[Gianfranco]

Ottimo, Panurgo!
Impeccabile, come sempre!
---
Una domanda tecnica.
I miei disegni occupano circa 20 kb su disco.
Perché nel Forum occupano circa 55 kb?

[ronfo]

Ciao Gianfranco
prendi con beneficio di inventario la risposta perché sono ormai più di 20 anni che sono uscito dalla ditta di informatica ;
penso che la differenza sia dovuta al modo di codificare i caratteri e le immagini (JPEG piuttosto che GIF/PNG); però ripeto
sono passati tanti anni da quando riparavo computer e le cose saranno sicuramente cambiate.
Buona giornata

[Gianfranco]

penso che la differenza sia dovuta al modo di codificare i caratteri e le immagini (JPEG piuttosto che GIF/PNG);

In effetti, avevo salvato le immagini in formato png a 4 bit per pixel. Forse il Forum le ha riportate a 8 bit per pixel.

[Quelo]

I qudrati magici 3x3 seguono tutti lo stesso schema

Codice: Seleziona tutto

a+2b+c     a      a+b+2c
a+2c     a+b+c      a+2b
a+b     a+2b+2c      a+c

e sono descritti da soli 3 parametri

La costante magica vale 3(a+b+c) = 18 quindi a+b+c = 6
Le uniche possibilità sono {1, 1, 4}; {1, 2, 3}; {2, 2, 2}
La nostra è 1,2,3

Codice: Seleziona tutto

8	1	9
7	6	5
3	11	4