Semplici probabilità

[delfo52]

sembra che ognuno abbia lavorato, facendo riferimento ad un contesto diverso.
Quando si dice che la pallina estratta risulta essere nera, e che viene posta di nuovo all'interno, che vuol dire ?
1) si estrae una pallina; risulta di colore X; viene rimessa dentro; (e poi si prosegue col quesito, mettendo X al posto di N)
2) si estrae una pallina; se risulta di colore N viene rimessa dentro (se fosse risultata non-N, saremmo entrati in un altro universo parallelo)

Quando di dice che la probabilità di estrarre N è di 2/3, che si vuol dire ?
1) secondo me è 2/3; e secondo voi...
2) prendete buono il dato dei 2/3, che tiene conto di un sacco di cose; a partire da questo "2/3" vi si chiede di risalire allo stato precedente

La spiegazione "classica" credo sia qualcosa del genere:
E' stato preparato un sacco contenente due palline, estratte da un deposito infinito che contiene 50% palline N e 50% palline B.
Estraggo a caso una pallina, che sarà di un colore (che chiamo X)
Rimetto la pallina X nel sacco
Chiedo: qual è la probabilità di estrarre ancora X ?
Rispondo: A sacco ancora chiuso, prima di estrarre la prima pallina, vi erano quattro possibili situazioni:
B-B
B-N
N-B
N-N
Dopo aver estratto una pallina, possiamo escludere una delle quattro possibilità )se estraggo N, non è possibile che la situazione fosse B-B e viceversa)
Una volta rimessa dentro la pallina estratta, rimangono in lizza le tre posizioni di partenza rimaste possibili.
Nel caso in esame (estrazione di N), le possibilità sono:
N-N
N-B
B-N
dal "pool" delle tre, si ricava una probabilità di 4/6 per l'estrazione di N (e 2/6 per B )

Se al posto della pallina N, introduco una B, le chances vanno a 3/6 per ciascun colore

(a me non pare che il problema dicesse questo, ma....)

[franco]

...sarà che non vedo un modo realistico di simulare una situazione del genere...

O forse c'è il modo.

Ipotizziamo che le due palline di partenza siano state estratte da un serbatoio "infinito" nel quale le nere sono 1/3 del totale.
Prima della prima estrazione, la probabilità di pescarne una nera è pari a:
P=1/2*1/3+1/2*1/3=1/3

Una volta estratta una pallina nera e rimessa dentro, la probabilità di una seconda estrazione nera è:
P=1/2*1+1/2*1/3=2/3

...Una di queste palline viene estratta e risulta essere di colore nero: la pallina viene rimessa nel sacchetto.
A questo punto, la probabilità di estrarre una pallina nera è 2/3...

Se prima della seconda estrazione aggiungo al sacchetto una pallina bianca (o comunque non nera), la probabilità di pescare la nera scende a:
P=1/3*1+1/3*1/3+1/3*0=4/9

Gira e rigira finiamo sempre lì.

[panurgo]

5/2 (martedi grasso )

Riprendo il discorso innanzitutto scusandomi per aver anche questa volta lanciato il sasso e nascosto la mano. Ho aperto questo topic per un motivo preciso e sono due mesi che tento di trovare il tempo e la concentrazione per esporre i miei motivi in modo compiuto; le difficoltà che ho incontrato (e incontro) non sono legate solo al tempo sempre troppo scarso che posso dedicare a ciò che mi piace: ho dovuto fare un grosso sforzo per chiarirmi le idee al punto da poterle esprimere compiutamente.

Ho così deciso di scrivere queste note "al volo" riservandomi di integrare e correggere il post che è quindi "in divenire": esso potrà quindi contenere parti abbozzate e non completamente chiare.

Nel frattempo, ovviamente, intervenite come volete ma sappiate che io continuerò ad aggiornare questo post anche con le risposte (se ce ne saranno) a ciò che scriverete dopo di esso.

Quando il post sarà sufficientemente maturo (e completo) lo segnalerò.

Sono stato spinto ad aprire questo post dalla pagina di Gianfranco Semplici problemi di probabilità con particolare riferimento ai primi due quesiti. La cosa era anche più eclatante perché Gianfranco aveva sbagliato a trascrivere la prima risposta e le cose non tornavano per nulla.

Ma la risposta al problema "Probabilità misteriosa 2" non è $\frac{1}{3}$?

Riguardo il problema "Probabilità misteriosa 2" nel sito troviamo 2/3 come soluzione, Pietro ed io siamo del parere che debba invece essere 1/3 (se devo essere sincero ho fatto anche altri ragionamenti che mi farebbero dire 1/2 ma a 2/3 proprio non riesco ad arrivare).

ciao Franco, il $\frac23$ di panurgo è corretto (o meglio è un dato del problema che propone (ipotesi)); infatti mentre nel problema "Probabilità misteriosa 1" viene specificato che i colori possibili per le palline sono nero e bianco, nel problema di panurgo ciò non viene specificato. [...] ciò significa che i colori possibili delle palline nel sacchetto sono 3. [...]
Quindi dopo l'agguinta della pallina bianca, la probabilità di pescare una pallina nera ci è data dalla probabilità di pescare la pallina rimessa precedentemente nel sacchetto (ossia $\frac13$) più la probabilità di pescare la pallina sconosciuta e quest'ultima sia nera (ossia $\frac13\cdot\frac13$ : perchè le palline sono 3 e i colori possibili sono 3)

Posso dire che la pallina che era rimasta dentro era stata scelta da un sacchetto contenente palline di cui una certa certa proporzione, direi 1/3, è nera

Questo è un piccolo saggio dei ragionamenti che nascono da quesiti innocenti come quello proposto da Gianfranco : le cose non dovrebbero essere così oscure.

Io appartengo (mi accodo) ad una scuola di pensiero che considera la teoria della probabilità un'estensione della logica booleana che serve a "ragionare" in condizioni di incertezza.

Per dirla con de Finetti, "la probabilità non esiste"!

E' cruciale il modo in cui si scrive di probabilità. Per esempio, l'affermazione "la probabilità che il lancio della moneta di testa è 1/2" è semplicemente falsa: la probabilità non "è", si conviene di "assegnare" una probabilità di 1/2 alla proposizione "il risultato del lancio della moneta è testa" sotto precise e specificate condizioni (di ignoranza).

Supponiamo che la moneta venga lanciata: dopo il lancio, i casi possibili sono due (?); prima di conoscere il risultato del lancio (quindi, anche dopo il lancio), se si vuole ragionare razionalmente, si devono considerare le due proposizioni

$T \equiv {\text il risultato del lancio \grave{e} testa} \\ C \equiv {\text il risultato del lancio \grave{e} croce}$

Sapendo solo che una moneta sarà (è stata) lanciata non abbiamo basi razionali per preferire una delle due proposizioni però sappiano anche che certamente solo una delle due è vera: l'altra è falsa.

Per ragioni di simmetria assegnamo un valore di verità uguale alle due proposizioni per cui

$\left \{ p \left ( T \/ \middle | \/ I \right ) \/ = \/ p \left ( C \/ \middle | \/ I \right ) \\ p \left ( T \/ \middle | \/ I \right ) \/ + \/ p \left ( C \/ \middle | \/ I \right ) \/ = \/ 1\right.$

da cui segue

$p \left ( T \/ \middle | \/ I \right ) \/ = \/ p \left ( C \/ \middle | \/ I \right ) = \frac 12$

Questo è un esempio dell'assegnazione di una probabilità sulla base di quello che Laplace chiamava "Principio di Ragione Insufficiente" e che si chiama in modo più moderno "Principio di indifferenza" (Keynes).

In soldoni, la probabilità che esca testa non è una proprietà del mondo: è una descrizione quantitativa del nostro stato di conoscenza. Quindi, deve essere assegnata sulla base delle informazinoi che sono in nostro possesso e non di quelle che non lo sono.

I \equiv {\text un sacchetto contiene due palline; una pallina viene estratta (...continua)

[Daniela]

come, la probabilita' non esiste?????
Abbiamo una sigma-algebra di sottoinsiemi del nostro spazio, ci mettiamo sopra una misura ben fatta nel senso della teoria della misura, se non e' ancora normalizzata provvediamo in tal senso.

Questo e' *il* modo di definire la probabilita' ed e' l'unico ben fatto e non si capisce perche' si insegnino definizioni sbagliate, che poi vengono fuori questioni "e perche' p(testa)=p(croce)? in fondo se la moneta fosse simmetrica le facce sarebbero indistinguibili..." oppure "e se la moneta evapora in volo? cosa che sappiamo dalla meccanica quantistica che e' possibile? O se cade in piedi?" eccetera eccetera

PS se non si capisce cosa ho scritto fatemi un cenno che provo a spiegazzarmi meglio

[panurgo]

Anche le sigma-algebre non esistono! (fammi sapere quando ne incontri una per strada!)

vabbè, scherzo... la probabilità esiste come esistono gli unicorni: basta che io definisca l'unicorno (un cavallo bianco con un dente di narvalo sulla fronte) ed ecco che l'unicorno esiste; una sigma-algebra è un insieme con determinate proprietà con una misura e zac! ecco che esiste una sigma-algebra.

Ma non si può stimare o misurare una probabilità. Le probabilità possono essere:
1) calcolate a partire da altre probabilità mediante le regole del calcolo delle probabilità
2) assegnate in base alle informazioni disponibili

[Daniela]

gli unicorni, infatti, esistono nel senso di concetto letterario e artistico oltre che nel senso di rappresentazione inanimata (o con un po' di sforzo, vitale ma truffaldina), mentre la confusione e' generata dal fatto che la definizione "sembrerebbe" implicare quello che non e' scritto da nessuna parte, cioe', che quella specie di cavallo e' vivo, che e' stato partorito da una cavalla identica con relativo corno sulla fronte ed e' nato col corno ben visibile sulla fronte, eccetera

PS completamente d'accordo che

non si può stimare o misurare una probabilità. Le probabilità possono essere:
1) calcolate a partire da altre probabilità mediante le regole del calcolo delle probabilità
2) assegnate in base alle informazioni disponibili

[panurgo]

mentre nel caso dell'unicorno ci basta di vedere un dente di narvalo e avere fede (un cranio di mammut può andar bene come teschio di ciclope), per la sigma-algebra o per il duale di un reticolo booleano ordinato da "implica" con su definita un'estensione della funzione $\zeta$ che generalizza l'implicazione a gradi di implicazione pretendiamo come minimo la coerenza interna e, per soprammercato, la coerenza con tutti gli enti con cui vogliamo utilizzarli...

P.S.

[...] e' stato partorito da una cavalla identica con relativo corno sulla fronte ed e' nato col corno ben visibile sulla fronte [...]

...ti immagini che gusto il parto col corno

[Admin]

Bene,
in attesa della continuazione di Panurgo, ho rianalizzato tutto il topic;
tralasciando per ora il quesito di Panurgo, oggetto di questo Topic, mi sono soffermato sui due quesiti "Probabilità misteriosa 1" e "Probabilità misteriosa 2" proposti da Gianfranco nella pagina Semplici problemi di probabilità;
ne ho concluso che il punto cruciale per il calcolo delle probabilità sta nel modo in cui viene considerata/interpretata l'informazione "nel sacchetto ci sono due palline, ognuna delle quali può essere o bianca o nera";
ora, il modo corretto di interpretare questa informazione, penso sia quello di supporre che le due palline siano state inserite nel sacchetto una alla volta scegliendo in modo casuale tra bianco e nero.
Per cui avremo 4 possibili configurazioni per le due palline nel sacchetto, prima di ogni estrazione, ossia:

Bianco - Bianco
Bianco - Nero
Nero - Bianco
Nero -Nero

tutte equiprobabili.
A questo punto, facendo riferimento al quesito "Probabilità misteriosa 1", viene estratta dal sacchetto una pallina nera che viene poi rimessa nel sacco; ciò significa che ci troviamo in una delle seguenti configurazioni:

Bianco - Nero
Nero - Bianco
Nero - Nero

tutte equiprobabili.
Quindi abbiamo 4 possibilità di pescare una palla nera, sulle 6 possibili.
Per cui $p\{E_1|I\}\/=\/\frac{4}{6}=\frac{2}{3}$

Invece la probabilità del quesito "Probabilità misteriosa 2" risulta essere $\frac{1}{3}$; infatti se si estrae una pallina nera dal sacchetto, vuol dire che la configurazione nel sacchetto al momento dell'estrazione era una delle seguenti:

Bianco - Nero
Nero - Bianco
Nero - Nero

A questo punto togliamo da ciascuna configurazione una pallina nera.
Resta:

Bianco
Bianco
Nero

per cui la pallina restante nel sacchetto avrà probabilità $p\{E_2|I\}\/=\/\frac{1}{3}$ di essere nera.

Poi

l'affermazione "la probabilità che il lancio della moneta di testa è 1/2" è semplicemente falsa: la probabilità non "è", si conviene di "assegnare" una probabilità di 1/2 alla proposizione "il risultato del lancio della moneta è testa" sotto precise e specificate condizioni (di ignoranza).

uhm... forse non ho ben capito ciò che hai scritto, ma trovo altrettanto corretto dire ad es.:

"la probabilità di questo evento è X sotto specificate condizioni"

d'altronde se scrivo
$p\{E|I\}\/=\/\frac{1}{2}$
io lo leggo come "la probabilità dell'evento E date le informazioni disponibili, è $\frac{1}{2}$".

Vabbè, chiudo qui.

Ciao
Admin