Semplici probabilità

[panurgo]

Tra le novità di novembre su Base Cinque questa mi ha subito attratto.
Ne sono nate alcune riflessioni che mi hanno portato a proporvi il seguente problema: seguite il link, leggete e poi affrontatelo.

Semplici probabilità

Un sacchetto contiene due palline. Una di queste palline viene estratta e risulta essere di colore nero: la pallina viene rimessa nel sacchetto.
A questo punto, la probabilità di estrarre una pallina nera è $\frac 23$: quanto vale la probabilità di estrarre una pallina nera se dopo la prima estrazione viene aggiunta nel sacchetto una pallina bianca?

[Admin]

Ma la risposta al problema "Probabilità misteriosa 2" non è $\frac{1}{3}$?

Riguardo al problema del topic, sono di fretta quindi non posso dilungarmi.
Penso sia $\frac{4}{9}$.

Ciao
Admin

[franco]

Un sacchetto contiene due palline. Una di queste palline viene estratta e risulta essere di colore nero: la pallina viene rimessa nel sacchetto.
A questo punto, la probabilità di estrarre una pallina nera è $\frac 23$ : quanto vale la probabilità di estrarre una pallina nera se dopo la prima estrazione viene aggiunta nel sacchetto una pallina bianca?

Veramente la soluzione del problema originale (come indicata nel link) sarebbe $\frac 34$ (e non $\frac 23$ come dici nel post).

Infatti ho probabilità $\frac 12$ di ripescare la prima pallina estratta (nera!) e $\frac 12$ di pescare la seconda che a sua volta sarà nera in $\frac 12$ dei casi, quindi la probabilità complessiva di pescare una pallina nera è $\frac 12 * 1 + \frac 12 * \frac 12 = \frac 34$.

Se assieme alla prima pallina estratta (nera) ne metto nel sacchetto una bianca, la probabilità di estrarre nuovamente una pallina nera fra le 3 presenti ora nel sacchetto è:
$\frac 13 * 1 + \frac 13 * \frac 12 + \frac 13 * 0 = \frac 12$

(salvo errori!)

ciao

[franco]

Ma la risposta al problema "Probabilità misteriosa 2" non è $\frac{1}{3}$?

Concordo con te.

Chiamiamo A e B le due palline del sacchetto; le possibili combinazioni di colori (equiprobabili) sono:

1. A=Nero B=Nero
2. A=Nero B=Bianco
3. A=Bianco B=Nero
4. A=Bianco B=Bianco

Chiaramente la quarta combinazione è esclusa in quanto la prima pallina estratta era nera.

Nelle 3 combinazioni ammissibili la pallina restante è nera in un solo caso quindi la risposta al quesito dovrebbe essere $\frac{1}{3}$.

(ancora salvo errori!)

ri-ciao

[panurgo]

(ancora salvo errori!)

[franco]

Forse ci sarà da discutere su questi argomenti .

Il topic che hai aperto fa riferimento al problema "Probabilità misteriosa 1".
Non ho ben capito se il tuo 2/3 nel testo è un refuso o un rifiuto della soluzione 3/4 presentata da Gianfranco nel sito.
C'è poi la variante che hai introdotto tu (la pallina bianca aggiunta) che secondo me portava al risultato di 1/2.

Riguardo il problema "Probabilità misteriosa 2" nel sito troviamo 2/3 come soluzione, Pietro ed io siamo del parere che debba invece essere 1/3 (se devo essere sincero ho fatto anche altri ragionamenti che mi farebbero dire 1/2 ma a 2/3 proprio non riesco ad arrivare).

Il problema del "Triangolo con uno stecchino" mi pare sia stato sviscerato approfonditamente tempo fa in un altro topic.

C'è anche il "Gioco equo con una moneta truccata" la cui soluzione mi lascia perplesso e non poco (io avevo idea che la moneta non avesse memoria dei lanci precedenti quindi se la moneta è truccata non ci sarebbe possibilità di un gioco equo con un singolo lancio).

Sui "Due fiocchi di neve uguali" non mi pronuncio ma lancio un off-topic: chi mi spiega come si fa ad osservare al microscopio un fiocco di neve? Tra vetrino, coprivetrino e calore della lampada io sono sompre riuscito solo a bagnare tutto!

ciao

[Admin]

Il topic che hai aperto fa riferimento al problema "Probabilità misteriosa 1".
Non ho ben capito se il tuo 2/3 nel testo è un refuso o un rifiuto della soluzione 3/4 presentata da Gianfranco nel sito.
C'è poi la variante che hai introdotto tu (la pallina bianca aggiunta) che secondo me portava al risultato di 1/2.

ciao Franco, il $\frac23$ di panurgo è corretto (o meglio è un dato del problema che propone (ipotesi)); infatti mentre nel problema "Probabilità misteriosa 1" viene specificato che i colori possibili per le palline sono nero e bianco, nel problema di panurgo ciò non viene specificato.
In compenso viene specificato che la probabilità di estrarre una pallina nera, dopo averne estratta una nera ed averla rimessa nel sacchetto è $\frac23$.
Sapendo ciò, bisogna calcolare la probabilità di estrarre una pallina nera se dopo la prima estrazione viene inserita una pallina bianca.

Il ragionamento che ho fatto per trovare il risultato $\frac49$ è il seguente:

Se si è estratta una pallina nera e la si è poi rimessa nel sacchetto, la probabilità di prendere una pallina nera alla seconda estrazione ci è data dalla probabilità di ripescare la pallina nera pescata precedentemente (ossia $\frac12$) + la probabilità di pescare l'altra pallina e quest'ultima sia nera (ossia $\frac12\cdot x$); si ha:

$p(nera)\/=\/\frac12\/+\/\frac12\cdot x$
sappiamo però dal testo che tale probabilità deve valere $\frac23$, ossia

$\frac12\/+\/\frac12\cdot x\/=\/\frac23\quad\Rightarrow\quad x\/=\/\frac13$
ossia la probabilità che l'altra pallina (quella incognita) nel sacchetto sia nera è pari ad $\frac13$; ciò significa che i colori possibili delle palline nel sacchetto sono 3.

Quindi dopo l'agguinta della pallina bianca, la probabilità di pescare una pallina nera ci è data dalla probabilità di pescare la pallina rimessa precedentemente nel sacchetto (ossia $\frac13$) più la probabilità di pescare la pallina sconosciuta e quest'ultima sia nera (ossia $\frac13\cdot\frac13$ : perchè le palline sono 3 e i colori possibili sono 3); ossia si ha

$p(E|I)\/=\/\frac13\/+\/\frac13\cdot\frac13\/=\/\frac49$

Comunque mi sa che ho sbagliato qualcosa: troppo semplice per essere un problema del panurgo;
a meno che non voglia rilanciare con un ulteriore problema.

Ciao
Admin

[franco]

Se effettivamente è come dici tu devo ricominciare da capo (ci penso in auto tornando a casa).

ciao



Ci ho pensato e ripensato: intendendo ciò che ha inteso Pietro, ossia che la probabilità di 2/3 è "data" dopo rimessa nel sacchetto la pallina nera prima estratta e prima di aggiungere quella bianca, concordo sul successivo ragionamento e sui 4/9 finali.

Però la premessa non mi convince; sarà che sembrerebbe troppo facile, sarà che non vedo un modo realistico di simulare una situazione del genere... (chi è che mi da il dato dopo che ho rimesso la pallina nel sacchetto?)

Mah,
Forse il Panurgo può chiarirmi le idee?

[Admin]

Ciao Pan,
penso sia ora di illuminarci!

Ciao
Admin

[delfo52]

il problema è di interpretare prima di tutto il testo: che cosa è "dati" e che cosa bisogna calcolare.
Se i 2/3 sono, come sembra, un "dato", l'unica cosa che ne deduco, dal momento che di due palline presenti, una, cioè la metà, è certamente nera, è che anche l'altra "può" essere nera, perchè la probabilità che mi viene data (2/3) è maggiore di 1/2. Posso anche affermare che certamente la pallina nascosta non è "certamente nera" (cioè non è stata preventivamente estratta alla cieca da un sacchetto contenente solo palline nere) perchè in tal caso l'estrazione numero 2 darebbe nero al 100%.
Posso dire che la pallina che era rimasta dentro era stata scelta da un sacchetto contenente palline di cui una certa certa proporzione, direi 1/3, è nera.
IMMAGINIAMO che mentre Pan sta rimettendo dentro la nera e sta dicendo "adesso rimetto dentro questa nera e ci troveremo nella situazione in cui la propabilità di estrarre nero sarà 2/3", ci ripensa, e ritira fuori la pallina nera che non aveva ancora mollato. Secondo il mio ragionamento la pallina rimasta dentro è "nera a 1/3"
se ne aggiungo una bianca, o rossa, la probabilità di estrarre nero (con due palline presenti nel sacco) scende a 1/6

Cerco di spiegarmi moltiplicando ogni pallina per 100.
Estraggo da un sacchetto cento palline nere, lasciandone dentro altre cento, le rimetto dentro annunciando: se adesso estraete a caso una delle 200 palline, sarà nera al 66%
significa che delle cento rimaste dentro, 33 erano nere; sommate alle 100 reintrodotte, fanno 133/200
Se introduco 100 bianche al posto delle 100 nere, avremo 33 nere, almeno 100 bianche e da 1 a 66 di ogni altro colore

[Admin]

Sono sempre più curioso!

Ciao
Admin

[panurgo]

Abbiate pazienza, mi scuso... cerco di farcela nel weekend...

[Pasquale]

Dopo la prima estrazione, sappiamo che nel sacchetto c'è una pallina nera di sicuro ed un'altra che potrebbe essere nera, oppure no, magari bianca.
Dunque andiamo a pescare una pallina in due scenari possibili:

N-N (nera-nera)
N-B (nera-bianca)

Non considero la coppia B-N, perché ritengo sia compresa in N-B, in base alle modalità di estrazione.
La terza coppia andrebbe considerata, ove ad esempio si dovesse pescare sempre la pallina di sinistra, ma poiché questo non è, N-B e B-N sono la stessa cosa, altrimenti perché non considerare anche una seconda coppia N-N, visto che a sinistra potrebbe capitare la prima pallina nera (N1), o la seconda pallina nera (N2).

Senza la prima manovra descritta nel testo e volendo stabilire che fra due palline bisogna prendere sempre quella di sinistra, potremmo avere le seguenti situazioni diverse:

N1-N2
N2-N1
B1-B2
B2-B1
B - N
N - B

Non dovendosi distinguere fra sinistra e destra e dovendosi estrarre una sola pallina, sapendo che una è certamente nera, ritengo che le possibilità di contenuto del sacchetto siano:

N-N
N-B

ed essendo la probabilità di pescare una pallina bianca di $\frac{1}{2}\cdot \frac{1}{2}= \frac{1}{4}$, per la nera è $\frac{3}{4}$.

Detto questo, dopo aver aggiunto una pallina bianca, abbiamo le seguenti possibilità:

N-N-B
N-B-B

e la probabilità scende a $\frac{1}{2}$


Conclusione: mi pare proprio che il calcolo delle probabilità, spesso e volentieri, sia una questione di opinioni, ma sulla luna ci sono andati davvero (oppure no?).

[delfo52]

Scusa, Pan, ma mi pare che tu abbia risposto ad un diverso quesito, riferito ad una differente situazione.
Forse bisognerebbe riscrivere l'enunciato, chiarendo quale è la posizione di partenza.
Se ho ben capito, tu parti dal presupposto che nel sacchetto di partenza, prima di qualunque operazione, ci siano due palline, ognuna delle quali ha il 50% di essere B o N. Ma questo non è detto nel testo. La prima estrazione avviena alla cieca? Se venisse estratto qualcosa di diverso da N, che accadrebbe? O forse qualcuno dà prima una sbirciatina?

[Pasquale]

Bravo Enrico! Con i tuoi quesiti confermi i miei sospetti...basta cambiar una virgola e come niente cambiano le probabilità.
Il quesito di Pan l'ho interpretato così:

c'è un sacchetto opaco con due palline all'interno, sistemate da altre persone, assimilabile ad una scelta a caso fra infinite palline di colori diversi;

si estrae una pallina a caso senza sbirciare e la si ributta dentro, il che equivale ad una sbirciatina con la quale si è potuto vedere una sola pallina;

si butta dentro una pallina bianca, con questo sapendo che all'interno del sacchetto c'è una pallina nera e una bianca; la terza pallina potrebbe essere nera, bianca o di altro colore ed ai fini del calcolo, all'interno del sacchetto ci possono essere:

2 nere e 1 bianca
1 nera e 2 bianche
1 nera, 1 bianca, 1 rossa

siccome vogliamo conoscere le probabilità di estrazione di una pallina nera, per me le ultime due possibilità sono equivalenti e vanno considerate una volta sola, perché 2 bianche oppure 1 bianca e 1 rossa sono delle "non nere" e il "non nero" lo considero come un solo colore. Quindi:

2 nere e 1 non nera
1 nera e 2 non nere