Quasi Dudeney

[Maurizio59]

Sappiamo che Henry Dudeney, con la sua famosa dissezione, ha dimostrato che un quadrato di lato 1 può essere diviso in quattro parti con le quali si può coprire completamente un triangolo equilatero di area 1.

Consideriamo ora il quadrato di lato 1 diviso in tre parti.
Qual è l'area massima del triangolo equilatero che può essere coperto completamente da queste tre parti?

[panurgo]

Qual è l'area massima del triangolo equilatero che può essere coperto completamente da queste tre parti?

Triangolo equilatero di area $1$...

[Gianfranco]

Il problema mi interessa molto anche se so di non essere all'altezza di dare contributi significativi.
Tuttavia, se ho capito bene...

1) Il lavoro più recente su questo argomento è:
Dudeney’s Dissection is Optimal
Erik D. Demaine, Massachusetts Institute of Technology, USA
Tonan Kamata, Japan Advanced Institute of Science and Technology, Japan
Ryuhei Uehara, Japan Advanced Institute of Science and Technology, Japan

2) Il teorema dimostrato è:
Theorem 1.1. There is no dissection with three or fewer polygonal pieces between a square and an equilateral triangle, when we forbid flipping pieces.

3) Siccome una condizione è quella di non capovolgere i pezzi e un'altra è quella che i pezzi devono essere poligoni, rimangono aperte due questioni:
a) Is a three-piece dissection still impossible if flipping is allowed?
b) Is a three-piece dissection still impossible if we allow nonpolygonal (curved) pieces?

Per cui l'ipotesi di Panurgo rimane "ipoteticamente" plausibile.

Comunque io sarei felice di vedere una dissezione che lasci fuori anche un briciolo di area del triangolo equilatero.
Tale triangolo quindi dovrà avere l'area leggermente (maggiore) MINORE di quella del quadrato (se ho capito il problema).

[Maurizio59]

Ottimo lavoro bibliografico, Gianfranco.

...
Comunque io sarei felice di vedere una dissezione che lasci fuori anche un briciolo di area del triangolo equilatero.

Questo è quello che chiede il problema (ipotizzando l'impossibilità delle divisione in tre parti).

Tale triangolo quindi dovrà avere l'area leggermente maggiore di quella del quadrato (se ho capito il problema).

Però è l'area del quadrato che deve essere maggiore di quella del triangolo equilatero (At < 1).
Infatti è il quadrato che deve coprire il triangolo (problema duale ma non uguale ).

[Gianfranco]

Certo. Ho scritto il messaggio all'una e mezza di notte e questa mattina, appena mi sono svegliato mi sono accorto dell'errore.
Ho corretto nel post precedente.
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Comunque, se rimane valido l'articolo di Demaine-Kamata-Uehara, rimane ancora la possibilità di dissezione in tre parti con ribaltamenti e/o parti non tutte poligonali.