Un Safari fra i numeri primi

[franco]

Consideriamo i numeri interi $N$ tali per cui ogni coppia di cifre adiacenti, lette da sinistra a destra, formi un numero primo di due cifre ed anche tali per cui tutti i numeri primi così ottenuti siano distinti. Ad esempio uno di tali numeri potrebbe essere 71317 (71, 13, 31 e 17 sono tutti numeri primi e distinti).
1. Determinare in numero massimo $k$ delle cifre di $N$

Fra tutti gli interi $N$ di $k$ cifre:
2. Dimostrare che terminano tutti con la stessa cifra
3. Determinare il più grande ed il più piccolo valore di $N$
4. Con l'aiuto di un PC, determinare quanti $N$ sono compresi nell'intervallo fra i valori estremi.

ciao

Franco

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H178

On s’intéresse aux entiers N tels que chaque paire de chiffres adjacents lus de gauche à droite forme un nombre premier à deux chiffres et les nombres premiers ainsi obtenus sont tous distincts.
Q1 Déterminer le nombre maximum k de chiffres de N.
Dans la suite du problème on retient les seuls entiers N ayant ce maximum de k chiffres :
Q2 Prouver que les entiers N se terminent tous par le même chiffre.
Q3 Déterminer la plus grande valeur de N puis sa plus petite valeur.
Q4 Pour les plus courageux disposant d’un automate: déterminer le nombre d’entiers N compris entre ces deux valeurs extrêmes.

[Maurizio59]

...
1. Determinare il numero massimo $k$ delle cifre di $N$
...

Sfruttando il fatto che il numero non può contenere cifre pari e la cifra 5 (a parte la prima cifra), restano solo 10 numeri primi di due cifre:

11, 13, 17, 19, 31, 37, 71, 73, 79, 97.

Utilizzando questi numeri primi e aggiungendo un numero pari come prima cifra, ho trovato alcuni numeri di 12 cifre (k = 12). Ad esempio:

611317379719

Alcune considerazioni:
- La prima cifra deve essere 4 o 6.
- La seconda cifra deve essere 1.
- L'ultima cifra deve essere 9.
Da queste osservazioni ho ricavato il valore minimo di N:

$N_{min} = 411317197379$

e il valore massimo:

$N_{max} = 619737131179$

Scc (Salvo clamorose cantonate)